2.6　ダブルステップ不連続

　積分範囲が導波路 #1の断面と一致している場合，導波管 #1（a1×b1）の管壁Cの境界条件を適用して積分できる． そこで，導波管 #1のTEmnモードと導波管 #2（a2×b2）のTEm′n′モードを， (1)Ψ[mn]#1≡A[mn]#1hx[m]#1(x)hy[n]#1(y),     Ψ[m′n′]#2≡A[m′n′]#2hx[m′]#2(x)hy[n′]#2(y) ここで， (2)hx[m]#1(x)=cos⁡(kxmx),     hx[m′]#2(x)=cos⁡{k^xm′(x+x2)}(3)hy[n]#1(y)=cos⁡(kyny),     hy[n′]#2(y)=cos⁡{k^yn′(y+y2)} ただし， (4)kxm=mπa1,     kyn=nπb1     (m,n=0,1,2,⋯, m=n≠0)(5)k^xm′=m′πa2,     k^yn′=n′πb2     (m′,n′=0,1,2,⋯, m′=n′≠0) また，導波管 #1のTMmnモードと導波管 #2のTMm′n′モードを， (6)Ψ(mn)#1≡A(mn)#1hx(m)#1(x)hy(n)#1(y),     Ψ(m′n′)#2≡A(mn)#2hx(m′)#2(x)hy(n′)#2(y) ここで， (7)hx(m)#1(x)=sin⁡(kxmx),     hx(m′)#2(x)=sin⁡{k^xm′(x+x2)},(8)hy(n)#1(y)=sin⁡(kyny),     hy(n′)#2(y)=sin⁡{k^yn′(y+y2)} ただし， (9)kxm=mπa1,     kyn=nπb1     (m,n=1,2,⋯)(10)k^xm′=m′πa2,     k^yn′=n′πb2     (m′,n′=1,2,⋯) 導波管 #2のモードの内積については，積分範囲SAが導波管 #2の断面の一部となり， ∬SAe[mn]#2⋅e[m′n′]#2dS=A[mn]#2A[m′n′]#2(k^xmk^xm′X^mm′22,sY^nn′22,c+k^ynk^yn′X^mm′22,cY^nn′22,s)(m,n=0,1,2,⋯(m≠0 or n≠0)(11)m′,n′=0,1,2,⋯(m′≠0 or n′≠0))∬SAe(mn)#2⋅e(m′n′)#2dS=A(mn)#2A(m′n′)#2(k^ynk^yn′X^mm′22,sY^nn′22,c+k^xmk^xm′X^mm′22,cY^nn′22,s)(12)(m,n=1,2,3,⋯,  m′,n′=1,2,3,⋯)∬SAe[mn]#2⋅e(m′n′)#2dS=A[mn]#2A(m′n′)#2(k^xmk^yn′X^mm′22,sY^nn′22,c−k^xm′k^ynX^mm′22,cY^nn′22,s)(13)(m,n=0,1,2,⋯(m≠0 or n≠0),  m′,n′=1,2,3,⋯)∬SAe(mn)#2⋅e[m′n′]#2dS=A(mn)#2A[m′n′]#2(k^xm′k^ynX^mm′22,sY^nn′22,c−k^xmk^yn′X^mm′22,cY^nn′22,s)(14)(m,n=1,2,3,⋯,  m′,n′=0,1,2,⋯(m′≠0 or n′≠0)) 積分範囲SAは，導波管 #1の断面 0≤x≤a1，0≤y≤b1と一致しているので， 導波管 #1のモードの正規直交性より， (15)∬SAe[mn]#1⋅e[m′n′]#1dS=δmm′δnn′(16)∬SAe(mn)#1⋅e(m′n′)#1dS=δmm′δnn′(17)∬SAe[mn]#1⋅e(m′n′)#1dS=0(18)∬SAe(mn)#1⋅e[m′n′]#1dS=0 また，導波管 #1と #2のモードの内積については， ∬SAe[mn]#1⋅e[m′n′]#2dS(19)=A[mn]#1A[m′n′]#2(kxmk^xm′X^mm′12,sY^nn′12,c+kynk^yn′X^mm′12,cY^nn′12,s)∬SAe(mn)#1⋅e(m′n′)#2dS(20)=A(mn)#1A(m′n′)#2(kynk^yn′X^mm′12,sY^nn′12,c+kxmk^xm′X^mm′12,cY^nn′12,s)∬SAe[mn]#1⋅e(m′n′)#2dS(21)=A[mn]#1A(m′n′)#2(kxmk^yn′X^mm′12,sY^nn′12,c−k^xm′kynX^mm′12,cY^nn′12,s)∬SAe(mn)#1⋅e[m′n′]#2dS(22)=A(mn)#1A[m′n′]#2(k^xm′kynX^mm′12,sY^nn′12,c−kxmk^yn′X^mm′12,cY^nn′12,s)