1.3 複素電力に係る誤差
複素電力
不連続部における導波菅 #$i$の複素電力 $S^{(i)} \ (i=1,2)$を求めると，
\begin{eqnarray}
S^{(i)}
&=& \iint_{S_i} \big( \VEC{E}_t ^{(i)} \times \{ \VEC{H}_t ^{(i)} \} ^* \big) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \iint_{S_i} \left( \sum_{n=1}^{N_i} \bar{V}_n^{(i)} \VEC{e}_n^{(i)}
\times \left\{ \sum_{m=1}^{N_i} \bar{I}_m^{(i)} \VEC{h}_n^{(i)} \right\} ^* \right) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \sum_{n=1}^{N_i} \sum_{m=1}^{N_i} \bar{V}_n^{(i)} \{ \bar{I}_m^{(i)} \}^*
\iint_{S_i} ( \VEC{e}_n^{(i)} \times \VEC{h}_m^{(i)} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \sum_{n=1}^{N_i} \bar{V}_n^{(i)} \{ \bar{I}_n^{(i)} \}^*
\nonumber \\
&=& (\bar{\VECi{V}}_i)_T \bar{\VECi{I}}_i^*
\end{eqnarray}
ただし，$(\bar{\VECi{V}}_i)_T$は$\bar{\VECi{V}}_i$の転置を示す．いま，導波路 #1（$z \leq 0$）より一つの
$k$次モードだけが不連続部に入射する場合（$a^{(1)}_k \neq 0$）を考え，それ以外の入射波を
$a^{(1)}_{n \neq k} =0, \ a^{(2)}_n = 0$とおくと，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,0)
&=& \sum_n
\left( a^{(1)}_n \delta_{nk} + b^{(1)}_n \right) \sqrt{Z_n^{(1)}} \VEC{e}_n^{(1)}(\VECi{\rho})
\\
\VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,0)
&=& \sum_n b^{(2)}_n \sqrt{Z_n^{(2)}} \VEC{e}_n^{(2)}(\VECi{\rho})
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,0)
&=& \sum_n
\left( a^{(1)}_n \delta_{nk} - b^{(1)}_n \right) \sqrt{Y_n^{(1)}} \VEC{h}_n^{(1)}(\VECi{\rho})
\\
\VEC{H}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,0)
&=& \sum_n b^{(2)}_n \sqrt{Y_n^{(2)}} \VEC{h}_n^{(2)}(\VECi{\rho})
\end{eqnarray}
散乱パラメータは，
\begin{eqnarray}
S_{11,mk} &=& \left. \frac{b^{(1)}_m}{a^{(1)}_k} \right| _{a^{(1)}_{n \neq k} =0, \ a^{(2)}_n = 0}
\\
S_{21,mk} &=& \left. \frac{b^{(2)}_m}{a^{(1)}_k} \right| _{a^{(1)}_{n \neq k} =0, \ a^{(2)}_n = 0}
\end{eqnarray}
これより，複素電力$S^{(1)}$は，
\begin{eqnarray}
S^{(1)}
&=& \iint_{S_1} \left[ \Big\{
\sum_{n=1}^{N_1} a^{(1)}_k \big( \delta_{nk} + S_{11,nk} \big) \sqrt{Z_n^{(1)}} \VEC{e}_n^{(1)} \Big\} \right.
\nonumber \\
&&\left. \times \Big\{
\sum_{m=1}^{N_1} a^{(1)*}_k \big( \delta_{mk}-S_{11,mk}^* \big)
\left( \sqrt{Y_m^{(1)}} \right)^* \VEC{h}_m^{(1)}
\Big\} \right] \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \left| a^{(1)}_k \right|^2 \sum_{n=1}^{N_1} \sum_{m=1}^{N_1}
\big( \delta_{nk} + S_{11,nk} \big) \big( \delta_{mk} - S_{11,mk}^* \big)
\nonumber \\
&& \cdot \sqrt{Z_n^{(1)}} \left( \sqrt{Y_m^{(1)}} \right)^* \delta_{nm}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\iint_{S_1} \big( \VEC{e}_n^{(1)} \times \VEC{h}_m^{(1)} \big) \cdot \VEC{a}_z dS = \delta _{nm}
\end{gather}
同様にして，複素電力$S^{(2)}$は，
\begin{eqnarray}
S^{(2)}
&=& \iint_{S_1} \left[ \Big\{
\sum_{n=1}^{N_2} a^{(1)}_k S_{21,nk} \sqrt{Z_n^{(2)}} \VEC{e}_n^{(2)} \Big\} \right.
\nonumber \\
&&\left. \times \Big\{
\sum_{m=1}^{N_2} a^{(1)*}_k S_{21,mk}^* \left( \sqrt{Y_m^{(2)}} \right)^* \VEC{h}_m^{(2)}
\Big\} \right] \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \left| a^{(1)}_k \right|^2 \sum_{n=1}^{N_2} \sum_{m=1}^{N_2}
S_{21,nk} S_{21,mk}^*
\sqrt{Z_n^{(2)}} \left( \sqrt{Y_m^{(2)}} \right)^* \delta_{nm}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\iint_{S_2} \big( \VEC{e}_n^{(2)} \times \VEC{h}_m^{(2)} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
= \delta _{nm}
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
S^{(1)} &=& \left| a^{(1)}_k \right|^2 \sum_{n=1}^{N_1}
\big( \delta_{nk} + S_{11,nk} \big) \big( \delta_{nk} - S_{11,nk}^* \big)
\sqrt{Z_n^{(1)}} \left( \sqrt{Y_n^{(1)}} \right)^*
\\
S^{(2)} &=& \left| a^{(1)}_k \right|^2 \sum_{n=1}^{N_2}
S_{21,nk} S_{21,nk}^* \sqrt{Z_n^{(2)}} \left( \sqrt{Y_n^{(2)}} \right)^*
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\big( \delta_{nk} + S_{11,nk} \big) \big( \delta_{nk} - S_{11,nk}^* \big)
&=& \delta_{nk} + \delta_{nk}(S_{11,nk} - S_{11,nk}^*) - |S_{11,nk}|^2
\nonumber \\
&=& \delta_{nk} \Big( 1 + 2 j \Im[S_{11,kk}] \Big) - |S_{11,nk}|^2
\end{eqnarray}
ただし，$\Im[S_{11,kk}]$は$S_{11,kk}$の虚部を示す．
無損失な場合，伝搬モードでは，
\begin{gather}
\sqrt{Z_n^{(i)}} \left( \sqrt{Y_n^{(i)}} \right)^*= 1
\end{gather}
また，遮断モードでは，TEモードのとき，
$Z_{[n]}^{(i)} = \frac{j \omega \mu}{\gamma^{(i)}_{[n]}}$より，
\begin{gather}
\sqrt{Z_{[n]}^{(i)}} \left( \sqrt{Y_{[n]}^{(i)}} \right)^*= +j
\end{gather}
TMモードのとき，
$Z_{(n)}^{(i)} = \frac{\gamma^{(i)}_{(n)}}{j \omega \epsilon}$より，
\begin{gather}
\sqrt{Z_{(n)}^{(i)}} \left( \sqrt{Y_{(n)}^{(i)}} \right)^*= -j
\end{gather}
そこで，$n$次の（遮断）モードに関わる計算で生じる符号の違いを，
\begin{eqnarray}
s_n^{(i)} &\equiv & \left\{
\begin{array}{rc}
1 & \mathrm{(TE \ mode)} \\
-1 & \mathrm{(TM \ mode)}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
で定義すると，遮断モードについては，
\begin{gather}
\sqrt{Z_n^{(i)}} \left( \sqrt{Y_n^{(i)}} \right)^* = j s_n^{(i)}
\end{gather}
導波路 #1, #2を伝搬モード数を$N_{p1}$，$N_{p2}$とおくと，
\begin{eqnarray}
\frac{S^{(1)}}{\left| a^{(1)}_k \right|^2}
&=& \Big( 1+ j 2 \Im [S_{11,kk}] \Big) \sqrt{Z_k^{(1)}} \left( \sqrt{Y_k^{(1)}} \right)^*
\nonumber \\
&&-\sum_{n=1}^{N_{p1}} \big| S_{11,nk} \big|^2
- j \hspace{-3mm} \sum_{n=N_{p1}+1}^{N_1} s_n^{(1)} \big| S_{11,nk} \big|^2
\\
\frac{S^{(2)}}{\left| a^{(1)}_k \right|^2}
&=& \sum_{n=1}^{N_{p2}} \big| S_{21,nk} \big|^2
+ j \hspace{-2mm} \sum_{n=N_{p2}+1}^{N_2} s_n^{(2)} \big| S_{21,nk} \big|^2
\end{eqnarray}
入射波が伝搬モードのとき，
\begin{gather}
\frac{S^{(1)}}{\left| a^{(1)}_k \right|^2}
= 1+ j 2 \Im [S_{11,kk}] -\sum_{n=1}^{N_{p1}} \big| S_{11,nk} \big|^2
- j \hspace{-2mm} \sum_{n=N_{p1}+1}^{N_1} s_n^{(1)} \big| S_{11,nk} \big|^2
\end{gather}
また，入射波が遮断モードのとき，
\begin{eqnarray}
\frac{S^{(1)}}{\left| a^{(1)}_k \right|^2}
&=& \Big( 1+ j 2 \Im [S_{11,kk}] \Big) js_k^{(1)}
-\sum_{n=1}^{N_{p1}} \big| S_{11,nk} \big|^2
- j \hspace{-2mm} \sum_{n=N_{p1}+1}^{N_1} s_n^{(1)} \big| S_{11,nk} \big|^2
\nonumber \\
&=& js_k^{(1)} - 2s_k^{(1)} 2 \Im [S_{11,kk}]
-\sum_{n=1}^{N_{p1}} \big| S_{11,nk} \big|^2
- j \hspace{-2mm} \sum_{n=N_{p1}+1}^{N_1} s_n^{(1)} \big| S_{11,nk} \big|^2
\end{eqnarray}
誤差の定義
通常，展開モード数は有限ゆえ，両者は等しくならない．そこで，両者の差異に着目して誤差を定義しよう．まず，入射波が伝搬モードのとき，
\begin{eqnarray}
\frac{S^{(1)} - S^{(2)}}{\left| a^{(1)}_k \right|^2}
&=& 1 -\sum_{n=1}^{N_{p1}} \big| S_{11,nk} \big|^2
- \sum_{n=1}^{N_{p2}} \big| S_{21,nk} \big|^2
+ j 2 \Im [S_{11,kk}]
\nonumber \\
&&- j \hspace{-2mm} \sum_{n=N_{p1}+1}^{N_1} s_n^{(1)} \big| S_{11,nk} \big|^2
- j \hspace{-2mm} \sum_{n=N_{p2}+1}^{N_2} s_n^{(2)} \big| S_{21,nk} \big|^2
\end{eqnarray}
誤差の実部$\varepsilon_{pr}$および虚部$\varepsilon_{pi}$は，
\begin{eqnarray}
\varepsilon_{pr}
&=& \left| 1
- \sum_{n=1}^{N_{p1}} \big| S_{11,nk} \big|^2
- \sum_{n=1}^{N_{p2}} \big| S_{21,nk} \big|^2 \right|
\\
\varepsilon_{pi}
&=& \left| 1
- \frac{1}{2 \ \Im [S_{11,kk}]} \left(
\sum_{n=N_{p1}+1}^{N_1} s_n^{(1)} \big| S_{11,nk} \big|^2
+ \sum_{n=N_{p2}+1}^{N_2} s_n^{(2)} \big| S_{21,nk} \big|^2 \right) \right|
\end{eqnarray}
ただし，$N_i$は導波路\#$i$（$i=1,2$）の展開モード数を示す．一方，入射波が遮断モードのとき，
\begin{eqnarray}
&&\frac{S^{(1)} - S^{(2)}}{\left| a^{(1)}_k \right|^2}
= -2 s_k^{(1)} \Im [S_{11,kk}]
- \sum_{n=1}^{N_{p1}} \big| S_{11,nk} \big|^2
- \sum_{n=1}^{N_{p2}} \big| S_{21,nk} \big|^2
\nonumber \\
&&+j s_k^{(1)}
- j \hspace{-2mm} \sum_{n=N_{p1}+1}^{N_1} s_n^{(1)} \big| S_{11,nk} \big|^2
- j \hspace{-2mm} \sum_{n=N_{p2}+1}^{N_2} s_n^{(2)} \big| S_{21,nk} \big|^2
\end{eqnarray}
誤差を正規化して，実部$\varepsilon_{cr}$および虚部$\varepsilon_{ci}$を次のように定義する．
\begin{eqnarray}
\varepsilon_{cr}
&=& \left| 1
+ \frac{1}{2 \Im [S_{11,kk}]} \left(
\sum_{n=1}^{N_{p1}} \big| S_{11,nk} \big|^2
+ \sum_{n=1}^{N_{p2}} \big| S_{21,nk} \big|^2 \right) \right|
\\
\varepsilon_{ci}
&=& \left| 1
- s_k^{(1)} \left( \sum_{n=N_{p1}+1}^{N_1} s_n^{(1)} \big| S_{11,nk} \big|^2
+ \sum_{n=N_{p2}+1}^{N_2} s_n^{(2)} \big| S_{21,nk} \big|^2 \right) \right|
\end{eqnarray}
誤差が十分小さくなるようにモードの展開項数を決定しなければならない．