軸対称導波管のモード関数の内積

3.3　軸対称導波管のモード関数の内積（TE-TM）

　TEモードとTMモードの場合，

\begin{array}{rcl} \iint_{S} e^{TE} \cdot {\hat{e}}^{TM} d S & = & \iint_{S} (a_{z} \times \nabla_{t} Ψ^{TE}) \cdot (- \nabla_{t} {\hat{Ψ}}^{TM}) d S \\ (1) & = & \int_{S} (\nabla_{t} {\hat{Ψ}}^{TM} \times \nabla_{t} Ψ^{TE}) \cdot a_{z} d S \\ \iint_{S} h^{TE} \cdot {\hat{h}}^{TM} d S & = & \iint_{S} (- \nabla_{t} Ψ^{TE}) \cdot (- a_{z} \times \nabla_{t} {\hat{Ψ}}^{TM}) d S \\ (2) & = & \int_{S} (\nabla_{t} {\hat{Ψ}}^{TM} \times \nabla_{t} Ψ^{TE}) \cdot a_{z} d S \end{array}

逆も同様であり，

\begin{array}{rcl} \iint_{S} e^{TM} \cdot {\hat{e}}^{TE} d S & = & \iint_{S} h^{TM} \cdot {\hat{h}}^{TE} d S \\ (3) & = & \iint_{S} (\nabla_{t} Ψ^{TM} \times \nabla_{t} {\hat{Ψ}}^{TE}) \cdot a_{z} d S \end{array}

いま，軸対称導波路 #1のTE

_{m n}

モードと #2のTM

_{m^{'} n^{'}}

モードを考えると，

\begin{array}{rcl} I_{[m n] (\hat{m^{'} n^{'}})}^{TE : TM} & \equiv & \iint_{S} (\nabla_{t} {\hat{Ψ}}_{(m^{'} n^{'})} \times \nabla_{t} Ψ_{[m n]}) \cdot a_{z} d S \\ (4) & = & \iint_{S} {\nabla_{t} \times ({\hat{Ψ}}_{(m^{'} n^{'})} \nabla_{t} Ψ_{[m n]})} \cdot a_{z} d S \end{array}

ストークスの定理より，

\begin{matrix} (5) & I_{[m n] (\hat{m^{'} n^{'}})}^{TE : TM} = \oint_{C} {\hat{Ψ}}_{(m^{'} n^{'})} \frac{\partial Ψ_{[m n]}}{\partial σ} d σ \end{matrix}

ただし，面

S

は

a_{z}

に直交する平面（導波管断面），

d σ

は周回積分路のベクトル線要素，

+ σ

方向は

a_{z}

に対して右ねじの方向である．逆に，

Ψ_{[m n]}

と

{\hat{Ψ}}_{(m^{'} n^{'})}

を交換すれば，

\begin{matrix} (6) & I_{[m n] (\hat{m^{'} n^{'}})}^{TE : TM} = - \oint_{C} Ψ_{[m n]} \frac{\partial {\hat{Ψ}}_{(m^{'} n^{'})}}{\partial σ} d σ \end{matrix}

導波路 #1のTM

_{m n}

モードと導波路 #2のTE

_{m^{'} n^{'}}

モードの場合，

\begin{matrix} (7) & I_{(m n) [\hat{m^{'} n^{'}}]}^{TM : TE} \equiv \iint_{S} (\nabla_{t} Ψ_{(m n)} \times \nabla_{t} {\hat{Ψ}}_{[m^{'} n^{'}]}) \cdot a_{z} d S = \oint_{C} Ψ_{(m n)} \frac{\partial {\hat{Ψ}}_{[m^{'} n^{'}]}}{\partial σ} d σ \end{matrix}

上式は境界条件によってゼロとなり（モードの直交性），

\begin{matrix} (8) & I_{[m n] (\hat{m^{'} n^{'}})}^{TE : TM} = 0, I_{(m n) [\hat{m^{'} n^{'}}]}^{TM : TE} = 0 \end{matrix}

積分範囲は回転対称なとき，

σ

は角度

ϕ

に対応し，その微分は次のようになる．

\begin{array}{rcl} \frac{\partial Ψ_{m n}}{\partial σ} & = & \frac{\partial}{ρ \partial ϕ} {A_{m n} f_{m n} (k_{c, m n} ρ) Φ_{m} (ϕ)} \\ (9) & = & A_{m n} \frac{f_{m n}}{ρ} \frac{d Φ_{m}}{d ϕ} \\ \frac{\partial {\hat{Ψ}}_{m^{'} n^{'}}}{\partial σ} & = & \frac{\partial}{ρ \partial ϕ} {{\hat{A}}_{m^{'} n^{'}} g_{m^{'} n^{'}} ({\hat{k}}_{c, m^{'} n^{'}} ρ) Φ_{m^{'}} (ϕ)} \\ (10) & = & {\hat{A}}_{m^{'} n^{'}} \frac{g_{m^{'} n^{'}}}{ρ} \frac{d Φ_{m^{'}}}{d ϕ} \end{array}

これより，

\begin{aligned} \oint_{C} Ψ_{m n} \frac{\partial {\hat{Ψ}}_{m^{'} n^{'}}}{\partial σ} d σ \\ (11) & = A_{m n} {\hat{A}}_{m^{'} n^{'}} [f_{m n} (k_{c, m n} ρ) g_{m^{'} n^{'}} ({\hat{k}}_{c, m^{'} n^{'}} ρ)]_{ρ_{1}}^{ρ_{2}} \int_{0}^{2 π} Φ_{m} \frac{d Φ_{m^{'}}}{d ϕ} d ϕ \\ \oint_{C} \frac{\partial Ψ_{m n}}{\partial σ} {\hat{Ψ}}_{m^{'} n^{'}} d σ \\ (12) & = A_{m n} {\hat{A}}_{m^{'} n^{'}} [f_{m n} (k_{c, m n} ρ) g_{m^{'} n^{'}} ({\hat{k}}_{c, m^{'} n^{'}} ρ)]_{ρ_{1}}^{ρ_{2}} \int_{0}^{2 π} \frac{d Φ_{m}}{d ϕ} Φ_{m^{'}} d ϕ \end{aligned}

上式の積分項は，TE

_{m n}

モードとTM

_{m^{'} n^{'}}

モードの場合，

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{2 π} Φ_{m}^{TE} \frac{d Φ_{m^{'}}^{TM}}{d ϕ} d ϕ & = & \int_{0}^{2 π} \begin{array}{c} \sin (m ϕ) \cdot m^{'} \sin (m^{'} ϕ) \\ \cos (m ϕ) \cdot m^{'} \cos (m^{'} ϕ) \end{array} d ϕ \\ (13) & = & δ_{m m^{'}} \frac{2 m π}{ϵ_{m}} \end{array}

したがって，導波路 #1のTE

_{m n}

モードと導波路 #2のTM

_{m^{'} n^{'}}

モードの内積は次のようになる．

\begin{array}{rcl} I_{[m n] (\hat{m^{'} n^{'}})}^{TE : TM} & = & \oint_{C} \frac{\partial Ψ_{[m n]}}{\partial σ} {\hat{Ψ}}_{(m^{'} n^{'})} d σ \\ (14) & = & A_{m n} {\hat{A}}_{m^{'} n^{'}} [f_{[m n]} g_{(m n^{'})}]_{ρ_{1}}^{ρ_{2}} δ_{m m^{'}} 2 m π \end{array}

同様にして，導波路 #1のTM

_{m n}

モードと導波路 #2のTE

_{m^{'} n^{'}}

モードの場合，

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{2 π} \frac{d Φ_{m}^{TE}}{d ϕ} Φ_{m^{'}}^{TM} d ϕ & = & \int_{0}^{2 π} \begin{array}{c} m \cos (m ϕ) (- \cos (m^{'} ϕ)) \\ - m \sin (m ϕ) \sin (m^{'} ϕ) \end{array} d ϕ \\ (15) & = & - δ_{m m^{'}} \frac{2 m π}{ϵ_{m}} \end{array}

より，

\begin{array}{rcl} I_{(m n) [\hat{m^{'} n^{'}}]}^{TM : TE} & = & \oint_{C} Ψ_{(m n)} \frac{\partial {\hat{Ψ}}_{[m^{'} n^{'}]}}{\partial σ} d σ \\ (16) & = & - A_{m n} {\hat{A}}_{m^{'} n^{'}} [f_{(m n)} g_{[m n^{'}]}]_{ρ_{1}}^{ρ_{2}} δ_{m m^{'}} 2 m π \end{array}