3.3 軸対称導波管のモード関数の内積(TE-TM)

 TEモードとTMモードの場合, SeTEe^TM dS=S(az×tΨTE)(tΨ^TM)dS(1)=S(tΨ^TM×tΨTE)azdSShTEh^TM dS=S(tΨTE)(az×tΨ^TM)dS(2)=S(tΨ^TM×tΨTE)azdS 逆も同様であり, SeTMe^TE dS=ShTMh^TE dS(3)=S(tΨTM×tΨ^TE)azdS いま,軸対称導波路 #1のTEmnモードと #2のTMmnモードを考えると, I[mn](mn^)TE:TMS(tΨ^(mn)×tΨ[mn])azdS(4)=S{t×(Ψ^(mn)tΨ[mn])}azdS ストークスの定理より, (5)I[mn](mn^)TE:TM=CΨ^(mn)Ψ[mn]σdσ ただし,面Sazに直交する平面(導波管断面), dσは周回積分路のベクトル線要素, +σ方向はazに対して右ねじの方向である.逆に,Ψ[mn]Ψ^(mn)を交換すれば, (6)I[mn](mn^)TE:TM=CΨ[mn]Ψ^(mn)σdσ 導波路 #1のTMmnモードと導波路 #2のTEmnモードの場合, (7)I(mn)[mn^]TM:TES(tΨ(mn)×tΨ^[mn])azdS=CΨ(mn)Ψ^[mn]σdσ 上式は境界条件によってゼロとなり(モードの直交性), (8)I[mn](mn^)TE:TM=0,     I(mn)[mn^]TM:TE=0 積分範囲は回転対称なとき, σは角度ϕに対応し,その微分は次のようになる. Ψmnσ=ρϕ{Amnfmn(kc,mnρ)Φm(ϕ)}(9)=AmnfmnρdΦmdϕΨ^mnσ=ρϕ{A^mngmn(k^c,mnρ)Φm(ϕ)}(10)=A^mngmnρdΦmdϕ これより, CΨmnΨ^mnσdσ(11)=AmnA^mn[fmn(kc,mnρ)gmn(k^c,mnρ)]ρ1ρ202πΦmdΦmdϕdϕCΨmnσΨ^mndσ(12)=AmnA^mn[fmn(kc,mnρ)gmn(k^c,mnρ)]ρ1ρ202πdΦmdϕΦmdϕ 上式の積分項は,TEmnモードとTMmnモードの場合, 02πΦmTEdΦmTMdϕdϕ=02πsin(mϕ)msin(mϕ)cos(mϕ)mcos(mϕ)dϕ(13)=δmm2mπϵm したがって, 導波路 #1のTEmnモードと導波路 #2のTMmnモードの内積は次のようになる. I[mn](mn^)TE:TM=CΨ[mn]σΨ^(mn)dσ(14)=AmnA^mn[f[mn]g(mn)]ρ1ρ2δmm2mπ 同様にして,導波路 #1のTMmnモードと導波路 #2のTEmnモードの場合, 02πdΦmTEdϕΦmTMdϕ=02πmcos(mϕ)(cos(mϕ))msin(mϕ)sin(mϕ)dϕ(15)=δmm2mπϵm より, I(mn)[mn^]TM:TE=CΨ(mn)Ψ^[mn]σdσ(16)=AmnA^mn[f(mn)g[mn]]ρ1ρ2δmm2mπ