3.3 軸対称導波管のモード関数の内積（TE-TM）
TEモードとTMモードの場合，
\begin{eqnarray}
\iint_S \VEC{e}^{\TE} \cdot \widehat{\VEC{e}}^{\TM} \ dS
&=& \iint_S \big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi^{\TE} \big)
\cdot \big( -\nabla_t \widehat{\Psi}^{\TM} \big) dS
\nonumber \\
&=& \int_S \big( \nabla_t \widehat{\Psi}^{\TM}
\times \nabla_t \Psi^{\TE} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
\\
\iint_S \VEC{h}^{\TE} \cdot \widehat{\VEC{h}}^{\TM} \ dS
&=& \iint_S
\big( -\nabla_t \Psi^{\TE} \big) \cdot
\big( -\VEC{a}_z \times \nabla_t \widehat{\Psi}^{\TM} \big) dS
\nonumber \\
&=& \int_S \big( \nabla_t \widehat{\Psi}^{\TM}
\times \nabla_t \Psi^{\TE} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
\end{eqnarray}
逆も同様であり，
\begin{eqnarray}
\iint_S \VEC{e}^{\TM} \cdot \widehat{\VEC{e}}^{\TE} \ dS
&=& \iint_S \VEC{h}^{\TM} \cdot \widehat{\VEC{h}}^{\TE} \ dS
\nonumber \\
&=& \iint_S \big( \nabla_t \Psi^{\TM}
\times \nabla_t \widehat{\Psi}^{\TE} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
\end{eqnarray}
いま，軸対称導波路 #1のTE$_{mn}$モードと #2のTM$_{m'n'}$モードを考えると，
\begin{eqnarray}
I_{[mn](\widehat{m'n'})}^{\TETM}
&\equiv& \iint_S \big( \nabla_t \widehat{\Psi}_{(m'n')}
\times \nabla_t \Psi_{[mn]} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \iint_S \Big\{ \nabla_t \times \big( \widehat{\Psi}_{(m'n')} \nabla_t \Psi_{[mn]} \big) \Big\} \cdot \VEC{a}_z dS
\end{eqnarray}
ストークスの定理より，
\begin{gather}
I_{[mn](\widehat{m'n'})}^{\TETM}
= \oint_C \widehat{\Psi}_{(m'n')} \frac{\partial \Psi_{[mn]}}{\partial \sigma} d\sigma
\label{eq:te-tm-i3}
\end{gather}
ただし，面$S$は$\VEC{a}_z$に直交する平面（導波管断面），
$d\VECi{\sigma}$は周回積分路のベクトル線要素，
$+\sigma$方向は$\VEC{a}_z$に対して右ねじの方向である．逆に，$\Psi_{[mn]}$と$\widehat{\Psi}_{(m'n')}$を交換すれば，
\begin{gather}
I_{[mn](\widehat{m'n'})}^{\TETM}
= -\oint_C \Psi_{[mn]} \frac{\partial \widehat{\Psi}_{(m'n')}}{\partial \sigma} d\sigma
\end{gather}
導波路 #1のTM$_{mn}$モードと導波路 #2のTE$_{m'n'}$モードの場合，
\begin{gather}
I_{(mn)[\widehat{m'n'}]}^{\TMTE}
\equiv \iint_S \big( \nabla_t \Psi_{(mn)} \times \nabla_t \widehat{\Psi}_{[m'n']} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
= \oint_C \Psi_{(mn)} \frac{\partial \widehat{\Psi}_{[m'n']}}{\partial \sigma} d\sigma
\end{gather}
上式は境界条件によってゼロとなり（モードの直交性），
\begin{gather}
I_{[mn](\widehat{m'n'})}^{\TETM} =0, \ \ \ \ \
I_{(mn)[\widehat{m'n'}]}^{\TMTE} =0
\end{gather}
積分範囲は回転対称なとき，
$\sigma$は角度$\phi$に対応し，その微分は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \Psi_{mn}}{\partial \sigma}
&=& \frac{\partial}{\rho \partial \phi} \Big\{ A_{mn} f_{mn} (k_{c,mn} \rho) \Phi_m (\phi) \Big\}
\nonumber \\
&=& A_{mn} \frac{f_{mn}}{\rho} \frac{d\Phi_m}{d\phi}
\\
\frac{\partial \widehat{\Psi}_{m'n'}}{\partial \sigma}
&=& \frac{\partial}{\rho \partial \phi}
\Big\{ \widehat{A}_{m'n'} g_{m'n'} (\widehat{k}_{c,m'n'} \rho) \Phi_{m'} (\phi) \Big\}
\nonumber \\
&=& \widehat{A}_{m'n'} \frac{g_{m'n'}}{\rho} \frac{d\Phi_{m'}}{d\phi}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{align}
&\oint _C \Psi_{mn} \frac{\partial \widehat{\Psi}_{m'n'}}{\partial \sigma} d\sigma
\nonumber \\
&= A_{mn} \widehat{A}_{m'n'}
\Big[ f_{mn} (k_{c,mn} \rho) g_{m'n'}(\widehat{k}_{c,m'n'} \rho) \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\int_0^{2\pi} \Phi_m \frac{d\Phi_{m'}}{d\phi} d\phi
\\
&\oint _C \frac{\partial \Psi_{mn}}{\partial \sigma} \widehat{\Psi}_{m'n'} d\sigma
\nonumber \\
&= A_{mn} \widehat{A}_{m'n'}
\Big[ f_{mn} (k_{c,mn} \rho) g_{m'n'}(\widehat{k}_{c,m'n'} \rho) \Big]_{\rho_1}^{\rho_2}
\int_0^{2\pi} \frac{d\Phi_m }{d\phi} \Phi_{m'} d\phi
\end{align}
上式の積分項は，TE$_{mn}$モードとTM$_{m'n'}$モードの場合，
\begin{eqnarray}
\int_0^{2\pi} \Phi_{m}^{\TE} \frac{d\Phi_{m'}^{\TM}}{d\phi} d\phi
&=& \int_0^{2\pi} \begin{matrix} \sin (m \phi) \cdot m'\sin (m' \phi) \\
\cos (m \phi) \cdot m'\cos (m' \phi)\end{matrix} d\phi
\nonumber \\
&=& \delta _{mm'} \frac{2m\pi}{\epsilon _m}
\end{eqnarray}
したがって，
導波路 #1のTE$_{mn}$モードと導波路 #2のTM$_{m'n'}$モードの内積は次のようになる．
\begin{eqnarray}
I_{[mn](\widehat{m'n'})}^{\TETM}
&=& \oint_C \frac{\partial \Psi_{[mn]}}{\partial \sigma} \widehat{\Psi}_{(m'n')} d\sigma
\nonumber \\
&=& A_{mn} \widehat{A}_{m'n'}
\Big[ f_{[mn]} g_{(mn')} \Big]_{\rho_1}^{\rho_2} \delta _{mm'} 2m\pi
\end{eqnarray}
同様にして，導波路 #1のTM$_{mn}$モードと導波路 #2のTE$_{m'n'}$モードの場合，
\begin{eqnarray}
\int_0^{2\pi} \frac{d\Phi_m^{\TE} }{d\phi} \Phi_{m'}^{\TM} d\phi
&=& \int_0^{2\pi} \begin{matrix} m\cos (m \phi) (-\cos (m' \phi)) \\
-m\sin (m \phi) \sin (m' \phi)\end{matrix} d\phi
\nonumber \\
&=& -\delta _{mm'} \frac{2m\pi}{\epsilon _m}
\end{eqnarray}
より，
\begin{eqnarray}
I_{(mn)[\widehat{m'n'}]}^{\TMTE}
&=& \oint_C \Psi_{(mn)} \frac{\partial \widehat{\Psi}_{[m'n']}}{\partial \sigma} d\sigma
\nonumber \\
&=& -A_{mn} \widehat{A}_{m'n'}
\Big[ f_{(mn)} g_{[mn']} \Big]_{\rho_1}^{\rho_2} \delta _{mm'} 2m\pi
\end{eqnarray}