2.5　シングルステップ不連続（b一定）

　2つの導波路断面のy方向の内径が等しく， x方向の内径が異なる不連続問題を考える．まず，導波管 #1（a1×b）のTEmnモードと導波管 #2（a2×b）のTEm′n′モードを， (1)Ψ[mn]#1≡A[mn]#1hx[m]#1(x)hy[n](y),     Ψ[m′n′]#2≡A[m′n′]#2hx[m′]#2(x)hy[n′](y) ここで， (2)hx[m]#1(x)=cos⁡(kxmx),     hx[m′]#2(x)=cos⁡{k^xm′(x+x2)}(3)hy[n](y)=cos⁡(kyny),     hy[n′](y)=cos⁡(kyn′y) ただし， (4)kxm=mπa1,     kyn=nπb     (m,n=0,1,2,⋯, m=n≠0)(5)k^xm′=m′πa2,     kyn′=n′πb     (m′,n′=0,1,2,⋯, m′=n′≠0) また，導波管 #1のTMmnモードと導波管 #2のTMm′n′モードを， (6)Ψ(mn)#1≡A(mn)#1hx(m)#1(x)hy(n)(y),     Ψ(m′n′)#2≡A(m′n′)#2hx(m′)#2(x)hy(n′)(y) ここで， (7)hx(m)#1(x)=sin⁡(kxmx),     hx(m′)#2(x)=sin⁡{k^xm′(x+x2)}(8)hy(n)(y)=sin⁡(kyny),     hy(n′)(y)=sin⁡(kyn′y) ただし， (9)kxm=mπa1,     kyn=nπb     (m,n=1,2,⋯)(10)k^xm′=m′πa2,     kyn′=n′πb     (m′,n′=1,2,⋯) 導波管 #1と #2のモードの内積に関わる積分は， y方向は直交性がある． SAは導波管\#1の断面形状と一致し，導波管 #2のモードの内積では， SAがx方向について #2の断面の一部となる．
　モード関数の内積は，まず， ∬SAe(mn)#1⋅e(m′n′)#2dS(11)=A(mn)#1A(m′n′)#2δnn′b2(kynkyn′X^mm′12,s+kxmk^xm′X^mm′12,c) TEm0モードを除外すれば（TEmnモードにおいてn≠0）， ∬SAe[mn]#1⋅e[m′n′]#2dS(12)=A[mn]#1A[m′n′]#2δnn′b2(kxmk^xm′X^mm′12,s+kynkyn′X^mm′12,c)∬SAe[mn]#1⋅e(m′n′)#2dS(13)=A[mn]#1A(m′n′)#2δnn′b2(kxmkyn′X^mm′12,s−k^xm′kynX^mm′12,c)∬SAe(mn)#1⋅e[m′n′]#2dS(14)=A(mn)#1A[m′n′]#2δnn′b2(k^xm′kynX^mm′12,s−kxmkyn′X^mm′12,c) TEm0モード（m≠0）（TEmnモードにおいてn=0）に対しては， (15)∬SAe[m0]#1⋅e[m′0]#2dS=A[m0]#1A[m′0]#2bkxmk^xm′X^mm′12,s(16)∬SAe[m0]#1⋅e(m′0)#2dS=0(17)∬SAe(mn)#1⋅e[m′0]#2dS=0 積分範囲SAは，導波管\#1の断面 0≤x≤a1，0≤y≤bと一致しているので，導波管 #1のモードの正規直交性より（n=n′）， (18)∬SAe[mn]#1⋅e[m′n]#1dS=δmm′(19)∬SAe(mn)#1⋅e(m′n)#1dS=δmm′(20)∬SAe[mn]#1⋅e(m′n)#1dS=0(21)∬SAe(mn)#1⋅e[m′n]#1dS=0 導波管 #2のモードの内積については，積分範囲SAが導波管 #2の断面の一部となり， (22)∬SAe[mn]#2⋅e[m′n]#2dS=A[mn]#2A[m′n]#2b2(k^xmk^xm′X^mm′22,s+kyn2X^mm′22,c)(23)∬SAe(mn)#2⋅e(m′n)#2dS=A(mn)#2A(m′n)#2b2(kyn2X^mm′22,s+k^xmk^xm′X^mm′22,c)(24)∬SAe[mn]#2⋅e(m′n)#2dS=A[mn]#2A(m′n)#2b2kyn(k^xmX^mm′22,s−k^xm′X^mm′22,c)(25)∬SAe(mn)#2⋅e[m′n]#2dS=A(mn)#2A[m′n]#2b2kyn(k^xm′X^mm′22,s−k^xmX^mm′22,c)