2.3 E面ステップ状不連続(y方向寸法bが一定の場合)

 不連続部の形状は同じで,TE01モードが入射した場合を考える(E面ステップ状不連続). y方向の導波菅形状は均一ゆえ,関数の直交性によって次数 n=1 のみである.一方,x方向はステップ状不連続ゆえ, TEm1モード(m=0,1,2,)とTMm1モード(m=1,2,)で展開してモード整合を行えばよい.
 まず,導波管 #1(a1×b)のTEm1モードと導波管 #2(a2×b)のTEm1モードを求めるためのスカラ関数は, (1)Ψ[m1]#1A[m1]#1hx[m]#1(x)hy[1](y),     Ψ[m1]#2A[m1]#2hx[m]#2(x)hy[1](y) ここで, (2)hx[m]#1(x)=cos(kxmx),   hx[m]#2(x)=cos{k^xm(x+x2)}(3)hy[1](y)=cos(ky1y) ただし, (4)kxm=mπa1  (m=0,1,2,),    k^xm=mπa2  (m=0,1,2,)(5)ky1=πb また,導波管 #1のTMm1モードと導波管 #2のTMm1モードを, (6)Ψ(mn)#1A(mn)#1hx(m)#1(x)hy(1)(y),     Ψ(mn)#2A(mn)#2hx(m)#2(x)hy(1)(y) ここで, (7)hx(m)#1(x)=sin(kxmx),   hx(m)#2(x)=sin{k^xm(x+x2)}(8)hy(1)(y)=sin(ky1y) ただし, (9)kxm=mπa1  (m=1,2,),    k^xm=mπa2  (m=1,2,)(10)ky1=πb この場合も導波管 #1と #2のモードの内積に関わる積分は, y方向は直交性があるので,次数 n=1 以外は考える必要がない. y方向の導波管幅は一定ゆえ, kynk^yn のとき, Y^nn12,{sc=0bsincos (kyny)sincos (kyny)dy=[sin{(kyn+kyn)y}2(kyn+kyn)+sin{(kynkyn)y}2(kynkyn)]0b(11)=0 また,kyn=k^yn0 のとき, Y^nn12,{sc=0bsin2cos2 (kyny)dy=120b{1cos2(kyny)}dy=[sin2(kyny)4kyn+y2]0b(12)=b2 モード関数の内積は,n=n=1 で考えればよく, (13)SAe[m1]#1e[m1]#2dS=A[m1]#1A[m1]#2b2(kxmk^xmX^mm12,s+ky12X^mm12,c)(14)SAe[m1]#1e(m1)#2dS=A[m1]#1A(m1)#2b2ky1(kxmX^mm12,sk^xmX^mm12,c) 同じ構造の不連続を縦続接続する場合,発生したモードは次の隣接する不連続部への入射波となるとともに,隣接する不連続部で発生したモードの反射波は最初の不連続の出力側の入射波となるので,両方の不連続部のモード整合法では,次のようなモード関数の内積も計算する必要がある. (15)SAe(m1)#1e(m1)#2dS=A(m1)#1A(m1)#2b2(ky12X^mm12,s+kxmk^xmX^mm12,c)(16)SAe(m1)#1e[m1]#2dS=A(m1)#1A[m1]#2b2ky1(k^xmX^mm12,skxmX^mm12,c) したがって,このような縦続接続を行う場合には,TEm1モード入射,およびTMm1モード入射を考える必要がある. 式(14)に示したTEモードとTMモードの内積に関しては, kxmk^xm のとき, kxmX^mm12,sk^xmX^mm12,c=kxm{C1C02(kxm+k^xm)+C2+C02(kxmk^xm)}k^xm{C1C02(kxm+k^xm)+C2+C02(kxmk^xm)}=C1C02+C2+C02=C1+C22+C0=12(sinA+sinB)+C0=cos(A+B2)sin(AB2)+C0=cos(kxma1)sin{k^xm(a1+x2)}+C0(17)=(1)msin{k^xm(a1+x2)}+sin(k^xmx2) あるいは,式(14)は,次のように計算することもできる. SAe[mn]#1e(mn)#2dS=A[mn]#1A(mn)#2[lxhx[m]#1(hx(m)#2)dx(kynY^nnsin)(18)lx(hx[m]#1)hx(m)#2dx(kynY^nncos)] n0 のとき(n0はTMモードゆえ), SAe[mn]#1e(mn)#2dS=A[mn]#1A(mn)#2kynb2δnnlx(hx[m]#1(hx(m)#2)+(hx[m]#1)hx(m)#2)dx=A[mn]#1A(mn)#2kynb2δnn[hx[m]#1hx(m)#2]0a1=A[mn]#1A(mn)#2kynb2δnn[cos(kxmx)sin{k^xm(x+x2)}]0a1=A[mn]#1A(mn)#2kynb2δnn(19)((1)msin{k^xm(a1+x2)}sin(k^xmx2))