5.9 3角形領域の積分について
3角形頂点が特異点となる場合
観測点$P$が3角形の頂点の一つである$\VEC{v}_2$のとき，ポテンシャル積分において，
$\VEC{r} = \VEC{v}_2$が$\VEC{r}'$
と一致すると被積分関数は特異点になる．これに対して，Duffy Transform$^\dagger$より，変数変換として，$\eta \equiv \gamma (1-\xi)$とおく方法がある．これより，位置ベクトル$\VEC{r}'$は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{r}'
&=& \VEC{v}_1 + \xi (\VEC{v}_2 - \VEC{v}_1 ) + \gamma (1-\xi) (\VEC{v}_3 - \VEC{v}_1)
\ \ \ \ \ (0 \leq \xi, \eta \leq 1)
\nonumber \\
&=& \{ 1-\xi -\gamma (1-\xi) \} \VEC{v}_1 + \xi \VEC{v}_2 + \gamma (1-\xi) \VEC{v}_3
\nonumber \\
&=& (1-\xi) (1 -\gamma) \VEC{v}_1 + \xi \VEC{v}_2 + \gamma (1-\xi) \VEC{v}_3
\end{eqnarray}
微分して，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \VEC{r}'}{\partial \xi}
&=& (\VEC{v}_2 - \VEC{v}_1 ) - \gamma (\VEC{v}_3 - \VEC{v}_1)
\\
\frac{\partial \VEC{r}'}{\partial \gamma}
&=& (1-\xi) (\VEC{v}_3 - \VEC{v}_1)
\end{eqnarray}
ベクトル積は，
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \VEC{r}'}{\partial \xi} \times \frac{\partial \VEC{r}'}{\partial \gamma}
&=& \big\{ (\VEC{v}_2 - \VEC{v}_1 ) - \gamma (\VEC{v}_3 - \VEC{v}_1) \big\} \times (1-\xi) (\VEC{v}_3 - \VEC{v}_1)
\nonumber \\
&=& (1-\xi) (\VEC{v}_2 - \VEC{v}_1 ) \times (\VEC{v}_3 - \VEC{v}_1)
\end{eqnarray}
これより，面積要素$dS'$は，
\begin{eqnarray}
dS'
&=& \left| \frac{\partial \VEC{r}'}{\partial \xi} \times \frac{\partial \VEC{r}'}{\partial \gamma}
\right| d\xi d\gamma
\nonumber \\
&=& (1-\xi) \Big| (\VEC{v}_2 - \VEC{v}_1 ) \times (\VEC{v}_3 - \VEC{v}_1) \Big| d\xi d\gamma
\nonumber \\
&=& (1-\xi) 2 A_q d\xi d\gamma
\end{eqnarray}
ただし，$A_q$は3角形領域の面積を示し，
\begin{gather}
A_q = \frac{1}{2} \Big| (\VEC{v}_2 - \VEC{v}_1 ) \times (\VEC{v}_3 - \VEC{v}_1) \Big|
\end{gather}
$\VEC{r}=\VEC{v}_2$のとき， 観測点$P$と波源との距離$R$は，
\begin{eqnarray}
R &=& |\VEC{r}-\VEC{r}'| = |\VEC{v}_2-\VEC{r}'|
\nonumber \\
&=& \left| \VEC{v}_2
- \big\{ (1-\xi) (1 -\gamma) \VEC{v}_1 + \xi \VEC{v}_2 + \gamma (1-\xi) \VEC{v}_3 \big\} \right|
\nonumber \\
&=& \left| -(1-\xi) (1 -\gamma) \VEC{v}_1 + (1-\xi) \VEC{v}_2 - \gamma (1-\xi) \VEC{v}_3 \right|
\nonumber \\
&=& \left| (1-\xi) \big\{ -(1 -\gamma) \VEC{v}_1 + \VEC{v}_2 - \gamma \VEC{v}_3 \big\} \right|
\end{eqnarray}
ここで，$0 \leq \xi \leq 1$ゆえ，
\begin{gather}
R = (1-\xi) \left| (\VEC{v}_2-\VEC{v}_1) - \gamma (\VEC{v}_3-\VEC{v}_1) \right|
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
\frac{dS'}{R}
&=& \frac{(1-\xi) \Big| (\VEC{v}_2 - \VEC{v}_1 ) \times (\VEC{v}_3 - \VEC{v}_1) \Big| d\xi d\gamma}{
(1-\xi) \left| (\VEC{v}_2-\VEC{v}_1) - \gamma (\VEC{v}_3-\VEC{v}_1) \right|}
\nonumber \\
&=& \frac{2 A_q d\xi d\gamma}{ \left|
(\VEC{v}_2-\VEC{v}_1) - \gamma (\VEC{v}_3-\VEC{v}_1) \right|}
\end{eqnarray}
三角形領域$T_q^{(+)}$の頂点$\VEC{v}_2$に観測点がある場合，ポテンシャル積分は，
\begin{eqnarray}
\VEC{A}_{qq,1}
&=& \frac{\mu}{4\pi} \frac{l_{q,1}}{2A_q} \iint_{T_q^{(+)}}
(\VEC{r}' - \VEC{v}_{q,1}) e^{-jkR} \frac{dS'}{R}
\nonumber \\
&=& \frac{\mu}{4\pi} l_{q,1}
\int _{\xi=0}^1 \int _{\gamma=0}^1 (\VEC{r}' - \VEC{v}_{q,1})
\frac{e^{-jkR} d\xi d\gamma}{ \left| (\VEC{v}_2-\VEC{v}_1) - \gamma (\VEC{v}_3-\VEC{v}_1) \right|}
\\
\Phi_{qq,1}
&=& \frac{l_{q,1}}{2\pi j \omega \epsilon} \iint_{T_q^{(+)}} e^{-jkR} \frac{dS'}{R}
\nonumber \\
&=& \frac{l_{q,1}}{\pi j \omega \epsilon} A_q \int _{\xi=0}^1 \int _{\gamma=0}^1
\frac{e^{-jkR} d\xi d\gamma}{ \left| (\VEC{v}_2-\VEC{v}_1) - \gamma (\VEC{v}_3-\VEC{v}_1) \right|}
\end{eqnarray}
3角形領域内部に特異点がある場合の積分
三角形領域$T_q^{(+)}$内部の面上に観測点がある場合，その点を新たな頂点として3つの3角形に分割し，特異点が新たな3角形の$\VEC{v}_2$となるように積分すると，
\begin{eqnarray}
\VEC{A}_{qq,1}
&=& \frac{\mu}{4\pi} \frac{l_{q,1}}{2A_q} \iint_{T_q^{(+)}}
(\VEC{r}' - \VEC{v}_{q,1}) e^{-jkR} \frac{dS'}{R}
\nonumber \\
&=& \frac{\mu}{4\pi} \frac{l_{q,1}}{A_q}
\left( A_{q,1} \int _{\xi=0}^1 \int _{\gamma=0}^1 (\VEC{r}' - \VEC{v}_{q,1})
\frac{e^{-jkR} d\xi d\gamma}{ \left| (\VEC{v}_{q,1}-\VEC{v}_1) - \gamma (\VEC{v}_3-\VEC{v}_1) \right|} \right.
\nonumber \\
&&+ A_{q,2} \int _{\xi=0}^1 \int _{\gamma=0}^1 (\VEC{r}' - \VEC{v}_{q,1})
\frac{e^{-jkR} d\xi d\gamma}{ \left| (\VEC{v}_{q,1}-\VEC{v}_2) - \gamma (\VEC{v}_1-\VEC{v}_2) \right|}
\nonumber \\
&&\left. + A_{q,3} \int _{\xi=0}^1 \int _{\gamma=0}^1 (\VEC{r}' - \VEC{v}_{q,1})
\frac{e^{-jkR} d\xi d\gamma}{ \left| (\VEC{v}_{q,1}-\VEC{v}_3) - \gamma (\VEC{v}_2-\VEC{v}_3) \right|} \right)
\\
\Phi_{qq,1}
&=& \frac{l_{q,1}}{2\pi j \omega \epsilon} \iint_{T_q^{(+)}} e^{-jkR} \frac{dS'}{R}
\nonumber \\
&=& \frac{l_{q,1}}{\pi j \omega \epsilon} \left( A_{q,1} \int _{\xi=0}^1 \int _{\gamma=0}^1
\frac{e^{-jkR} d\xi d\gamma}{ \left| (\VEC{v}_{q,1}-\VEC{v}_1) - \gamma (\VEC{v}_3-\VEC{v}_1) \right|} \right.
\nonumber \\
&&+ A_{q,2} \int _{\xi=0}^1 \int _{\gamma=0}^1
\frac{e^{-jkR} d\xi d\gamma}{ \left| (\VEC{v}_{q,1}-\VEC{v}_2) - \gamma (\VEC{v}_1-\VEC{v}_2) \right|}
\nonumber \\
&&\left. + A_{q,3} \int _{\xi=0}^1 \int _{\gamma=0}^1
\frac{e^{-jkR} d\xi d\gamma}{ \left| (\VEC{v}_{q,1}-\VEC{v}_3) - \gamma (\VEC{v}_2-\VEC{v}_3) \right|} \right)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
A_q = \sum_{i=1}^3 A_{q,i}
\end{gather}
3角形領域の辺上に特異点がある場合の積分
三角形領域$T_q^{(+)}$の辺上に観測点がある場合，その点を新たな頂点として2つの3角形に分割し，特異点が新たな3角形の$\VEC{v}_2$となるように積分すると，
\begin{eqnarray}
\VEC{A}_{qq,1}
&=& \frac{\mu}{4\pi} \frac{l_{q,1}}{2A_q} \iint_{T_q^{(+)}}
(\VEC{r}' - \VEC{v}_{q,1}) e^{-jkR} \frac{dS'}{R}
\nonumber \\
&=& \frac{\mu}{4\pi} \frac{l_{q,1}}{A_q}
\left( A_{q,1} \int _{\xi=0}^1 \int _{\gamma=0}^1 (\VEC{r}' - \VEC{v}_{q,1})
\frac{e^{-jkR} d\xi d\gamma}{ \left| (\VEC{v}_{q,1}-\VEC{v}_1) - \gamma (\VEC{v}_3-\VEC{v}_1) \right|} \right.
\nonumber \\
&&\left. + A_{q,2} \int _{\xi=0}^1 \int _{\gamma=0}^1 (\VEC{r}' - \VEC{v}_{q,1})
\frac{e^{-jkR} d\xi d\gamma}{ \left| (\VEC{v}_{q,1}-\VEC{v}_3) - \gamma (\VEC{v}_2-\VEC{v}_3) \right|} \right)
\\
\Phi_{qq,1}
&=& \frac{l_{q,1}}{2\pi j \omega \epsilon} \iint_{T_q^{(+)}} e^{-jkR} \frac{dS'}{R}
\nonumber \\
&=& \frac{l_{q,1}}{\pi j \omega \epsilon} \left( A_{q,1} \int _{\xi=0}^1 \int _{\gamma=0}^1
\frac{e^{-jkR} d\xi d\gamma}{ \left| (\VEC{v}_{q,1}-\VEC{v}_1) - \gamma (\VEC{v}_3-\VEC{v}_1) \right|} \right.
\nonumber \\
&&\left. + A_{q,2} \int _{\xi=0}^1 \int _{\gamma=0}^1
\frac{e^{-jkR} d\xi d\gamma}{ \left| (\VEC{v}_{q,1}-\VEC{v}_3) - \gamma (\VEC{v}_2-\VEC{v}_3) \right|} \right)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
A_q = \sum_{i=1}^2 A_{q,i}
\end{gather}
$\dagger$ Walton C. Gibson, “The Method of Moments in Electromagnetics,” 2nd Ed., p.267, CRC Press (2015).