3.1 2つの軸対称導波管のモード関数
円形導波管や円形同軸導波管のような軸対称構造の導波路 #1， #2では，スカラー関数を
$A$，
$\widehat{A}$
を正規化係数として，次のように円筒座標系$(\rho, \phi, z)$で表すことができる．
\begin{gather}
\Psi = A \mathcal{R} (\rho) \Phi (\phi), \ \ \
\widehat{\Psi} = \widehat{A} \widehat{\mathcal{R}} (\rho) \Phi (\phi)
\end{gather}
まず，導波路\#1が円形導波管（半径$a$）の場合，TE$_{mn}$モードのとき，
$\mathcal{R}(\rho)$は，
\begin{gather}
\mathcal{R} (\rho) = J_m \big( k_{c,mn}^{\TE} \rho \big), \ \ \ \ \
k_{c,mn}^{\TE} = \frac{\chi '_{mn}}{a}, \ \ \ \ \
J_m' \left( \chi'_{mn} \right) =0
\end{gather}
ただし，$J_m$は第1種ベッセル関数であり，
$m$は周方向$\phi$のモード次数，
$n$は半径方向$\rho$のモードの次数を各々示す．一方，TM$_{mn}$モードのとき，
\begin{gather}
\mathcal{R} (\rho) = J_m \big( k_{c,mn}^{\TM} \rho \big), \ \ \ \ \
k_{c,mn}^{\TM} = \frac{\chi _{mn}}{a}, \ \ \ \ \
J_m \left( \chi_{mn} \right) =0
%\\
%A_{(mn)} = \sqrt{\frac{\epsilon _m}{\pi}}
%\ \frac{1}{\chi _{mn} \big| J_{m+1} (\chi _{mn}) \big| }
\end{gather}
ここで（$m=0$のとき，$\sin m\phi = 0$ゆえ除外），
\begin{align}
&\Phi(m\phi)=
\left\{ \begin{matrix} \Phi_m^{\TE}(\phi) & (\mbox{TE$_{mn}$-mode}) \\
\Phi_m^{\TM}(\phi) & (\mbox{TM$_{mn}$-mode}) \end{matrix} \right.
\\
&\Phi_m^{\TE}(\phi)=
\left\{ \begin{matrix} \sin (m \phi) \\ \cos (m \phi) \end{matrix} \right., \ \
\Phi_m^{\TM}(\phi)=
\left\{ \begin{matrix} -\cos (m \phi) \\ \sin (m \phi) \end{matrix} \right.
\end{align}
また，円形同軸導波管（外導体半径$a$，内導体半径$b$，$c \equiv a/b$）の場合（TEMモードは省略），TE$_{mn}$モードでは，
\begin{align}
&\mathcal{R} (\rho)
= N_m' \big( \chi '_{mn} \big) J_m \big( k_{c,[mn]} \rho \big)
- J_m' \big( \chi '_{mn} \big) N_m \big( k_{c,[mn]} \rho \big)
\\
&k_{c,mn}^{\TE} = \frac{\chi '_{mn}}{b}, \ \ \ \ \
J_m' \left( \chi '_{mn} \right) N_m' \left( \chi '_{mn}c \right)
- J_m' \left( \chi '_{mn} c \right) N_m' \left( \chi '_{mn} \right) =0
\end{align}
ただし，$N_m$は第2種ベッセル関数（ノイマン関数）を示す．一方，TM$_{mn}$モードでは，
\begin{align}
&\mathcal{R} (\rho)
= N_m \big( \chi_{mn} \big) J_m \big( k_{c,(mn)} \rho \big)
- J_m \big( \chi_{mn} \big) N_m \big( k_{c,(mn)} \rho \big)
\\
&k_{c,mn}^{\TM} = \frac{\chi_{mn}}{b}, \ \ \ \ \
J_m \big( \chi_{mn} \big) N_m \big( \chi_{mn}c \big)
- J_m \big( \chi_{mn} c \big) N_m \big( \chi_{mn} \big) =0
\end{align}
これより，$k_{c,mn}^{\TE}$，$k_{c,mn}^{\TM}$をまとめて$k_{c,mn}$として表し両モードをまとめ，さらに円形導波管および円形同軸導波管の両方を表す関数として，
\begin{gather}
f_{mn} (k_{c,mn} \rho)
\equiv B_{mn}^N J_m \big( k_{c,mn} \rho \big) - B_{mn}^J N_m \big( k_{c,mn} \rho \big)
\end{gather}
ここで，円形導波管の場合，
\begin{gather}
B_{mn}^N = 1, \ \ \ \ \
B_{mn}^J = 0
\end{gather}
円形同軸導波管の場合，
\begin{gather}
B_{mn}^N =
\left\{ \begin{matrix}
N_m' \big( \chi '_{mn} \big) \\ N_m \big( \chi_{mn} \big)
\end{matrix} \right.
, \ \ \ \ \
B_{mn}^J =
\left\{ \begin{matrix}
J_m' \big( \chi '_{mn} \big) & (\mbox{TE}_{mn} \ \mbox{mode})
\\ J_m \big( \chi_{mn} \big) & (\mbox{TM}_{mn} \ \mbox{mode})
\end{matrix} \right.
\end{gather}
導波路 #2（半径$\widehat{a}$の円形導波管，あるいは外導体半径
$\widehat{a}$，内導体半径
$\widehat{b}$の円形同軸導波管）についても同様にして，
\begin{gather}
g_{m'n'} (\widehat{k}_{c,m'n'} \rho)
\equiv \widehat{B}_{m'n'}^N J_{m'} \big( \widehat{k}_{c,m'n'} \rho \big)
- \widehat{B}_{m'n'}^J N_{m'} \big( \widehat{k}_{c,m'n'} \rho \big)
\end{gather}
円形導波管および円形同軸導波管をまとめて，軸対称導波管 #1の$m,n$次， #2の$m',n'$次のスカラー関数を次のように表すことにする．
\begin{align}
&\Psi_{mn} = A_{mn} f_{mn} (k_{c,mn} \rho) \Phi (m\phi)
\\
&\widehat{\Psi}_{m'n'} = \widehat{A}_{m'n'} g_{m'n'} (\widehat{k}_{c,m'n'} \rho) \Phi (m' \phi)
\end{align}