3.5 モード関数の内積のまとめ
異なる軸対称導波管のモード関数
縮退した正弦・余弦モードの直交性よりゼロとならないものについて，
\begin{align}
&\iint_S \VEC{e}_{[mn]} \cdot \widehat{\VEC{e}}_{[m'n']} \ dS
= \iint_S \VEC{h}_{[mn]} \cdot \widehat{\VEC{h}}_{[m'n']} \ dS
= I_{[mn],\widehat{[m'n']}}^{\TETE}
\\
&\iint_S \VEC{e}_{(mn)} \cdot \widehat{\VEC{e}}_{(m'n')} \ dS
= \iint_S \VEC{h}_{(mn)} \cdot \widehat{\VEC{h}}_{(m'n')} \ dS
= I_{(mn),\widehat{(m'n')}}^{\TMTM}
\end{align}
ここで，$I_{[mn],\widehat{[m'n']}}^{\TETE}$，$I_{(mn),\widehat{(m'n')}}^{\TMTM}$
を一つにまとめると，
$k_{c,mn} \neq \widehat{k}_{c,mn'}$のとき，
\begin{align}
I_{mn,\widehat{m'n'}}
= & A_{[mn]} \widehat{A}_{[m'n']} \delta _{mm'} \frac{2\pi}{\epsilon _m}
\frac{k_{c,mn} \widehat{k}_{c,mn'} }{k_{c,mn}^2 - \widehat{k}_{c,mn'}^2}
\nonumber \\
&\cdot \Big[ k_{c,mn} \rho f_{mn} g_{mn'}' - \widehat{k}_{c,mn'} \rho f'_{mn} g_{mn'}
\Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{align}
ただし，$\epsilon _m$は，
\begin{gather}
\epsilon _m = \left\{
\begin {array}{ll}
1 & (m=0) \\
2 & (m=1,2, \cdots )
\end{array} \right.
\end{gather}
一方，$k_{c,mn} = \widehat{k}_{c,m'n'}$のとき，
\begin{align}
I_{mn,\widehat{m'n'}}
&= A_{mn} \widehat{A}_{m'n'} \delta _{mm'} \frac{\pi}{\epsilon _m}
\Big[ k_{c,mn}^2 \rho^2 f_{mn}' g_{mn'}'
\nonumber \\
&+ \Big( k_{c,mn}^2 \rho^2 - m^2 \Big) f_{mn} g_{mn'}
+ k_{c,mn} \rho \Big( f_{mn} g_{mn'}' + f'_{mn} g_{mn'} \Big)
\Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{align}
ただし
\begin{gather}
\Big[ \rho f_{mn} g_{mn'}' \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
= \Big[ \rho g_{mn'} f_{mn}' \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{gather}
また，
\begin{eqnarray}
I_{[mn],\widehat{(m'n')}}^{\TETM}
&=& \iint_S \VEC{e}_{[mn]} \cdot \widehat{\VEC{e}}_{(m'n')} \ dS
= \iint_S \VEC{h}_{[mn]} \cdot \widehat{\VEC{h}}_{(m'n')} \ dS
\nonumber \\
&=& -A_{[mn]} \widehat{A}_{(m'n')}
\delta _{mm'} 2m\pi \Big[ f_{[mn]} g_{(mn')} \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\\
I_{(mn),\widehat{[m'n']}}^{\TMTE}
&=& \iint_S \VEC{e}_{(mn)} \cdot \widehat{\VEC{e}}_{[m'n']} \ dS
= \iint_S \VEC{h}_{(mn)} \cdot \widehat{\VEC{h}}_{[m'n']} \ dS
\nonumber \\
&=& A_{[mn]} \widehat{A}_{(m'n')}
\delta _{mm'} 2m\pi \Big[ f_{(mn)} g_{[mn']} \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{eqnarray}
同一の軸対称導波管のモード関数
縮退した正弦・余弦モードの直交性よりゼロとならないものについて，
\begin{align}
&\iint_S \VEC{e}_{[mn]} \cdot \VEC{e}_{[m'n']} \ dS
= \iint_S \VEC{h}_{[mn]} \cdot \VEC{h}_{[m'n']} \ dS
= I_{[mn],[m'n']}^{\TETE}
\\
&\iint_S \VEC{e}_{(mn)} \cdot \VEC{e}_{(m'n')} \ dS
= \iint_S \VEC{h}_{(mn)} \cdot \VEC{h}_{(m'n')} \ dS
= I_{(mn),(m'n')}^{\TMTM}
\end{align}
ここで，$I_{[mn],[m'n']}^{\TETE}$，$I_{(mn),(m'n')}^{\TMTM}$
を一つにまとめると，
$k_{c,mn} \neq k_{c,mn'}$のとき，
\begin{eqnarray}
I_{mn,m'n'}
&=& A_{mn} A_{mn'} \delta _{mm'} \frac{2\pi}{\epsilon _m}
\frac{k_{c,mn} k_{c,mn'} }{k_{c,mn}^2 - k_{c,mn'}^2}
\nonumber \\
&&\cdot
\Big[ k_{c,mn} \rho f_{mn} f_{mn'}' - k_{c,mn'} \rho f'_{mn} f_{mn'}
\Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{eqnarray}
ただし，$\epsilon _m$は，
\begin{gather}
\epsilon _m = \left\{
\begin {array}{ll}
1 & (m=0) \\
2 & (m=1,2, \cdots )
\end{array} \right.
\end{gather}
一方，$k_{c,mn} = k_{c,m'n'}$のとき，
\begin{align}
I_{mn,m'n'}
&= A_{mn} A_{mn'} \delta _{mm'} \frac{\pi}{\epsilon _m}
\Big[ k_{c,mn}^2 \rho^2 f_{mn}' f_{mn'}'
\nonumber \\
&+ \Big( k_{c,mn}^2 \rho^2 - m^2 \Big) f_{mn} f_{mn'}
+ k_{c,mn} \rho \Big( f_{mn} f_{mn'}' + f'_{mn} f_{mn'} \Big)
\Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{align}
ここで，
\begin{gather}
\Big[ \rho f_{mn} f_{mn'}' \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
= \Big[ \rho f_{mn'} f_{mn}' \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{gather}
特に，同一モードの場合，
\begin{eqnarray}
I_{mn,mn}
&=& A_{mn}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m}
\Big[ k_{c,mn}^2 \rho^2 f_{mn}^{\prime 2}
+ \Big( k_{c,mn}^2 \rho^2 - m^2 \Big) f_{mn}^2
\nonumber \\
&&+ 2k_{c,mn} \rho f_{mn} f_{mn}' \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
I_{[mn](m'n')}^{\TETM}
&=& \iint_S \VEC{e}_{[mn]} \cdot \VEC{e}_{(m'n')} \ dS
= \iint_S \VEC{h}_{[mn]} \cdot \VEC{h}_{(m'n')} \ dS
\nonumber \\
&=& -A_{[mn]} A_{(mn')}
\delta _{mm'} 2m\pi \Big[ f_{[mn]} f_{(mn')} \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\\
I_{(mn)[m'n']}^{\TMTE}
&=& \iint_S \VEC{e}_{(mn)} \cdot \VEC{e}_{[m'n']} \ dS
= \iint_S \VEC{h}_{(mn)} \cdot \VEC{h}_{[m'n']} \ dS
\nonumber \\
&=& A_{(mn)} A_{[mn']}
\delta _{mm'} 2m\pi \Big[ f_{(mn)} f_{[mn']} \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{eqnarray}