2.2 H面ステップ状不連続（$y$方向寸法$b$が一定の場合）
2つの導波路断面の$y$方向の内径が等しく，
$x$方向の内径が異なる不連続部に，TE$_{10}$モードが入射した場合を考える（H面ステップ状不連続）．
$y$方向のモードの次数$n=0$ゆえ，
$x$方向のモードの次数は$m=1,2, \cdots$である．TMモードは次数0のモードは存在しないため，
$y$方向の関数の直交性よりTMモードは発生しない．TEモードについても，直交性より$y$方向の次数が異なるモードも発生しない．したがって，TE$_{m0}$モード（$m=1,2, \cdots$）で展開してモード整合を行えばよい．
まず，導波管 #1（$a_1 \times b$）のTE$_{m0}$モードと導波管 #2（$a_2 \times b$）のTE$_{m'0}$モードを求めるためのスカラ関数は，
\begin{gather}
\Psi^{\#1}_{[m0]} \equiv A^{\#1}_{[m0]} h^{\#1}_{x[m]}(x), \ \ \ \ \
\Psi^{\#2}_{[m'0]} \equiv A^{\#2}_{[m'0]} h^{\#2}_{x[m']}(x)
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
h^{\#1}_{x[m]}(x) = \cos \big( k_{xm} x \big), \ \ \ \ \
h^{\#2}_{x[m']}(x) = \cos \big\{ \hat{k}_{xm'} (x + x_2) \big\}
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
k_{xm} = \frac{m\pi}{a_1} \ \ (m=1,2,\cdots ), \ \ \ \ \
\hat{k}_{xm'} = \frac{m'\pi}{a_2} \ \ (m'=1,2,\cdots )
\end{gather}
モード関数の内積は，
$k_{y0}=0$，$\hat{k}_{y0}=0$，$\hat{Y}_{nn'}^{12,c}=b$
より，
\begin{gather}
\iint _{S_A} \VEC{e}^{\#1}_{[m0]} \cdot \VEC{e}^{\#2}_{[m'0]} dS
= A^{\#1}_{[m0]} A^{\#2}_{[m'0]} b k_{xm} \hat{k}_{xm'} \hat{X}_{mm'}^{12,\mathrm{s}}
\end{gather}
ただし，$a_1< a_2$で$S_A$が導波管 #1の断面形状と一致する不連続のとき，導波管 #2のモードの内積では，$S_A$が$x$方向について #2の断面の一部となる．
いま，不連続部の開口面$S_A$を
$0 \le x \le a_1$，$0 \le y \le b$
とすると，
$k_{xm} \ne \hat{k}_{xm'}$ のとき，
\begin{eqnarray}
\hat{X}_{mm'}^{12,\{ \substack{s \\ c}}
&=& \int_0^{a_1} \begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ (k_{xm} x)
\cdot \begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \big\{ \hat{k}_{xm'} (x +x_2) \big\} dx
\nonumber \\
&=& \left[ \mp \frac{\sin \big\{ k_{xm} x + \hat{k}_{xm'} (x +x_2) \big\} }{2(k_{xm}+\hat{k}_{xm'})}
\right.
\nonumber \\
&&\left.
+ \frac{\sin \big\{ k_{xm} x - \hat{k}_{xm'} (x +x_2) \big\} }{2(k_{xm}-\hat{k}_{xm'})} \right]_0^{a_1}
\nonumber \\
&=& \mp \frac{\sin \big\{ (k_{xm} + \hat{k}_{xm'}) a_1 +\hat{k}_{xm'} x_2 \big\} - \sin (\hat{k}_{xm'} x_2)}{2(k_{xm}+\hat{k}_{xm'})}
\nonumber \\
&&+ \frac{\sin \big\{ (k_{xm} - \hat{k}_{xm'}) a_1 -\hat{k}_{xm'}x_2 \big\} + \sin (\hat{k}_{xm'} x_2)}{2(k_{xm}-\hat{k}_{xm'})}
\end{eqnarray}
また，$k_{xm} = \hat{k}_{xm'} \ne 0$ のとき，
\begin{eqnarray}
\hat{X}_{mm'}^{12,\{ \substack{s \\ c}}
&=& \int_0^{a_1} \begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \ (k_{xm} x )
\cdot \begin{matrix} \sin \\ \cos \end{matrix} \big\{ k_{xm} (x +x_2) \big\} dx
\nonumber \\
&=& \left[ \mp \frac{\sin \big[ k_{xm} (2x + x_2) \big]}{4 k_{xm}}
+ \frac{x \cos \big\{ k_{xm} (-x_2) \big\} }{2} \right]_0^{a_1}
\nonumber \\
&=& \mp \frac{\sin \big\{ k_{xm} (2a_1 +x_2) \big\} - \sin (k_{xm} x_2)}{4k_{xm}}
+ \frac{a_1 \cos ( k_{xm} x_2)}{2}
\end{eqnarray}
ここで解析している構造の不連続を縦続接続する場合，基本TE$_{10}$モードのみを入力側から入射させたとしても，最初の不連続部によって高次TE$_{m0}$モードが発生し，これらは次の隣接する不連続部への入射波となるとともに，隣接する不連続部で生じた反射波が再び最初の不連続部の出力側に入射するため，このような縦続接続を行う場合には，
TE$_{m0}$モード入射を考えて最初からモード整合法で解析する必要がある．
ただし，TEモードの $n=0$ の次数のモードからTMモードは直交性があるため発生しない．