3.4 軸対称導波管のモード関数の正規化（別の導出）
モード関数の正規化係数（スカラ関数に関わる面積分）
正規化条件を，
\begin{eqnarray}
\iint_S \VEC{e}_{mn} \cdot \VEC{e}_{mn} \ dS
&=& \iint_S \VEC{h}_{mn} \cdot \VEC{h}_{mn} \ dS
\nonumber \\
&=& \iint_S \big( \nabla_t \Psi_{mn} \big) \cdot \big( \nabla_t \Psi_{mn} \big) dS
\nonumber \\
&=& I_{mn,mn} \equiv 1
\end{eqnarray}
ここで，$I_{mn,mn}$は，積分範囲を導波管断面と一致させたときの内積を示し，周回積分の項はTE，TMいずれのモードでも境界条件よりゼロとなり，
\begin{eqnarray}
I_{mn,mn}
&=& k_{c,mn}^2 \iint_{S} \Psi_{mn}^2 dS
\nonumber \\
&=& A_{mn}^2 k_{c,mn}^2 \frac{2\pi}{\epsilon _m} \int_{\rho_1}^{\rho_2} f_{mn}^2 \rho d\rho
\nonumber \\
&=& A_{mn}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m}
\left[ k_{c,mn}^2 \rho^2 f_{mn}^{\prime 2}
+ \Big( k_{c,mn}^2 \rho^2 - m^2 \Big) f_{mn}^2 \right]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{eqnarray}
これより，TE$_{mn}$モードのとき，
\begin{gather}
I_{[mn][mn]}^{\TETE}
= A_{[mn]}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m}
\left[ \Big( k_{c,[mn]}^2 \rho^2 - m^2 \Big) f_{[mn]}^2 \right]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{gather}
また，TM$_{mn}$モードのとき，
\begin{gather}
I_{(mn)(mn)}^{\TMTM}
= A_{(mn)}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} k_{c,(mn)}^2
\Big[ \rho^2 f_{(mn)}^{\prime 2} \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\end{gather}
半径$a$の円形導波管の場合，
$\rho_1 =0$，$\rho_2=a$，$B_{mn}^N = 1$，$B_{mn}^J=0$とおいて，
\begin{eqnarray}
I_{[mn][mn]}^{\TETE}
&=& A_{[mn]}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m}
\left[ \Big( k_{c,[mn]}^2 \rho^2 - m^2 \Big) J_m^2(k_{c,[mn]}\rho) \right]_0^a
\nonumber \\
&=& A_{[mn]}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} \Big( k_{c,[mn]}^2 a^2 - m^2 \Big) J_m^2(k_{c,[mn]} a)
\nonumber \\
&=& A_{[mn]}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} \Big( \chi_{mn}^{\prime 2} - m^2 \Big) J_m^2(\chi_{mn}')
\\
I_{(mn)(mn)}^{\TMTM}
&=& A_{(mn)}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} k_{c,(mn)}^2
\Big[ \rho^2 J_m^2(k_{c,(mn)}\rho) \Big]_0^a
\nonumber \\
&=& A_{(mn)}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} k_{c,(mn)}^2 a^2 J_m^2(k_{c,(mn)} a)
\nonumber \\
&=& A_{(mn)}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} \chi_{mn}^2 J_m^2(\chi_{mn})
\end{eqnarray}
したがって，円形導波管の正規化係数は，
\begin{eqnarray}
A_{[mn]}
&=& \sqrt{\frac{\epsilon _m}{\pi \big( \chi^{\prime 2}_{mn} -m^2 \big) }}
\ \frac{1}{|J_m (\chi '_{mn})|}
\ \ \ \ \ (\mbox{TE}_{mn} \ \mbox{mode})
\\
A_{(mn)}
&=& \sqrt{\frac{\epsilon _m}{\pi}}
\ \frac{1}{\chi _{mn} \big| J_m (\chi _{mn}) \big| }
\ \ \ \ \ (\mbox{TM}_{mn} \ \mbox{mode})
\end{eqnarray}
同様にして，円形同軸導波管（外導体半径$a$，内導体半径$b$，$c \equiv a/b$）の場合，
$\rho_1 =b$，$\rho_2=a$とおき，
TE$_{mn}$モードのとき，
$B_{mn}^N = N_m' \big( \chi '_{mn} \big) $，
$B_{mn}^J=J_m' \big( \chi '_{mn} \big) $
より，
\begin{eqnarray}
I_{[mn][mn]}^{\TETE}
&=& A_{[mn]}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m}
\left[ \Big( k_{c,[mn]}^2 \rho^2 - m^2 \Big) f_{[mn]}^2 \right]_b^a
\nonumber \\
&=& A_{[mn]}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} \left[ \Big( k_{c,[mn]}^2 a^2 - m^2 \Big) f_{[mn]}^2 \Big|_{\rho=a} \right.
\nonumber \\
&&\left. - \Big( k_{c,[mn]}^2 b^2 - m^2 \Big) f_{[mn]}^2 \Big|_{\rho=b} \right]
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
f_{[mn]} \Big|_{\rho=a}
&=& N_m' \big( \chi '_{mn} \big) J_m \big( \chi '_{mn} c \big)
- J_m' \big( \chi '_{mn} \big) N_m \big( \chi '_{mn} c \big)
\\
f_{[mn]} \Big|_{\rho=b}
&=& N_m' \big( \chi '_{mn} \big) J_m \big( \chi '_{mn} \big)
- J_m' \big( \chi '_{mn} \big) N_m \big( \chi '_{mn} \big)
\end{eqnarray}
上の第1式については，特性方程式を用いて変形でき，
\begin{eqnarray}
&&f_{[mn]} \Big|_{\rho=a}
\nonumber \\
&=& \frac{J'_m (\chi'_{mn})}{J'_m (\chi'_{mn}c)}
\left( \frac{J'_m (\chi'_{mn}c)}{J'_m (\chi'_{mn})} N_m'(\chi'_{mn}) J_m (\chi'_{mn}c) - J_m'(\chi'_{mn}c) N_m (\chi'_{mn}c) \right)
\nonumber \\
&=& \frac{J'_m (\chi'_{mn})}{J'_m (\chi'_{mn}c)}
\Big( N_m'(\chi'_{mn}c) J_m (\chi'_{mn}c) - J_m'(\chi'_{mn}c) N_m (\chi'_{mn}c) \Big)
\nonumber
\end{eqnarray}
ベッセル関数に対するロンスキー行列式公式
\begin{gather}
J_\nu (z) N'_\nu (z) - J'_\nu (z) N_\nu (z) = \frac{2}{\pi z}
\end{gather}
より，
\begin{eqnarray}
f_{[mn]} \Big|_{\rho=a}
&=& \frac{J'_m (\chi'_{mn})}{J'_m (\chi'_{mn}c)} \frac{2}{\pi \chi'_{mn}c}
\\
f_{[mn]} \Big|_{\rho=b}
&=& \frac{2}{\pi \chi'_{mn}}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
&&I_{[mn][mn]}^{\TETE}
\nonumber \\
&=& A_{[mn]}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} \left[ \Big( \chi_{mn}^{\prime 2} c^2 - m^2 \Big)
\left( \frac{J'_m (\chi'_{mn})}{J'_m (\chi'_{mn}c)} \frac{2}{\pi \chi'_{mn}c} \right)^2 \right.
\nonumber \\
&& \left.
- \Big( \chi_{mn}^{\prime 2} - m^2 \Big) \left( \frac{2}{\pi \chi'_{mn}} \right)^2 \right]
\nonumber \\
&=& A_{[mn]}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} \left( \frac{2}{\pi \chi'_{mn}} \right)^2
\left[ \Big( \chi_{mn}^{\prime 2} c^2 - m^2 \Big)
\left( \frac{J'_m (\chi'_{mn})}{J'_m (\chi'_{mn}c)} \frac{1}{c} \right)^2
- \Big( \chi_{mn}^{\prime 2} - m^2 \Big) \right]
\nonumber \\
&=& A_{[mn]}^2 \frac{4}{\pi \epsilon _m}
\left[ \Big( 1 - \frac{m^2}{\chi_{mn}^{\prime 2} c^2} \Big)
\left( \frac{J'_m (\chi'_{mn})}{J'_m (\chi'_{mn}c)} \right)^2
- \Big( 1 - \frac{m^2}{\chi_{mn}^{\prime 2}} \Big) \right]
\nonumber
\end{eqnarray}
TM$_{mn}$モードのとき，
$B_{mn}^N = N_m \big( \chi_{mn} \big) $，
$B_{mn}^J=J_m \big( \chi_{mn} \big) $より，
\begin{eqnarray}
I_{(mn)(mn)}^{\TMTM}
&=& A_{(mn)}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} k_{c,(mn)}^2
\Big[ \rho^2 f_{(mn)}^{\prime 2} \Big]_b^a
\nonumber \\
&=& A_{(mn)}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} \left( k_{c,(mn)}^2 a^2 f_{(mn)}^{\prime 2} \Big|_{\rho=a}
- k_{c,(mn)}^2 b^2 f_{(mn)}^{\prime 2} \Big|_{\rho=b} \right)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
f'_{(mn)} \Big|_{\rho=a}
&=& N_m \big( \chi_{mn} \big) J_m' \big( \chi_{mn} c \big)
- J_m \big( \chi_{mn} \big) N_m' \big( \chi_{mn} c \big)
\\
f'_{(mn)} \Big|_{\rho=b}
&=& N_m \big( \chi_{mn} \big) J_m' \big( \chi_{mn} \big)
- J_m \big( \chi_{mn} \big) N_m' \big( \chi_{mn} \big)
\end{eqnarray}
上の第1式については，特性方程式を用いて変形でき，
\begin{eqnarray}
&&f'_{(mn)} \Big|_{\rho=a}
\nonumber \\
&=& \frac{J_m (\chi_{mn})}{J_m (\chi_{mn}c)}
\left( \frac{J_m (\chi_{mn}c)}{J_m (\chi_{mn})} N_m(\chi_{mn}) J_m' (\chi_{mn}c)
- J_m(\chi_{mn}c) N_m' (\chi_{mn}c) \right)
\nonumber \\
&=& \frac{J_m (\chi_{mn})}{J_m (\chi_{mn}c)}
\Big( N_m(\chi_{mn}c) J_m' (\chi_{mn}c) - J_m(\chi_{mn}c) N_m' (\chi_{mn}c) \Big)
\nonumber \\
&=& \frac{J_m (\chi_{mn})}{J_m (\chi_{mn}c)} \left( - \frac{2}{\pi \chi_{mn}c} \right)
\nonumber
\end{eqnarray}
さらに，ベッセル関数の公式より，
\begin{eqnarray}
f_{(mn)} \Big|_{\rho=a}
&=& \frac{J_m (\chi_{mn})}{J_m (\chi_{mn}c)} \left( -\frac{2}{\pi \chi_{mn}c} \right)
\\
f_{[mn]} \Big|_{\rho=b}
&=& -\frac{2}{\pi \chi_{mn}}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
I_{(mn)(mn)}^{\TMTM}
&=& A_{(mn)}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} \left[ \chi_{mn}^2 c^2
\left( \frac{J_m (\chi_{mn})}{J_m (\chi_{mn}c)} \frac{2}{\pi \chi_{mn}c} \right)^2
- \chi_{mn}^2 \left( \frac{2}{\pi \chi_{mn}} \right)^2 \right]
\nonumber \\
&=& A_{(mn)}^2 \frac{4}{\pi \epsilon _m}
\left[ \left( \frac{J_m (\chi_{mn})}{J_m (\chi_{mn}c)} \right)^2 - 1 \right]
\nonumber
\end{eqnarray}
したがって，円形同軸導波管の正規化係数は，
\begin{eqnarray}
A_{[mn]}
&=& \frac{1}{2} \ \sqrt{\frac{\pi \epsilon _m}{\frac{J^{\prime 2}_m (\chi'_{mn})}{J^{\prime 2}_m (\chi'_{mn}c)}
\left( 1-\frac{m^2}{\chi^{\prime 2}_{mn}c^2} \right) - \left( 1-\frac{m^2}{\chi^{\prime 2}_{mn}} \right)}}
\ \ \ \ \ (\mbox{TE}_{mn} \ \mbox{mode})
\\
A_{(mn)}
&=& \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi \epsilon _m}{\frac{J_m^2 (\chi_{mn})}{J_m^2 (\chi_{mn}c)} -1}}
\ \ \ \ \ (\mbox{TM}_{mn} \ \mbox{mode})
\end{eqnarray}
周回積分によるモード関数の内積
モード関数の内積$I_{mn,m'n'}$は，両モードともTEモード，あるいはTMモードの場合，
$k_{c,mn} \neq k_{c.m'n'}$のとき，
\begin{align}
I_{mn,m'n'}&
= \delta _{mm'} \frac{2\pi a_c}{\epsilon _l}
\frac{ A_{mn} A_{m'n'}}{k_{c,mn}^2 - k_{c,m'n'}^2}
\nonumber \\
&\cdot
\left(
k_{c,mn}^2 \mathcal{R}_{mn}(a_c) \frac{d\mathcal{R}_{m'n'}(a_c)}{d\rho}
- k_{c,m'n'}^2 \frac{d\mathcal{R}_{mn}(a_c)}{d\rho} \mathcal{R}_{m'n'}(a_c)
\right)
\end{align}
$k_{c,mn} = k_{c,m'n'}$のとき，
\begin{align}
I_{mn,m'n'}&
= \delta _{mm'} \frac{\pi}{\epsilon _m} A_{mn} A_{mn'}
\nonumber \\
&\cdot \left[ -k_{c,mn} a_c \left( \mathcal{R}_{mn'}(a_c)
\frac{\partial^2 \mathcal{R}_{mn}(a_c)}{\partial k_{c,mn} \partial \rho}
- \frac{\partial \mathcal{R}_{mn'}(a_c)}{\partial \rho}
\frac{\partial \mathcal{R}_{mn}(a_c)}{\partial k_{c,mn}} \right) \right.
\nonumber \\
&\left. + \frac{2}{a_c} \mathcal{R}_{mn'}(a_c) \frac{\partial \mathcal{R}_{mn}(a_c)}{\partial \rho} \right]
\end{align}
また，TE$_{mn}$モードとTM$_{m'n'}$モードの場合，
\begin{gather}
I_{[mn](m'n')}^{\TETM}
= -\delta _{mm'} \frac{2\pi m}{\epsilon _m}
A_{[mn]} A_{(mn')} \mathcal{R}_{[mn]}(a_c) \mathcal{R}_{(mn')}(a_c)
= I_{(m'n')[mn]}
\end{gather}
モード関数の正規化係数（スカラ関数に関わる周回積分）
同一モードで（$m=m'$，$n=n'$），積分路を半径$a$の円形の導波路管壁（$a_c = a$）とすると，
\begin{align}
I_{mn,mn}&
= \frac{\pi}{\epsilon _m} A_{mn}^2
\nonumber \\
&\cdot \left[ -k_{c,mn}a \left( \mathcal{R}_{mn}(a)
\frac{\partial^2 \mathcal{R}_{mn}(a)}{\partial k_{c,mn} \partial \rho}
- \frac{\partial \mathcal{R}_{mn}(a)}{\partial \rho}
\frac{\partial \mathcal{R}_{mn}(a)}{\partial k_{c,mn}} \right) \right.
\nonumber \\
&\left. + \frac{2}{a} \mathcal{R}_{mn}(a) \frac{\partial \mathcal{R}_{mn}(a)}{\partial \rho} \right]
\end{align}
まず，同一の2つのTE$_{mn}$モードの場合，
TEモードの境界条件$J_m'(\chi'_{mn})=0$（$\chi'_{mn} = k_{c,[nm]}a$）より，
\begin{gather}
I_{[mn],[mn]}^{\TETE}
= \left. -\frac{\pi}{\epsilon _m} A_{[mn]}^2 k_{c,[mn]}a J_m(k_{c,[mn]} a)
\frac{\partial^2 J_m(k_{c,[mn]}\rho)}{\partial k_{c,[mn]} \partial \rho} \right|_{\rho=a}
\end{gather}
ベッセル関数の2回微分について，
\begin{gather}
J_m''(\alpha) = \left( \frac{m^2}{\alpha^2}-1 \right) J_m({\alpha})
- \frac{J_m'(\alpha)}{\alpha}
\end{gather}
を用いると，
\begin{eqnarray}
\left. \frac{\partial^2 J_m(k_{c,[mn]}\rho)}{\partial k_{c,[mn]} \partial \rho} \right|_{\rho=a}
&=& \left. \frac{\partial}{\partial k_{c,[mn]}} \Big( k_{c,[mn]} J_m' \Big) \right|_{\rho=a}
\nonumber \\
&=& k_{c,[mn]} \rho J_m'' \Big|_{\rho=a}
\nonumber \\
&=& \chi'_{mn} J_m''(\chi'_{mn})
\nonumber \\
&=& \chi'_{mn} \left\{ \left( \frac{m^2}{\chi_{mn}^{\prime 2}}-1 \right) J_m(\chi'_{mn})
- \frac{J_m'(\chi'_{mn})}{\chi'_{mn}} \right\}
\nonumber \\
&=& \chi'_{mn} \left( \frac{m^2}{\chi_{mn}^{\prime 2}}-1 \right) J_m(\chi'_{mn})
\end{eqnarray}
上式の最後の項は，TEモードの境界条件$J_m'(\chi'_{mn})=0$を用いている．よって，
\begin{eqnarray}
I_{[mn],[mn]}^{\TETE}
&=& -\frac{\pi}{\epsilon _m} A_{[mn]}^2 \chi'_{mn} J_m(\chi'_{mn})
\cdot \chi'_{mn} \left( \frac{m^2}{\chi_{mn}^{\prime 2}}-1 \right) J_m(\chi'_{mn})
\nonumber \\
&=& A_{[mn]}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} \Big( m^2 - \chi_{mn}^{\prime 2} \Big) J_m^2(\chi'_{mn})
\equiv 1
\end{eqnarray}
次に，同一の2つのTM$_{mn}$モードの場合，
TMモードの境界条件より$J_m(\chi_{mn})=0$（$\chi_{mn} = k_{c,(nm)}a$）より，
\begin{gather}
I_{(mn),(mn)}^{\TMTM}
= \left. \frac{\pi}{\epsilon _m} A_{(mn)}^2 k_{c,(mn)}a
\frac{\partial J_m(k_{c,(mn)}\rho)}{\partial \rho}
\frac{\partial J_m(k_{c,(mn)}\rho)}{\partial k_{c,(mn)}} \right|_{\rho=a}
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&\left. \frac{\partial J_m(k_{c,(mn)}\rho)}{\partial \rho} \right|_{\rho=a}
= k_{c,(mn)} J_m' \Big|_{\rho=a} = k_{c,(mn)} J_m'(\chi_{mn})
\\
&\left. \frac{\partial J_m(k_{c,(mn)}\rho)}{\partial k_{c,(mn)}} \right|_{\rho=a}
= \rho J_m' \Big|_{\rho=a} = a J_m'(\chi_{mn})
\end{align}
より，
\begin{gather}
I_{(mn),(mn)}^{\TMTM}
= A_{(mn)}^2 \frac{\pi}{\epsilon _m} \chi_{mn}^2 J_m^{\prime 2}(\chi_{mn})
\equiv 1
\end{gather}
面積分で求めた結果と一致し，これらより正規化係数が得られる．