1.1 ガラーキン法によるモード整合法
不連続部のある導波路
異なる2つの均一導波路 #1（$z \leq 0$）と #2（$z \geq 0$）が
$z=0$で接続された不連続問題を，ガラーキン法によるモード整合法を適用し，試行関数（testing function）として通常のモード関数を用いた解法について説明する．
不連続部における入射波の波動振幅を$a^{(i)}_n$，反射（散乱）波の波動振幅を$b^{(i)}_n$とすると（$i=1,2$は導波路 #1， #2に対応，$n$はモードの次数），
位置ベクトル$\VEC{r} = z\VEC{a}_z+ \VECi{\rho}$（$\VEC{a}_z$は$z$方向の単位ベクトル）における横断面内電界
$\VEC{E}_t^{(1)}$，$\VEC{E}_t^{(2)}$は，次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,z)
= \sum_n \left( a^{(1)}_n e^{-\gamma_n^{(1)}z} + b^{(1)}_n e^{\gamma_n^{(1)}z} \right)
\sqrt{Z_n^{(1)}} \VEC{e}_n^{(1)}(\VECi{\rho})
\\
\VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,z)
= \sum_n \left( b^{(2)}_n e^{-\gamma_n^{(2)}z} + a^{(2)}_n e^{\gamma_n^{(2)}z} \right)
\sqrt{Z_n^{(2)}} \VEC{e}_n^{(2)}(\VECi{\rho})
\end{gather}
ただし，$Z_n^{(i)}$は導波路 #$i$における$n$次モードの波動インピーダンス，
$\gamma_n^{(i)}$は伝搬定数，
$\VEC{e}_n^{(i)}$は電界のモード関数を示す．また，横断面内磁界$\VEC{H}_t^{(1)}$，$\VEC{H}_t^{(2)}$は，
\begin{gather}
\VEC{H}_t^{(1)} (\VECi{\rho} ,z)
= \sum_n \left( a^{(1)}_n e^{-\gamma_n^{(1)}z} - b^{(1)}_n e^{\gamma_n^{(1)}z} \right)
\sqrt{Y_n^{(1)}} \VEC{h}_n^{(1)}(\VECi{\rho})
\\
\VEC{H}_t^{(2)} (\VECi{\rho} ,z)
= \sum_n \left( b^{(2)}_n e^{-\gamma_n^{(2)}z} - a^{(2)}_n e^{\gamma_n^{(2)}z} \right)
\sqrt{Y_n^{(2)}} \VEC{h}_n^{(2)}(\VECi{\rho})
\end{gather}
ただし，$Y_n^{(i)}$は導波路 \#$i$における$n$次モードの波動アドミタンス，
$\VEC{h}_n^{(i)}$は磁界のモード関数を示す．
ここで，ベクトルモード関数$\VEC{e}_n^{(i)}$，$\VEC{h}_n^{(i)}$の関係は，
\begin{align}
&\VEC{e}_n^{(i)} = \VEC{h}_n^{(i)} \times \VEC{a}_z
\\
&\VEC{h}_n^{(i)} = \VEC{a}_z \times \VEC{e}_n^{(i)}
\\
&\VEC{e}_m^{(i)} \cdot \VEC{e}_n^{(i)} = \VEC{h}_m^{(i)} \cdot \VEC{h}_n^{(i)}
\end{align}
このとき，モード関数の正規直交条件は，
\begin{gather}
\int_S \VEC{e}^{(i)}_m \cdot \VEC{e}_n^{(i)} dS
= \int_S \VEC{h}_m^{(i)} \cdot \VEC{h}_n^{(i)} dS = \delta _{mn} \ \ \ \ \ (i=1,2)
\end{gather}
不連続部の境界条件
不連続部が開口面$S_0$，および
（完全）導体面$S_1$（導波路 #1側の$z=0^-$）,
$S_2$（導波路 #2側の$z=0^+$）とからなる場合，境界条件は次のようになる．
\begin{align}
&\VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho},0^-) = \VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho},0^+), \ \ \
\VEC{H}_t^{(1)} (\VECi{\rho},0^-) = \VEC{H}_t^{(2)} (\VECi{\rho},0^+), \ \ \ \ \
(\mbox{開口面}S_0)
\\
&\VEC{E}_t^{(i)} (\VECi{\rho},0^{\mp}) = 0 \ \ \ \ (i=1,2) \ \ \ \ \
(\mbox{導体面}S_i)
\end{align}
ただし，上側符号は $i=1$，下側符号は $i=2$．ここで，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_t^{(i)} (\VECi{\rho} ,0^{\mp})
&=& \sum_n^{N_i} \left( a^{(i)}_n + b^{(i)}_n \right) \sqrt{Z_n^{(i)}} \VEC{e}_n^{(i)}(\VECi{\rho})
\\
\VEC{H}_t^{(i)} (\VECi{\rho} ,0^{\mp})
&=& \pm \sum_n^{N_i} \left( a^{(i)}_n - b^{(i)}_n \right) \sqrt{Y_n^{(i)}} \VEC{h}_n^{(i)}(\VECi{\rho})
\end{eqnarray}
ガラーキン法
開口面$S_0$の電界の境界条件の両辺に
$\VEC{e}_m^{1 \choose 2} \ (m=1,2, \cdots, N_{1 \choose 2})$で内積をとると，
\begin{gather}
\iint _{S_0} \VEC{e}_m^{1 \choose 2} (\VECi{\rho}) \cdot \VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho},0^-) dS
= \iint _{S_0} \VEC{e}_m^{1 \choose 2} (\VECi{\rho}) \cdot \VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho},0^+) dS
\label{eq:S0E}
\end{gather}
導体面$S_i \ (i=1,2)$の電界の境界条件の両辺に
$\VEC{e}_m^{(i)}$で内積をとると，
\begin{gather}
\iint _{S_1} \VEC{e}_m^{(1)} (\VECi{\rho}) \cdot \VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho},0^-) dS = 0
\ \ \ \ \ (m=1,2, \cdots, N_1)\label{eq:S1cond}
\\
\iint _{S_2} \VEC{e}_m^{(2)} (\VECi{\rho}) \cdot \VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho},0^+) dS = 0
\ \ \ \ \ (m=1,2, \cdots, N_2)\label{eq:S2cond}
\end{gather}
式\eqref{eq:S0E}の上側と式\eqref{eq:S1cond}より，
\begin{gather}
\iint _{S_0+S_1} \VEC{e}_m^{(1)} (\VECi{\rho}) \cdot \VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho},0^-) dS
= \iint _{S_0} \VEC{e}_m^{(1)} (\VECi{\rho}) \cdot \VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho},0^+) dS
\end{gather}
これより，
\begin{align}
&\sum_n^{N_1} \sqrt{Z_n^{(1)}} \left( a^{(1)}_n + b^{(1)}_n \right)
\iint _{S_0+S_1} \VEC{e}_m^{(1)} \cdot \VEC{e}_n^{(1)} dS
\nonumber \\
&= \sum_n^{N_2} \sqrt{Z_n^{(2)}} \left( b^{(2)}_n + a^{(2)}_n \right)
\iint _{S_0} \VEC{e}_m^{(1)} \cdot \VEC{e}_n^{(2)} dS
\end{align}
また，式\eqref{eq:S0E}の下側と式\eqref{eq:S2cond}より，
\begin{gather}
\iint _{S_0} \VEC{e}_m^{(2)} (\VECi{\rho}) \cdot \VEC{E}_t^{(1)} (\VECi{\rho},0^-) dS
= \iint _{S_0+S_2} \VEC{e}_m^{(2)} (\VECi{\rho}) \cdot \VEC{E}_t^{(2)} (\VECi{\rho},0^+) dS
\end{gather}
これについても，
\begin{align}
&\sum_n^{N_1} \sqrt{Z_n^{(1)}} \left( a^{(1)}_n + b^{(1)}_n \right)
\iint _{S_0} \VEC{e}_m^{(2)} \cdot \VEC{e}_n^{(1)} dS
\nonumber \\
&= \sum_n^{N_2} \sqrt{Z_n^{(2)}} \left( b^{(2)}_n + a^{(2)}_n \right)
\iint _{S_0+S_2} \VEC{e}_m^{(2)} \cdot \VEC{e}_n^{(2)} dS
\end{align}
モード関数の正規直交性より，
\begin{align}
&\sqrt{Z_m^{(1)}} \left( a^{(1)}_m + b^{(1)}_m \right)
\nonumber \\
&= \sum_n^{N_1} \sqrt{Z_n^{(2)}} \left( b^{(2)}_n + a^{(2)}_n \right)
\iint _{S_0} \VEC{e}_m^{(1)} \cdot \VEC{e}_n^{(2)} dS \ \ \
(m = 1, 2, \cdots , N_1)
\\
&\sum_n^{N_1} \sqrt{Z_n^{(1)}} \left( a^{(1)}_n + b^{(1)}_n \right)
\iint _{S_0} \VEC{e}_m^{(2)} \cdot \VEC{e}_n^{(1)} dS
\nonumber \\
&= \sqrt{Z_m^{(2)}} \left( b^{(2)}_m + a^{(2)}_m \right) \ \ \
(m = 1, 2, \cdots , N_2)
\end{align}
一方，開口面$S_0$の磁界の境界条件の両辺に
$\VEC{h}_m^{1 \choose 2}$で内積をとると，$m=1,2, \cdots, N_{1 \choose 2}$のとき，
\begin{align}
&\sum_n^\infty \sqrt{Y_n^{(1)}} \left( a^{(1)}_n - b^{(1)}_n \right)
\iint _{S_0} \VEC{h}_m^{1 \choose 2} \cdot \VEC{h}_n^{(1)} dS
\nonumber \\
&= \sum_n^\infty \sqrt{Y_n^{(2)}} \left( b^{(2)}_n - a^{(2)}_n \right)
\iint _{S_0} \VEC{h}_m^{1 \choose 2} \cdot \VEC{h}_n^{(2)} dS
\end{align}
ここで，モード関数の内積を次のようにおく．
\begin{eqnarray}
I_{mn}^{ij} \Big|_{S}
&\equiv& \int _{S} \VEC{e}_m^{(i)} \cdot \VEC{e}_n^{(j)} dS
= \int _S \VEC{h}_m^{(i)} \cdot \VEC{h}_n^{(j)} dS
\nonumber \\
&=& \int _{S} \VEC{e}_n^{(j)} \cdot \VEC{e}_m^{(i)} dS
=\int _S \VEC{h}_n^{(j)} \cdot \VEC{h}_m^{(i)} dS
= I_{nm}^{ji} \Big|_{S}
\label{eq:Iiimn}
\end{eqnarray}
ただし，積分範囲$S$は，これまでの式では，$S_0$，$S_1$，$S_2$などである．
これより，$\VEC{e}^{(1)}_m$，$\VEC{h}^{(1)}_m$の内積を基にして求めた式は，
\begin{align}
&\sqrt{Z_m^{(1)}} \left( a^{(1)}_m + b^{(1)}_m \right)
\nonumber \\
&= \sum_n^{N_1} \sqrt{Z_n^{(2)}} \left( b^{(2)}_n + a^{(2)}_n \right) I_{mn}^{12} \Big|_{S_0} \ \ \
(m = 1, 2, \cdots , N_1)
\\
&\sum_n^{N_2} \sqrt{Y_n^{(1)}} \left( a^{(1)}_n - b^{(1)}_n \right) I_{mn}^{21} \Big|_{S_0}
\nonumber \\
&= \sum_n^{N_2} \sqrt{Y_n^{(2)}} \left( b^{(2)}_n - a^{(2)}_n \right) I_{mn}^{22} \Big|_{S_0} \ \ \
(m = 1, 2, \cdots , N_2)
\end{align}
また，$\VEC{e}^{(2)}_m$，$\VEC{h}^{(2)}_m$の内積を基にして求めた式は，
\begin{align}
&\sum_n^{N_2} \sqrt{Z_n^{(1)}} \left( a^{(1)}_n + b^{(1)}_n \right) I_{mn}^{21} \Big|_{S_0}
\nonumber \\
&= \sqrt{Z_m^{(2)}} \left( b^{(2)}_n + a^{(2)}_n \right) \ \ \
(m = 1, 2, \cdots , N_2)
\\
&\sum_n^{N_1} \sqrt{Y_n^{(1)}} \left( a^{(1)}_n - b^{(1)}_n \right) I_{mn}^{11} \Big|_{S_0}
\nonumber \\
&= \sum_n^{N_1} \sqrt{Y_n^{(2)}} \left( b^{(2)}_n - a^{(2)}_n \right) I_{mn}^{12} \Big|_{S_0} \ \ \
(m = 1, 2, \cdots , N_1)
\end{align}
モード関数の内積を要素とする行列を次のように定義する
（$I^{ij}_{mn}\Big|_{s_0} = I^{ji}_{nm}\Big|_{s_0}$）．
\begin{eqnarray}
\big[ P_{ij} \big] &=&
\begin{pmatrix}
I^{ij}_{11}\Big|_{s_0} & I^{ij}_{12}\Big|_{s_0} & \cdots & I^{ij}_{1N_j}\Big|_{s_0} \\
I^{ij}_{21}\Big|_{s_0} & I^{ij}_{22}\Big|_{s_0} & \cdots & I^{ij}_{2N_j}\Big|_{s_0} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
I^{ij}_{N_i1}\Big|_{s_0} & I^{ij}_{N_i2}\Big|_{s_0} & \cdots & I^{ij}_{N_iN_j}\Big|_{s_0} \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& \big[ P_{ji} \big]_T \ \ \ (i=1,2,\ j=1,2)
\end{eqnarray}
また，$\big[ \sqrt{Z_1} \big]$，$\big[ \sqrt{Y_1} \big]$は，
各々，対角要素を$\sqrt{Z_n^{(1)}}$，$\sqrt{Y_n^{(1)}}$とする$N_1$次の対角行列，
$\big[ \sqrt{Z_2} \big]$，$\big[ \sqrt{Y_2} \big]$は，
各々，対角要素を$\sqrt{Z_n^{(2)}}$，$\sqrt{Y_n^{(2)}}$とする$N_2$次の対角行列を示す．
\begin{gather}
\big[ \sqrt{Z_i} \big] =
\begin{pmatrix}
\sqrt{Z_1^{(i)}} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \sqrt{Z_2^{(i)}} & \cdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \sqrt{Z_{N_i}^{(i)}} \\
\end{pmatrix}
= \big[ \sqrt{Y_i} \big]^{-1} \ \ \ (i=1,2)
\end{gather}
また，列ベクトル（column matrix）$\VECi{a}_i$，$\VECi{b}_i$を，
\begin{gather}
\VECi{a}_1 =
\begin{pmatrix}
a^{(1)}_1 \\ a^{(1)}_2 \\ \vdots \\ a^{(1)}_{N_1}
\end{pmatrix}, \ \ \
\VECi{b}_1 =
\begin{pmatrix}
b^{(1)}_1 \\ b^{(1)}_2 \\ \vdots \\ b^{(1)}_{N_1}
\end{pmatrix} \ \ \
\VECi{a}_2 =
\begin{pmatrix}
a^{(2)}_1 \\ a^{(2)}_2 \\ \vdots \\ a^{(2)}_{N_2}
\end{pmatrix}, \ \ \
\VECi{b}_2 =
\begin{pmatrix}
b^{(2)}_1 \\ b^{(2)}_2 \\ \vdots \\ b^{(2)}_{N_2}
\end{pmatrix}
\end{gather}
とおくと，全ての$m(=1,2, \cdots)$に対する式をまとめて行列表示して，
\begin{align}
&\big[ \sqrt{Z_1} \big] \big( \VECi{a}_1 + \VECi{b}_1 \big)
= \big[ P_{12} \big] \big[ \sqrt{Z_2} \big] \big( \VECi{b}_2 + \VECi{a}_2 \big)
\\
&\big[ P_{21} \big] \big[ \sqrt{Y_1} \big] \big( \VECi{a}_1 - \VECi{b}_1 \big)
= \big[ P_{22} \big] \big[ \sqrt{Y_2} \big] \big( \VECi{b}_2 - \VECi{a}_2 \big)
\end{align}
また，
\begin{align}
&\big[ P_{21} \big] \big[ \sqrt{Z_1} \big] \big( \VECi{a}_1 + \VECi{b}_1 \big)
= \big[ \sqrt{Z_2} \big] \big( \VECi{b}_2 + \VECi{a}_2 \big)
\\
&\big[ P_{11} \big] \big[ \sqrt{Y_1} \big] \big( \VECi{a}_1 - \VECi{b}_1 \big)
= \big[ P_{12} \big] \big[ \sqrt{Y_2} \big] \big( \VECi{b}_2 - \VECi{a}_2 \big)
\end{align}
ただし，
$I^{12}_{mn} \big|_{S_0} = I^{21}_{nm}\big|_{S_0}$，
$I^{21}_{mn} \big|_{S_0}= I^{12}_{nm}\big|_{S_0}$より，
\begin{gather}
\big[ P_{21} \big]_T = \big[ P_{12} \big], \ \ \ \ \
\big[ P_{12} \big]_T = \big[ P_{21} \big]
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
\left( \big[ \sqrt{Y_1} \big] \big[ P_{12} \big] \big[ \sqrt{Z_2} \big] \right)_T
&=& \big[ \sqrt{Z_2} \big]_T \left( \big[ \sqrt{Y_1} \big] \big[ P_{12} \big] \right)_T
\nonumber \\
&=& \big[ \sqrt{Z_2} \big] \big[ P_{12} \big]_T \big[ \sqrt{Y_1} \big]_T
\nonumber \\
&=& \big[ \sqrt{Z_2} \big] \big[ P_{21} \big] \big[ \sqrt{Y_1} \big]
\\
\left( \big[ \sqrt{Y_2} \big] \big[ P_{21} \big] \big[ \sqrt{Z_1} \big] \right)_T
&=& \big[ \sqrt{Z_1} \big] \big[ P_{12} \big] \big[ \sqrt{Y_2} \big]
\end{eqnarray}
変形して，
\begin{eqnarray}
\VECi{a}_1 + \VECi{b}_1
&=& \big[ \sqrt{Y_1} \big] \big[ P_{12} \big] \big[ \sqrt{Z_2} \big] \big( \VECi{b}_2 + \VECi{a}_2 \big)
\nonumber \\
&=& \left( \big[ \sqrt{Z_2} \big] \big[ P_{21} \big] \big[ \sqrt{Y_1} \big] \right)_T
\big( \VECi{b}_2 + \VECi{a}_2 \big)
\\
\big[ \sqrt{Z_2} \big] \big[ P_{21} \big] \big[ \sqrt{Y_1} \big] \big( \VECi{a}_1 - \VECi{b}_1 \big)
&=& \left( \big[ \sqrt{Y_1} \big] \big[ P_{12} \big] \big[ \sqrt{Z_2} \big] \right)_T
\big( \VECi{a}_1 - \VECi{b}_1 \big)
\nonumber \\
&=& \big[ \sqrt{Z_2} \big] \big[ P_{22} \big] \big[ \sqrt{Y_2} \big] \big( \VECi{b}_2 - \VECi{a}_2 \big)
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
\big[ \sqrt{Y_2} \big] \big[ P_{21} \big] \big[ \sqrt{Z_1} \big] \big( \VECi{a}_1 + \VECi{b}_1 \big)
&=& \left( \big[ \sqrt{Z_1} \big] \big[ P_{12} \big] \big[ \sqrt{Y_2} \big] \right)_T
\big( \VECi{a}_1 + \VECi{b}_1 \big)
\nonumber \\
&=& \VECi{b}_2 + \VECi{a}_2
\\
\big[ \sqrt{Z_1} \big] \big[ P_{11} \big] \big[ \sqrt{Y_1} \big] \big( \VECi{a}_1 - \VECi{b}_1 \big)
&=& \big[ \sqrt{Z_1} \big] \big[ P_{12} \big] \big[ \sqrt{Y_2} \big]
\big( \VECi{b}_2 - \VECi{a}_2 \big)
\nonumber \\
&=& ( \big[ \sqrt{Y_2} \big] \big[ P_{21} \big] \big[ \sqrt{Z_1} \big] )_T
\big( \VECi{b}_2 - \VECi{a}_2 \big)
\end{eqnarray}
ここで，$i = 1,2$，$j = 1,2$として，
\begin{gather}
\big[ \bar{P}_{ij} \big] \equiv \big[ \sqrt{Z_i} \big] \big[ P_{ij} \big] \big[ \sqrt{Y_j} \big]
\end{gather}
とおくと，
\begin{align}
&\VECi{a}_1 + \VECi{b}_1 = \big[ \bar{P}_{21} \big]_T \big( \VECi{b}_2 + \VECi{a}_2 \big)
\label{eq:a1b1}
\\
&\big[ \bar{P}_{21} \big] \big( \VECi{a}_1 - \VECi{b}_1 \big)
= \big[ \bar{P}_{22} \big] \big( \VECi{b}_2 - \VECi{a}_2 \big)
\label{eq:X21a1b1}
\end{align}
および，
\begin{align}
&\big[ \bar{P}_{12} \big]_T \big( \VECi{a}_1 + \VECi{b}_1 \big)
= \VECi{b}_2 + \VECi{a}_2
\label{eq:X12Ta1b1}
\\
&\big[ \bar{P}_{11} \big] \big( \VECi{a}_1 - \VECi{b}_1 \big)
= \big[ \bar{P}_{12} \big] \big( \VECi{b}_2 - \VECi{a}_2 \big)
\label{eq:X11a1b1}
\end{align}
特別な場合として，積分範囲$S_0$が導波菅 #$i$（$i=1,2$）の断面と同じであれば，
モードの正規直交性より（$\big[ U \big]$は単位行列），
\begin{gather}
\big[ \bar{P}_{ii} \big] = \big[ U \big]
\end{gather}
が成り立ち，後述するように不連続部でSelf-Reacionが連続となる．
規格化電圧，電流
規格化電圧の列ベクトル$\bar{\VECi{V}}_i$，
規格化電流の列ベクトル$\bar{\VECi{I}}_i$を（$i=1,2$），
\begin{align}
&\bar{\VECi{V}}_1 \equiv \VECi{a}_1 + \VECi{b}_1, \ \ \ \ \
\bar{\VECi{V}}_2 \equiv \VECi{a}_2 + \VECi{b}_2
\\
&\bar{\VECi{I}}_1 \equiv \VECi{a}_1 - \VECi{b}_1, \ \ \ \ \
-\bar{\VECi{I}}_2 \equiv \VECi{a}_2 - \VECi{b}_2
\end{align}
とおくと，モード整合法によって得られた式は次のようになる．
\begin{align}
&\bar{\VECi{V}}_1 = \big[ \bar{P}_{21} \big]_T \bar{\VECi{V}}_2, \ \ \ \ \
\big[ \bar{P}_{21} \big] \bar{\VECi{I}}_1= \big[ \bar{P}_{22} \big] \bar{\VECi{I}}_2
\\
&\big[ \bar{P}_{12} \big]_T \bar{\VECi{V}}_1 = \bar{\VECi{V}}_2, \ \ \ \ \
\big[ \bar{P}_{11} \big] \bar{\VECi{I}}_1= \big[ \bar{P}_{12} \big] \bar{\VECi{I}}_2
\end{align}
ここで，$\big[ \bar{P}_{22} \big] = \big[ U \big]$が成り立つ場合，次式を解けばよい．
\begin{align}
&\bar{\VECi{V}}_1 = \big[ \bar{P}_{21} \big]_T \bar{\VECi{V}}_2
\\
&\big[ \bar{P}_{21} \big] \bar{\VECi{I}}_1= \bar{\VECi{I}}_2
\end{align}
あるいは，$\big[ \bar{P}_{11} \big] = \big[ U \big]$が成り立つ場合，
\begin{align}
&\big[ \bar{P}_{12} \big]_T \bar{\VECi{V}}_1 = \bar{\VECi{V}}_2
\\
&\bar{\VECi{I}}_1= \big[ \bar{P}_{12} \big] \bar{\VECi{I}}_2
\end{align}
Self-Reactionの連続性
導波菅 #$i$のSelf-Reaction $R^{(i)} \ (i=1,2)$を求めると，
\begin{eqnarray}
R^{(i)}
&=& \iint_{S_i} \big( \VEC{E}_t ^{(i)} \times \VEC{H}_t ^{(i)} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \iint_{S_i} \left( \sum_{n=1}^{N_i} \bar{V}_n^{(i)} \VEC{e}_n^{(i)}
\times \sum_{m=1}^{N_i} \bar{I}_m^{(i)} \VEC{h}_n^{(i)} \right) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \sum_{n=1}^{N_i} \sum_{m=1}^{N_i} \bar{V}_n^{(i)} \bar{I}_m^{(i)}
\iint_{S_i} ( \VEC{e}_n^{(i)} \times \VEC{h}_m^{(i)} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \sum_{n=1}^{N_i} \sum_{m=1}^{N_i} \bar{V}_n^{(i)} \bar{I}_m^{(i)} \delta_{nm}
\nonumber \\
&=& \sum_{n=1}^{N_i} \bar{V}_n^{(i)} \bar{I}_n^{(i)}
\nonumber \\
&=& (\bar{\VECi{V}}_i)_T \bar{\VECi{I}}_i
\end{eqnarray}
ただし，$(\bar{\VECi{V}}_i)_T$は$\bar{\VECi{V}}_i$の転置を示す．
これより，
\begin{eqnarray}
R^{(1)}
&=& (\bar{\VECi{V}}_1)_T \bar{\VECi{I}}_1
\nonumber \\
&=& (\big[ \bar{P}_{21} \big]_T \bar{\VECi{V}}_2)_T \bar{\VECi{I}}_1
\nonumber \\
&=& (\bar{\VECi{V}}_2)_T \big[ \bar{P}_{21} \big] \bar{\VECi{I}}_1
\nonumber \\
&=& (\bar{\VECi{V}}_1)_T \big[ \bar{P}_{11} \big]^{-1} \big[ \bar{P}_{12} \big] \bar{\VECi{I}}_2
\\
R^{(2)}
&=& (\bar{\VECi{V}}_2)_T \bar{\VECi{I}}_2
\nonumber \\
&=& (\bar{\VECi{V}}_2)_T \big[ \bar{P}_{22} \big]^{-1} \big[ \bar{P}_{21} \big] \bar{\VECi{I}}_1
\nonumber \\
&=& (\big[ \bar{P}_{12} \big]_T \bar{\VECi{V}}_1)_T \bar{\VECi{I}}_2
\nonumber \\
&=& (\bar{\VECi{V}}_1)_T \big[ \bar{P}_{12} \big] \bar{\VECi{I}}_2
\end{eqnarray}
よって，$\big[ \bar{P}_{11} \big] = \big[ U \big]$，あるいは
$\big[ \bar{P}_{22} \big] = \big[ U \big]$のとき，$R^{(1)} = R^{(2)}$が成り立つ
（Self-Reactionの連続性）．