2.4 E面ステップ状不連続（$x$方向寸法$a$が一定の場合）
逆に，$x$方向の導波菅形状は均一とし，
$y$方向にステップ状不連続がある場合のE面ステップ状不連続問題を説明する．この場合，入射波はTE$_{10}$モードを考える．
$x$方向の形状は均一ゆえ，関数の直交性によって次数 $m=1$ のみである．一方，$y$方向はステップ状不連続ゆえ，
TE$_{1n}$モード（$n=0,1,2, \cdots$）とTM$_{1n}$モード（$n=1,2, \cdots$）で展開してモード整合を行えばよい．
まず，導波管 #1（$a \times b_1$）のTE$_{1n}$モードと導波管 #2（$a \times b_2$）のTE$_{1n'}$モードを求めるためのスカラ関数は，
\begin{gather}
\Psi^{\#1}_{[1n]} \equiv A^{\#1}_{[1n]} h_{x[1]}(x) h^{\#1}_{y[n]}(y), \ \ \ \ \
\Psi^{\#2}_{[1n']} \equiv A^{\#2}_{[1n']} h_{x[1]}(x) h^{\#2}_{y[n']}(y)
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&h_{x[1]}(x) = \cos \big( k_{x1} x \big)
\\
&h^{\#1}_{y[n]}(y) = \cos \big( k_{yn} y \big), \ \ \
h^{\#2}_{y[n']}(y) = \cos \big\{ \hat{k}_{yn'} (y + y_2) \big\}
\end{align}
ただし，
\begin{align}
&k_{x1} = \frac{\pi}{a}
\\
&k_{yn} = \frac{n\pi}{b_1} \ \ (n=0,1,2,\cdots ), \ \
\hat{k}_{yn'} = \frac{n'\pi}{b_2} \ \ (n'=0,1,2,\cdots )
\end{align}
また，導波管 #1のTM$_{1n}$モードと導波管 #2のTM$_{1n'}$モードを，
\begin{gather}
\Psi^{\#1}_{(1n)} \equiv A^{\#1}_{(1n)} h_{x(1)}(x) h^{\#1}_{y(n)}(y), \ \ \ \ \
\Psi^{\#2}_{(1n')} \equiv A^{\#2}_{(1n')} h_{x(1)}(x) h^{\#2}_{y(n')}(y)
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&h_{x(1)}(x) = \sin \big( k_{x1} x \big)
\\
&h^{\#1}_{y(n)}(y) = \sin \big( k_{yn} y \big), \ \ \
h^{\#2}_{y(n')}(y) = \sin \big\{ \hat{k}_{yn'} (y + y_2) \big\}
\end{align}
ただし，
\begin{align}
&k_{x1} = \frac{\pi}{a}
\\
&k_{yn} = \frac{n\pi}{b_1} \ \ (n=1,2,\cdots ), \ \
\hat{k}_{yn'} = \frac{n'\pi}{b_2} \ \ (n'=1,2,\cdots )
\end{align}
この場合も導波管 #1と #2のモードの内積に関わる積分は，
$x$方向は直交性があるので，次数 $m=1$ 以外は考える必要がない．
$x$方向の導波管幅は一定ゆえ，
$k_{xm} \ne \hat{k}_{xm'}$
のとき，
$\hat{X}_{mm'}^{12,\{ \substack{s \\ c}}= 0$．
また，$k_{xm} = \hat{k}_{xm'} \ne 0$
のとき，
$\hat{X}_{mm'}^{12,\{ \substack{s \\ c}}= a/2$．
モード関数の内積は， $m = m'=1$ で考えればよく，
\begin{gather}
%------------------- TE-TE
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[1n]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{[1n']} dS
= A^{\#1}_{[1n]} A^{\#2}_{[1n']} \frac{a}{2}
\Big( k_{x1}^2 \hat{Y}_{nn'}^{12,\mathrm{c}}
+ k_{yn} \hat{k}_{yn'} \hat{Y}_{nn'}^{12,\mathrm{s}} \Big)\\
%------------------- TE-TM
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[1n]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{(1n')} dS
= A^{\#1}_{[1n]} A^{\#2}_{(1n')} \frac{a}{2} k_{x1}
\Big( \hat{k}_{yn'} \hat{Y}_{nn'}^{12,\mathrm{c}}
- k_{yn} \hat{Y}_{nn'}^{12,\mathrm{s}} \Big)
\end{gather}
同様にして，同じ構造の不連続を縦続接続する場合，次のようなモード関数の内積も計算する必要がある．
\begin{gather}
%------------------- TM-TM
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{(1n)} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{(1n')} dS
= A^{\#1}_{(1n)} A^{\#2}_{(1n')} \frac{a}{2}
\Big( k_{yn} \hat{k}_{yn'} \hat{Y}_{nn'}^{12,\mathrm{c}}
+ k_{x1}^2 \hat{Y}_{nn'}^{12,\mathrm{s}} \Big)\\
%------------------- TM-TE
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{(1n)} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{[1n']} dS
= A^{\#1}_{(1n)} A^{\#2}_{[1n']} \frac{a}{2} k_{x1}
\Big( k_{yn} \hat{Y}_{nn'}^{12,\mathrm{c}}
- \hat{k}_{yn'} \hat{Y}_{nn'}^{12,\mathrm{s}} \Big)
\end{gather}
したがって，このような縦続接続を行う場合には，TE$_{1n}$モード入射，およびTM$_{1n}$モード入射を考える必要がある．あるいは，
\begin{eqnarray}
&&\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[mn]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{(m'n')} dS
\nonumber \\
&=& A^{\#1}_{[mn]} A^{\#2}_{(m'n')}
\left[ \big( k_{xm} \hat{X}_{mm'}^{\mathrm{cos}} \big) \cdot
\int _{l_y} (h^{\#1}_{y[n]})' h^{\#2}_{y(n')} dy \right.
\nonumber \\
&&\left. - \big( -k_{xm} \hat{X}_{mm'}^{\mathrm{sin}} \big) \cdot
\int _{l_y} h^{\#1}_{y[n]} (h^{\#2}_{y(n')})' dy \right]
\end{eqnarray}
$m \neq 0$ のとき（TMモードゆえ$m' \neq 0$），
\begin{eqnarray}
&&\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[mn]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{(m'n')} dS
\nonumber \\
&=& A^{\#1}_{[mn]} A^{\#2}_{(m'n')} k_{xm} \frac{a}{2} \delta _{mm'}
\int _{l_y} \left( h^{\#1}_{y[n]} (h^{\#2}_{y(n')})' + (h^{\#1}_{y[n]})' h^{\#2}_{y(n')} \right) dy
\nonumber \\
&=& A^{\#1}_{[mn]} A^{\#2}_{(m'n')} k_{xm} \frac{a}{2} \delta _{mm'}
\left[ h^{\#1}_{y[n]} h^{\#2}_{y(n')} \right]_0^{b_1}
\nonumber \\
&=& A^{\#1}_{[mn]} A^{\#2}_{(m'n')} k_{xm} \frac{a}{2} \delta _{mm'}
\left[ \cos \big( k_{yn} y \big) \sin \big\{ \hat{k}_{yn'} (y+y_2) \big\} \right]_0^{b_1}
\nonumber \\
&=& A^{\#1}_{[mn]} A^{\#2}_{(m'n')} k_{xm} \frac{a}{2} \delta _{mm'}
\left( (-1) ^m \sin \big\{ \hat{k}_{yn'} (b_1+y_2) \big\} - \sin \big( \hat{k}_{yn'} y_2 \big) \right)
\end{eqnarray}
E面ステップとH面ステップの縦続接続
初段にE面ステップ（$a$一定）があれば（TE$_{10}$モード入射），TE$_{1n}$モード，TM$_{1n}$モードを考え，2段目にH面ステップ（$b$一定）があって，これらのモードが入射するとともに，2段目の不連続部による反射波が初段に入射する．
したがって，初段の解析はTE$_{1n}$モード入射，およびTM$_{1n}$モード入射を考える必要がある．
もちろん，2段目の解析も同様にして，TE$_{1n}$モード入射，およびTM$_{1n}$モード入射を考えると，モード変換によってTE$_{mn}$モード，およびTM$_{mn}$モードが生じる．
その結果，このような縦続接続に対しては，初段，2段目ともに，モード整合法では全てのTEモード，TMモードが必要である．
逆に，初段がH面ステップ（$b$一定），2段目がE面ステップ（$a$一定）の場合でも，同様に考えていけば，全てのTEモード，TMモードが必要となる．
これを，初段がE面ステップ（$b$一定），2段目がH面ステップ（$a$一定），あるいは，初段がH面ステップ（$a$一定），2段目がE面ステップ（$b$一定）としても同様であり，全てのTEモード，TMモードが必要となる．