3.6 軸対称ステップ状不連続
積分範囲が導波路 #1の断面形状（半径$a_i^\circ$）と一致している場合を考える．導波路 #1のモードについては，
\begin{align}
&\iint_S \VEC{e}_{[mn]} \cdot \VEC{e}_{[m'n']} \ dS
= \delta_{mm'} \delta_{nn'}
\\
&\iint_S \VEC{e}_{[mn]} \cdot \VEC{e}_{(m'n')} \ dS
= 0
\\
&\iint_S \VEC{e}_{(mn)} \cdot \VEC{e}_{[m'n']} \ dS
= 0
\\
&\iint_S \VEC{e}_{(mn)} \cdot \VEC{e}_{(m'n')} \ dS
= \delta_{mm'} \delta_{nn'}
\end{align}
導波路 #1と導波路 #2のモードの計算は，一部，境界条件を適用でき次のようになる．
まず，両モードともTEモードの場合，
\begin{gather}
\iint_S \VEC{e}_{[mn]} \cdot \widehat{\VEC{e}}_{[m'n']} \ dS
= I_{[mn],\widehat{[m'n']}}^{\TETE}
\end{gather}
ここで，$k_{c,mn} \neq \widehat{k}_{c,mn'}$のとき，
\begin{gather}
I_{mn,\widehat{m'n'}}
= A_{mn} \widehat{A}_{mn'} \delta _{mm'} \frac{2\pi}{\epsilon _m}
\frac{k^2_{c,mn} \widehat{k}_{c,mn'} }{k_{c,mn}^2 - \widehat{k}_{c,mn'}^2}
\Big[ \rho f_{mn} g_{mn'}' \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{gather}
$k_{c,mn} = \widehat{k}_{c,m'n'}$のとき，
\begin{eqnarray}
I_{mn,\widehat{m'n'}}
&=& A_{mn} \widehat{A}_{mn'} \delta _{mm'} \frac{\pi}{\epsilon _m}
\Big[ \Big( k_{c,mn}^2 \rho^2 - m^2 \Big) f_{mn} g_{mn'}
\nonumber \\
&&+ k_{c,mn} \rho f_{mn} g_{mn'}' \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{eqnarray}
両モードともTMモードの場合，
\begin{gather}
\iint_S \VEC{e}_{(mn)} \cdot \widehat{\VEC{e}}_{(m'n')} \ dS
= I_{(mn),\widehat{(m'n')}}^{\TMTM}
\end{gather}
ここで，$k_{c,mn} \neq \widehat{k}_{c,mn'}$のとき，
\begin{gather}
I_{mn,\widehat{m'n'}}
= -A_{mn} \widehat{A}_{mn'} \delta _{mm'} \frac{2\pi}{\epsilon _m}
\frac{k_{c,mn} \widehat{k}^2_{c,mn'} }{k_{c,mn}^2 - \widehat{k}_{c,mn'}^2}
\Big[ \rho f'_{mn} g_{mn'}
\Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{gather}
$k_{c,mn} = \widehat{k}_{c,m'n'}$のとき，
\begin{gather}
I_{mn,\widehat{m'n'}}
= A_{mn} \widehat{A}_{mn'} \delta _{mm'} \frac{\pi}{\epsilon _m}
\Big[ k_{c,mn}^2 \rho^2 f_{mn}' g_{mn'}'
+ k_{c,mn} \rho f'_{mn} g_{mn'} \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{gather}
また，導波路 #1がTEモード，導波路 #2がTMモードの場合，
\begin{eqnarray}
I_{[mn],\widehat{(m'n')}}^{\TETM}
&=& \iint_S \VEC{e}_{[mn]} \cdot \widehat{\VEC{e}}_{(m'n')} \ dS
\nonumber \\
&=& A_{[mn]} \widehat{A}_{(m'n')}
\delta _{mm'} 2m\pi \Big[ f_{[mn]} g_{(mn')} \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{eqnarray}
逆に，導波路 #1がTMモード，導波路 #2がTEモードの場合，
\begin{eqnarray}
I_{(mn)[\widehat{m'n'}]}^{\TMTE}
&=& \iint_S \VEC{e}_{(mn)} \cdot \widehat{\VEC{e}}_{[m'n']} \ dS
\nonumber \\
&=& A_{(mn)} \widehat{A}_{[m'n']}
\delta _{mm'} 2m\pi \Big[ f_{(mn)} g_{[mn']} \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\nonumber \\
&=& 0
\end{eqnarray}
導波路 #2のモードについては，上のような境界条件を適用できる項がなく，先に示した式と同様に求めることになる（省略）．