2.5 シングルステップ不連続(b一定)

 2つの導波路断面のy方向の内径が等しく, x方向の内径が異なる不連続問題を考える.まず,導波管 #1(a1×b)のTEmnモードと導波管 #2(a2×b)のTEmnモードを, (1)Ψ[mn]#1A[mn]#1hx[m]#1(x)hy[n](y),     Ψ[mn]#2A[mn]#2hx[m]#2(x)hy[n](y) ここで, (2)hx[m]#1(x)=cos(kxmx),     hx[m]#2(x)=cos{k^xm(x+x2)}(3)hy[n](y)=cos(kyny),     hy[n](y)=cos(kyny) ただし, (4)kxm=mπa1,     kyn=nπb     (m,n=0,1,2,, m=n0)(5)k^xm=mπa2,     kyn=nπb     (m,n=0,1,2,, m=n0) また,導波管 #1のTMmnモードと導波管 #2のTMmnモードを, (6)Ψ(mn)#1A(mn)#1hx(m)#1(x)hy(n)(y),     Ψ(mn)#2A(mn)#2hx(m)#2(x)hy(n)(y) ここで, (7)hx(m)#1(x)=sin(kxmx),     hx(m)#2(x)=sin{k^xm(x+x2)}(8)hy(n)(y)=sin(kyny),     hy(n)(y)=sin(kyny) ただし, (9)kxm=mπa1,     kyn=nπb     (m,n=1,2,)(10)k^xm=mπa2,     kyn=nπb     (m,n=1,2,) 導波管 #1と #2のモードの内積に関わる積分は, y方向は直交性がある. SAは導波管\#1の断面形状と一致し,導波管 #2のモードの内積では, SAx方向について #2の断面の一部となる.
 モード関数の内積は,まず, SAe(mn)#1e(mn)#2dS(11)=A(mn)#1A(mn)#2δnnb2(kynkynX^mm12,s+kxmk^xmX^mm12,c) TEm0モードを除外すれば(TEmnモードにおいてn0), SAe[mn]#1e[mn]#2dS(12)=A[mn]#1A[mn]#2δnnb2(kxmk^xmX^mm12,s+kynkynX^mm12,c)SAe[mn]#1e(mn)#2dS(13)=A[mn]#1A(mn)#2δnnb2(kxmkynX^mm12,sk^xmkynX^mm12,c)SAe(mn)#1e[mn]#2dS(14)=A(mn)#1A[mn]#2δnnb2(k^xmkynX^mm12,skxmkynX^mm12,c) TEm0モード(m0)(TEmnモードにおいてn=0)に対しては, (15)SAe[m0]#1e[m0]#2dS=A[m0]#1A[m0]#2bkxmk^xmX^mm12,s(16)SAe[m0]#1e(m0)#2dS=0(17)SAe(mn)#1e[m0]#2dS=0 積分範囲SAは,導波管\#1の断面 0xa10ybと一致しているので,導波管 #1のモードの正規直交性より(n=n), (18)SAe[mn]#1e[mn]#1dS=δmm(19)SAe(mn)#1e(mn)#1dS=δmm(20)SAe[mn]#1e(mn)#1dS=0(21)SAe(mn)#1e[mn]#1dS=0 導波管 #2のモードの内積については,積分範囲SAが導波管 #2の断面の一部となり, (22)SAe[mn]#2e[mn]#2dS=A[mn]#2A[mn]#2b2(k^xmk^xmX^mm22,s+kyn2X^mm22,c)(23)SAe(mn)#2e(mn)#2dS=A(mn)#2A(mn)#2b2(kyn2X^mm22,s+k^xmk^xmX^mm22,c)(24)SAe[mn]#2e(mn)#2dS=A[mn]#2A(mn)#2b2kyn(k^xmX^mm22,sk^xmX^mm22,c)(25)SAe(mn)#2e[mn]#2dS=A(mn)#2A[mn]#2b2kyn(k^xmX^mm22,sk^xmX^mm22,c)