2.5 シングルステップ不連続（$b$一定）
2つの導波路断面の$y$方向の内径が等しく，
$x$方向の内径が異なる不連続問題を考える．まず，導波管 #1（$a_1 \times b$）のTE$_{mn}$モードと導波管 #2（$a_2 \times b$）のTE$_{m'n'}$モードを，
\begin{gather}
\Psi^{\#1}_{[mn]} \equiv A^{\#1}_{[mn]} h^{\#1}_{x[m]}(x) h_{y[n]}(y), \ \ \ \ \
\Psi^{\#2}_{[m'n']} \equiv A^{\#2}_{[m'n']} h^{\#2}_{x[m']}(x) h_{y[n']}(y)
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&h^{\#1}_{x[m]}(x) = \cos \big( k_{xm} x \big), \ \ \ \ \
h^{\#2}_{x[m']}(x) = \cos \big\{ \hat{k}_{xm'} (x + x_2) \big\}
\\
&h_{y[n]}(y) = \cos \big( k_{yn} y \big), \ \ \ \ \
h_{y[n']}(y) = \cos \big( k_{yn'} y \big)
\end{align}
ただし，
\begin{align}
&k_{xm} = \frac{m\pi}{a_1}, \ \ \ \ \
k_{yn} = \frac{n\pi}{b} \ \ \ \ \ (m,n=0,1,2,\cdots , \ m=n\neq0)
\\
&\hat{k}_{xm'} = \frac{m'\pi}{a_2}, \ \ \ \ \
k_{yn'} = \frac{n'\pi}{b} \ \ \ \ \ (m',n'=0,1,2,\cdots , \ m'=n'\neq0)
\end{align}
また，導波管 #1のTM$_{mn}$モードと導波管 #2のTM$_{m'n'}$モードを，
\begin{gather}
\Psi^{\#1}_{(mn)} \equiv A^{\#1}_{(mn)} h^{\#1}_{x(m)}(x) h_{y(n)}(y), \ \ \ \ \
\Psi^{\#2}_{(m'n')} \equiv A^{\#2}_{(m'n')} h^{\#2}_{x(m')}(x) h_{y(n')}(y)
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&h^{\#1}_{x(m)}(x) = \sin \big( k_{xm} x \big), \ \ \ \ \
h^{\#2}_{x(m')}(x) = \sin \big\{ \hat{k}_{xm'} (x + x_2) \big\}
\\
&h_{y(n)}(y) = \sin \big( k_{yn} y \big), \ \ \ \ \
h_{y(n')}(y) = \sin \big( k_{yn'} y \big)
\end{align}
ただし，
\begin{align}
&k_{xm} = \frac{m\pi}{a_1}, \ \ \ \ \
k_{yn} = \frac{n\pi}{b} \ \ \ \ \ (m,n=1,2,\cdots )
\\
&\hat{k}_{xm'} = \frac{m'\pi}{a_2}, \ \ \ \ \
k_{yn'} = \frac{n'\pi}{b} \ \ \ \ \ (m',n'=1,2,\cdots )
\end{align}
導波管 #1と #2のモードの内積に関わる積分は，
$y$方向は直交性がある．
$S_A$は導波管\#1の断面形状と一致し，導波管 #2のモードの内積では，
$S_A$が$x$方向について #2の断面の一部となる．
モード関数の内積は，まず，
\begin{eqnarray}
%------------------- TM-TM
&&\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{(mn)} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{(m'n')} dS
\nonumber \\
&=& A^{\#1}_{(mn)} A^{\#2}_{(m'n')} \delta _{nn'} \frac{b}{2}
%\nonumber \\ \hspace{30mm} \cdot
\Big( k_{yn} k_{yn'} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{s}}
+ k_{xm} \hat{k}_{xm'} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{c}} \Big)
\end{eqnarray}
TE$_{m0}$モードを除外すれば（TE$_{mn}$モードにおいて$n \neq 0$），
\begin{eqnarray}
%------------------- TE-TE
&&\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[mn]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{[m'n']} dS
\nonumber \\
&=& A^{\#1}_{[mn]} A^{\#2}_{[m'n']} \delta _{nn'} \frac{b}{2}
%\nonumber \\ \hspace{30mm} \cdot
\Big( k_{xm} \hat{k}_{xm'} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{s}}
+ k_{yn} k_{yn'}\hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{c}} \Big)
\\
%------------------- TE-TM
&&\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[mn]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{(m'n')} dS
\nonumber \\
&=& A^{\#1}_{[mn]} A^{\#2}_{(m'n')} \delta _{nn'} \frac{b}{2}
%\nonumber \\ \hspace{30mm} \cdot
\Big( k_{xm} k_{yn'} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{s}}
- \hat{k}_{xm'} k_{yn} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{c}} \Big)
\\
%------------------- TM-TE
&&\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{(mn)} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{[m'n']} dS
\nonumber \\
&=& A^{\#1}_{(mn)} A^{\#2}_{[m'n']} \delta _{nn'} \frac{b}{2}
%\nonumber \\ \hspace{30mm} \cdot
\Big( \hat{k}_{xm'} k_{yn} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{s}}
- k_{xm} k_{yn'} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{c}} \Big)
\end{eqnarray}
TE$_{m0}$モード（$m \neq 0$）（TE$_{mn}$モードにおいて$n = 0$）に対しては，
\begin{eqnarray}
%------------------- TE-TE
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[m0]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{[m'0]} dS
&=& A^{\#1}_{[m0]} A^{\#2}_{[m'0]} b
k_{xm} \hat{k}_{xm'} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{s}}
\\
%------------------- TE-TM
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[m0]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{(m'0)} dS
&=& 0
\\
%------------------- TM-TE
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{(mn)} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{[m'0]} dS
&=& 0
\end{eqnarray}
積分範囲$S_A$は，導波管\#1の断面
$0 \leq x \leq a_1$，$0 \leq y \leq b$と一致しているので，導波管 #1のモードの正規直交性より（$n = n'$），
\begin{eqnarray}
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[mn]} \cdot \VEC{e}^{\#1}_{[m'n]} dS
&=& \delta _{mm'}
\\
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{(mn)} \cdot \VEC{e}^{\#1}_{(m'n)} dS
&=& \delta _{mm'}
\\
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[mn]} \cdot \VEC{e}^{\#1}_{(m'n)} dS
&=& 0
\\
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{(mn)} \cdot \VEC{e}^{\#1}_{[m'n]} dS
&=& 0
\end{eqnarray}
導波管 #2のモードの内積については，積分範囲$S_A$が導波管 #2の断面の一部となり，
\begin{gather}
%------------------- TE-TE
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#2}_{[mn]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{[m'n]} dS
= A^{\#2}_{[mn]} A^{\#2}_{[m'n]} \frac{b}{2}
\Big( \hat{k}_{xm} \hat{k}_{xm'} \hat{X}_{mm'}^{22,\mathrm{s}}
+ k_{yn}^2 \hat{X}_{mm'}^{22,\mathrm{c}} \Big)\\
%------------------- TM-TM
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#2}_{(mn)} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{(m'n)} dS
= A^{\#2}_{(mn)} A^{\#2}_{(m'n)} \frac{b}{2}
\Big( k_{yn}^2 \hat{X}_{mm'}^{22,\mathrm{s}}
+ \hat{k}_{xm} \hat{k}_{xm'} \hat{X}_{mm'}^{22,\mathrm{c}} \Big)\\
%------------------- TE-TM
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#2}_{[mn]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{(m'n)} dS
= A^{\#2}_{[mn]} A^{\#2}_{(m'n)} \frac{b}{2} k_{yn}
\Big( \hat{k}_{xm} \hat{X}_{mm'}^{22,\mathrm{s}}
- \hat{k}_{xm'} \hat{X}_{mm'}^{22,\mathrm{c}} \Big)\\
%------------------- TM-TE
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#2}_{(mn)} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{[m'n]} dS
= A^{\#2}_{(mn)} A^{\#2}_{[m'n]} \frac{b}{2} k_{yn}
\Big( \hat{k}_{xm'} \hat{X}_{mm'}^{22,\mathrm{s}}
- \hat{k}_{xm} \hat{X}_{mm'}^{22,\mathrm{c}} \Big)
\end{gather}