2.3 E面ステップ状不連続（$y$方向寸法$b$が一定の場合）
不連続部の形状は同じで，TE$_{01}$モードが入射した場合を考える（E面ステップ状不連続）．
$y$方向の導波菅形状は均一ゆえ，関数の直交性によって次数 $n=1$ のみである．一方，$x$方向はステップ状不連続ゆえ，
TE$_{m1}$モード（$m=0,1,2, \cdots$）とTM$_{m1}$モード（$m=1,2, \cdots$）で展開してモード整合を行えばよい．
まず，導波管 #1（$a_1 \times b$）のTE$_{m1}$モードと導波管 #2（$a_2 \times b$）のTE$_{m'1}$モードを求めるためのスカラ関数は，
\begin{gather}
\Psi^{\#1}_{[m1]} \equiv A^{\#1}_{[m1]} h^{\#1}_{x[m]}(x) h_{y[1]}(y), \ \ \ \ \
\Psi^{\#2}_{[m'1]} \equiv A^{\#2}_{[m'1]} h^{\#2}_{x[m']}(x) h_{y[1]}(y)
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&h^{\#1}_{x[m]}(x) = \cos \big( k_{xm} x \big), \ \ \
h^{\#2}_{x[m']}(x) = \cos \big\{ \hat{k}_{xm'} (x + x_2) \big\}
\\
&h_{y[1]}(y) = \cos \big( k_{y1} y \big)
\end{align}
ただし，
\begin{align}
&k_{xm} = \frac{m\pi}{a_1} \ \ (m=0,1,2,\cdots ), \ \ \ \
\hat{k}_{xm'} = \frac{m'\pi}{a_2} \ \ (m'=0,1,2,\cdots )
\\
&k_{y1} = \frac{\pi}{b}
\end{align}
また，導波管 #1のTM$_{m1}$モードと導波管 #2のTM$_{m'1}$モードを，
\begin{gather}
\Psi^{\#1}_{(mn)} \equiv A^{\#1}_{(mn)} h^{\#1}_{x(m)}(x) h_{y(1)}(y), \ \ \ \ \
\Psi^{\#2}_{(m'n')} \equiv A^{\#2}_{(m'n')} h^{\#2}_{x(m')}(x) h_{y(1)}(y)
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&h^{\#1}_{x(m)}(x) = \sin \big( k_{xm} x \big), \ \ \
h^{\#2}_{x(m')}(x) = \sin \big\{ \hat{k}_{xm'} (x + x_2) \big\}
\\
&h_{y(1)}(y) = \sin \big( k_{y1} y \big)
\end{align}
ただし，
\begin{align}
&k_{xm} = \frac{m\pi}{a_1} \ \ (m=1,2,\cdots ), \ \ \ \
\hat{k}_{xm'} = \frac{m'\pi}{a_2} \ \ (m'=1,2,\cdots )
\\
&k_{y1} = \frac{\pi}{b}
\end{align}
この場合も導波管 #1と #2のモードの内積に関わる積分は，
$y$方向は直交性があるので，次数 $n=1$ 以外は考える必要がない．
$y$方向の導波管幅は一定ゆえ，
$k_{yn} \ne \hat{k}_{yn'}$ のとき，
\begin{eqnarray}
\hat{Y}_{nn'}^{12,\{ \substack{s \\ c}}
&=& \int_0^b \begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ (k_{yn} y)
\cdot \begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ (k_{yn'} y) dy
\nonumber \\
&=& \left[ \mp \frac{\sin \big\{ ( k_{yn} + k_{yn'}) y \big\} }{2(k_{yn}+k_{yn'})}
+ \frac{\sin \big\{ (k_{yn} - k_{yn'}) y \big\} }{2(k_{yn}-k_{yn'})} \right]_0^b
\nonumber \\
&=& 0
\end{eqnarray}
また，$k_{yn} = \hat{k}_{yn'} \ne 0$ のとき，
\begin{eqnarray}
\hat{Y}_{nn'}^{12,\{ \substack{s \\ c}}
&=& \int_0^b \begin{matrix} \sin^2 \\ \cos^2 \end{matrix} \ (k_{yn} y) dy
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \int_0^b \big\{ 1 \mp \cos 2 (k_{yn} y) \big\} dy
\nonumber \\
&=& \left[ \mp \frac{\sin 2 (k_{yn} y)}{4 k_{yn}}
+ \frac{y}{2} \right]_0^b
\nonumber \\
&=& \frac{b}{2}
\end{eqnarray}
モード関数の内積は，$n = n'=1$ で考えればよく，
\begin{gather}
%------------------- TE-TE
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[m1]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{[m'1]} dS
= A^{\#1}_{[m1]} A^{\#2}_{[m'1]} \frac{b}{2}
\Big( k_{xm} \hat{k}_{xm'} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{s}}
+ k_{y1}^2 \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{c}} \Big)\\
%------------------- TE-TM
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[m1]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{(m'1)} dS
= A^{\#1}_{[m1]} A^{\#2}_{(m'1)} \frac{b}{2} k_{y1}
\Big( k_{xm} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{s}}
- \hat{k}_{xm'} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{c}} \Big)
\label{eq:e1m1tee2m1tm}
\end{gather}
同じ構造の不連続を縦続接続する場合，発生したモードは次の隣接する不連続部への入射波となるとともに，隣接する不連続部で発生したモードの反射波は最初の不連続の出力側の入射波となるので，両方の不連続部のモード整合法では，次のようなモード関数の内積も計算する必要がある．
\begin{gather}
%------------------- TM-TM
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{(m1)} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{(m'1)} dS
= A^{\#1}_{(m1)} A^{\#2}_{(m'1)} \frac{b}{2}
\Big( k_{y1}^2 \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{s}}
+ k_{xm} \hat{k}_{xm'} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{c}} \Big)\\
%------------------- TM-TE
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{(m1)} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{[m'1]} dS
= A^{\#1}_{(m1)} A^{\#2}_{[m'1]} \frac{b}{2} k_{y1}
\Big( \hat{k}_{xm'} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{s}}
- k_{xm} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{c}} \Big)
\end{gather}
したがって，このような縦続接続を行う場合には，TE$_{m1}$モード入射，およびTM$_{m1}$モード入射を考える必要がある．
式\eqref{eq:e1m1tee2m1tm}に示したTEモードとTMモードの内積に関しては，
$k_{xm} \ne \hat{k}_{xm'}$ のとき，
\begin{eqnarray}
&&k_{xm} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{s}}
- \hat{k}_{xm'} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{c}}
\nonumber \\
&=& k_{xm} \left\{ - \frac{C_1 - C_0}{2(k_{xm}+\hat{k}_{xm'})} + \frac{C_2+C_0}{2(k_{xm}-\hat{k}_{xm'})} \right\}
\nonumber \\
&&-\hat{k}_{xm'} \left\{ \frac{C_1-C_0}{2(k_{xm}+\hat{k}_{xm'})} + \frac{C_2+C_0}{2(k_{xm}-\hat{k}_{xm'})} \right\}
\nonumber \\
&=& -\frac{C_1-C_0}{2} +\frac{C_2+C_0}{2}
\nonumber \\
&=& \frac{-C_1 + C_2}{2} +C_0= \frac{1}{2} \big( -\sin A + \sin B \big) + C_0
\nonumber \\
&=& -\cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) + C_0
\nonumber \\
&=& -\cos \big( k_{xm} a_1 \big) \sin \left\{ \hat{k}_{xm'} (a_1+x_2) \right\} + C_0
\nonumber \\
&=& -(-1)^m \sin \left\{ \hat{k}_{xm'} (a_1+x_2) \right\} + \sin \big( \hat{k}_{xm'} x_2 \big)
\end{eqnarray}
あるいは，式\eqref{eq:e1m1tee2m1tm}は，次のように計算することもできる．
\begin{eqnarray}
&&\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[mn]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{(m'n')} dS
\nonumber \\
&=& A^{\#1}_{[mn]} A^{\#2}_{(m'n')}
\left[ \int _{l_x} h^{\#1}_{x[m]} (h^{\#2}_{x(m')})' dx
\cdot \big( -k_{yn} \hat{Y}_{nn'}^{\mathrm{sin}} \big) \right.
\nonumber \\
&&\left. - \int _{l_x} (h^{\#1}_{x[m]})' h^{\#2}_{x(m')} dx
\cdot \big( k_{yn} \hat{Y}_{nn'}^{\mathrm{cos}} \big) \right]
\end{eqnarray}
$n \neq 0$ のとき（$n' \neq 0$はTMモードゆえ），
\begin{eqnarray}
&&\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[mn]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{(m'n')} dS
\nonumber \\
&=& -A^{\#1}_{[mn]} A^{\#2}_{(m'n')} k_{yn} \frac{b}{2} \delta _{nn'}
\int _{l_x} \left( h^{\#1}_{x[m]} (h^{\#2}_{x(m')})' + (h^{\#1}_{x[m]})' h^{\#2}_{x(m')} \right) dx
\nonumber \\
&=& -A^{\#1}_{[mn]} A^{\#2}_{(m'n')} k_{yn} \frac{b}{2} \delta _{nn'}
\left[ h^{\#1}_{x[m]} h^{\#2}_{x(m')} \right]_0^{a_1}
\nonumber \\
&=& -A^{\#1}_{[mn]} A^{\#2}_{(m'n')} k_{yn} \frac{b}{2} \delta _{nn'}
\left[ \cos \big( k_{xm} x \big) \sin \big\{ \hat{k}_{xm'} (x+x_2) \big\} \right]_0^{a_1}
\nonumber \\
&=& -A^{\#1}_{[mn]} A^{\#2}_{(m'n')} k_{yn} \frac{b}{2} \delta _{nn'}
\nonumber \\
&&\cdot \left( (-1) ^m \sin \big\{ \hat{k}_{xm'} (a_1+x_2) \big\} - \sin \big( \hat{k}_{xm'} x_2 \big) \right)
\end{eqnarray}