2つの軸対称導波管のモード関数

3.1　2つの軸対称導波管のモード関数

　円形導波管や円形同軸導波管のような軸対称構造の導波路 #1， #2では，スカラー関数を

A

，

\hat{A}

を正規化係数として，次のように円筒座標系

(ρ, ϕ, z)

で表すことができる．

\begin{matrix} (1) & Ψ = A R (ρ) Φ (ϕ), \hat{Ψ} = \hat{A} \hat{R} (ρ) Φ (ϕ) \end{matrix}

まず，導波路\#1が円形導波管（半径

a

）の場合，TE

_{m n}

モードのとき，

R (ρ)

は，

\begin{matrix} (2) & R (ρ) = J_{m} (k_{c, m n}^{TE} ρ), k_{c, m n}^{TE} = \frac{χ_{m n}^{'}}{a}, J_{m}^{'} (χ_{m n}^{'}) = 0 \end{matrix}

ただし，

J_{m}

は第1種ベッセル関数であり，

m

は周方向

ϕ

のモード次数，

n

は半径方向

ρ

のモードの次数を各々示す．一方，TM

_{m n}

モードのとき，

\begin{matrix} (3) & R (ρ) = J_{m} (k_{c, m n}^{TM} ρ), k_{c, m n}^{TM} = \frac{χ_{m n}}{a}, J_{m} (χ_{m n}) = 0 \end{matrix}

ここで（

m = 0

のとき，

\sin m ϕ = 0

ゆえ除外），

\begin{aligned} (4) & Φ (m ϕ) = {\begin{array}{c} Φ_{m}^{TE} (ϕ) & (TE_{m n} -mode) \\ Φ_{m}^{TM} (ϕ) & (TM_{m n} -mode) \end{array} \\ (5) & Φ_{m}^{TE} (ϕ) = {\begin{array}{c} \sin (m ϕ) \\ \cos (m ϕ) \end{array}, Φ_{m}^{TM} (ϕ) = {\begin{array}{c} - \cos (m ϕ) \\ \sin (m ϕ) \end{array} \end{aligned}

また，円形同軸導波管（外導体半径

a

，内導体半径

b

，

c \equiv a / b

）の場合（TEMモードは省略），TE

_{m n}

モードでは，

\begin{aligned} (6) & R (ρ) = N_{m}^{'} (χ_{m n}^{'}) J_{m} (k_{c, [m n]} ρ) - J_{m}^{'} (χ_{m n}^{'}) N_{m} (k_{c, [m n]} ρ) \\ (7) & k_{c, m n}^{TE} = \frac{χ_{m n}^{'}}{b}, J_{m}^{'} (χ_{m n}^{'}) N_{m}^{'} (χ_{m n}^{'} c) - J_{m}^{'} (χ_{m n}^{'} c) N_{m}^{'} (χ_{m n}^{'}) = 0 \end{aligned}

ただし，

N_{m}

は第2種ベッセル関数（ノイマン関数）を示す．一方，TM

_{m n}

モードでは，

\begin{aligned} (8) & R (ρ) = N_{m} (χ_{m n}) J_{m} (k_{c, (m n)} ρ) - J_{m} (χ_{m n}) N_{m} (k_{c, (m n)} ρ) \\ (9) & k_{c, m n}^{TM} = \frac{χ_{m n}}{b}, J_{m} (χ_{m n}) N_{m} (χ_{m n} c) - J_{m} (χ_{m n} c) N_{m} (χ_{m n}) = 0 \end{aligned}

これより，

k_{c, m n}^{TE}

，

k_{c, m n}^{TM}

をまとめて

k_{c, m n}

として表し両モードをまとめ，さらに円形導波管および円形同軸導波管の両方を表す関数として，

\begin{matrix} (10) & f_{m n} (k_{c, m n} ρ) \equiv B_{m n}^{N} J_{m} (k_{c, m n} ρ) - B_{m n}^{J} N_{m} (k_{c, m n} ρ) \end{matrix}

ここで，円形導波管の場合，

\begin{matrix} (11) & B_{m n}^{N} = 1, B_{m n}^{J} = 0 \end{matrix}

円形同軸導波管の場合，

\begin{matrix} (12) & B_{m n}^{N} = {\begin{matrix} N_{m}^{'} (χ_{m n}^{'}) \\ N_{m} (χ_{m n}) \end{matrix}, B_{m n}^{J} = {\begin{matrix} J_{m}^{'} (χ_{m n}^{'}) & ({TE}_{m n} mode) \\ J_{m} (χ_{m n}) & ({TM}_{m n} mode) \end{matrix} \end{matrix}

導波路 #2（半径

\hat{a}

の円形導波管，あるいは外導体半径

\hat{a}

，内導体半径

\hat{b}

の円形同軸導波管）についても同様にして，

\begin{matrix} (13) & g_{m^{'} n^{'}} ({\hat{k}}_{c, m^{'} n^{'}} ρ) \equiv {\hat{B}}_{m^{'} n^{'}}^{N} J_{m^{'}} ({\hat{k}}_{c, m^{'} n^{'}} ρ) - {\hat{B}}_{m^{'} n^{'}}^{J} N_{m^{'}} ({\hat{k}}_{c, m^{'} n^{'}} ρ) \end{matrix}

円形導波管および円形同軸導波管をまとめて，軸対称導波管 #1の

m, n

次， #2の

m^{'}, n^{'}

次のスカラー関数を次のように表すことにする．

\begin{aligned} (14) & Ψ_{m n} = A_{m n} f_{m n} (k_{c, m n} ρ) Φ (m ϕ) \\ (15) & {\hat{Ψ}}_{m^{'} n^{'}} = {\hat{A}}_{m^{'} n^{'}} g_{m^{'} n^{'}} ({\hat{k}}_{c, m^{'} n^{'}} ρ) Φ (m^{'} ϕ) \end{aligned}