2.4　E面ステップ状不連続（x方向寸法aが一定の場合）

　逆に，x方向の導波菅形状は均一とし， y方向にステップ状不連続がある場合のE面ステップ状不連続問題を説明する．この場合，入射波はTE10モードを考える． x方向の形状は均一ゆえ，関数の直交性によって次数 m=1 のみである．一方，y方向はステップ状不連続ゆえ， TE1nモード（n=0,1,2,⋯）とTM1nモード（n=1,2,⋯）で展開してモード整合を行えばよい．
　まず，導波管 #1（a×b1）のTE1nモードと導波管 #2（a×b2）のTE1n′モードを求めるためのスカラ関数は， (1)Ψ[1n]#1≡A[1n]#1hx[1](x)hy[n]#1(y),     Ψ[1n′]#2≡A[1n′]#2hx[1](x)hy[n′]#2(y) ここで， (2)hx[1](x)=cos⁡(kx1x)(3)hy[n]#1(y)=cos⁡(kyny),   hy[n′]#2(y)=cos⁡{k^yn′(y+y2)} ただし， (4)kx1=πa(5)kyn=nπb1  (n=0,1,2,⋯),  k^yn′=n′πb2  (n′=0,1,2,⋯) また，導波管 #1のTM1nモードと導波管 #2のTM1n′モードを， (6)Ψ(1n)#1≡A(1n)#1hx(1)(x)hy(n)#1(y),     Ψ(1n′)#2≡A(1n′)#2hx(1)(x)hy(n′)#2(y) ここで， (7)hx(1)(x)=sin⁡(kx1x)(8)hy(n)#1(y)=sin⁡(kyny),   hy(n′)#2(y)=sin⁡{k^yn′(y+y2)} ただし， (9)kx1=πa(10)kyn=nπb1  (n=1,2,⋯),  k^yn′=n′πb2  (n′=1,2,⋯) この場合も導波管 #1と #2のモードの内積に関わる積分は， x方向は直交性があるので，次数 m=1 以外は考える必要がない． x方向の導波管幅は一定ゆえ， kxm≠k^xm′ のとき， X^mm′12,{sc=0． また，kxm=k^xm′≠0 のとき， X^mm′12,{sc=a/2． モード関数の内積は， m=m′=1 で考えればよく， (11)∬SAe[1n]#1⋅e[1n′]#2dS=A[1n]#1A[1n′]#2a2(kx12Y^nn′12,c+kynk^yn′Y^nn′12,s)(12)∬SAe[1n]#1⋅e(1n′)#2dS=A[1n]#1A(1n′)#2a2kx1(k^yn′Y^nn′12,c−kynY^nn′12,s) 同様にして，同じ構造の不連続を縦続接続する場合，次のようなモード関数の内積も計算する必要がある． (13)∬SAe(1n)#1⋅e(1n′)#2dS=A(1n)#1A(1n′)#2a2(kynk^yn′Y^nn′12,c+kx12Y^nn′12,s)(14)∬SAe(1n)#1⋅e[1n′]#2dS=A(1n)#1A[1n′]#2a2kx1(kynY^nn′12,c−k^yn′Y^nn′12,s) したがって，このような縦続接続を行う場合には，TE1nモード入射，およびTM1nモード入射を考える必要がある．あるいは， ∬SAe[mn]#1⋅e(m′n′)#2dS=A[mn]#1A(m′n′)#2[(kxmX^mm′cos)⋅∫ly(hy[n]#1)′hy(n′)#2dy(15)−(−kxmX^mm′sin)⋅∫lyhy[n]#1(hy(n′)#2)′dy] m≠0 のとき（TMモードゆえm′≠0）， ∬SAe[mn]#1⋅e(m′n′)#2dS=A[mn]#1A(m′n′)#2kxma2δmm′∫ly(hy[n]#1(hy(n′)#2)′+(hy[n]#1)′hy(n′)#2)dy=A[mn]#1A(m′n′)#2kxma2δmm′[hy[n]#1hy(n′)#2]0b1=A[mn]#1A(m′n′)#2kxma2δmm′[cos⁡(kyny)sin⁡{k^yn′(y+y2)}]0b1(16)=A[mn]#1A(m′n′)#2kxma2δmm′((−1)msin⁡{k^yn′(b1+y2)}−sin⁡(k^yn′y2))

E面ステップとH面ステップの縦続接続

　初段にE面ステップ（a一定）があれば（TE10モード入射），TE1nモード，TM1nモードを考え，2段目にH面ステップ（b一定）があって，これらのモードが入射するとともに，2段目の不連続部による反射波が初段に入射する． したがって，初段の解析はTE1nモード入射，およびTM1nモード入射を考える必要がある． もちろん，2段目の解析も同様にして，TE1nモード入射，およびTM1nモード入射を考えると，モード変換によってTEmnモード，およびTMmnモードが生じる． その結果，このような縦続接続に対しては，初段，2段目ともに，モード整合法では全てのTEモード，TMモードが必要である．
　逆に，初段がH面ステップ（b一定），2段目がE面ステップ（a一定）の場合でも，同様に考えていけば，全てのTEモード，TMモードが必要となる． これを，初段がE面ステップ（b一定），2段目がH面ステップ（a一定），あるいは，初段がH面ステップ（a一定），2段目がE面ステップ（b一定）としても同様であり，全てのTEモード，TMモードが必要となる．