3角形領域の別の積分について

5.9　3角形領域の別の積分について

　観測点

P

が3角形の頂点の一つである

v_{2}

のとき，ポテンシャル積分において，

r = v_{2}

が

r^{'}

と一致すると被積分関数は特異点になる．これに対して，Duffy Transform

^{†}

より，変数変換として，

η \equiv γ (1 - ξ)

とおく方法がある．これより，位置ベクトル

r^{'}

は次のようになる．

\begin{array}{rcl} r^{'} & = & v_{1} + ξ (v_{2} - v_{1}) + γ (1 - ξ) (v_{3} - v_{1}) (0 \leq ξ, η \leq 1) \\ = & {1 - ξ - γ (1 - ξ)} v_{1} + ξ v_{2} + γ (1 - ξ) v_{3} \\ (1) & = & (1 - ξ) (1 - γ) v_{1} + ξ v_{2} + γ (1 - ξ) v_{3} \end{array}

微分して，

\begin{array}{rcl} (2) & \frac{\partial r^{'}}{\partial ξ} & = & (v_{2} - v_{1}) - γ (v_{3} - v_{1}) \\ (3) & \frac{\partial r^{'}}{\partial γ} & = & (1 - ξ) (v_{3} - v_{1}) \end{array}

ベクトル積は，

\begin{array}{rcl} \frac{\partial r^{'}}{\partial ξ} \times \frac{\partial r^{'}}{\partial γ} & = & {(v_{2} - v_{1}) - γ (v_{3} - v_{1})} \times (1 - ξ) (v_{3} - v_{1}) \\ (4) & = & (1 - ξ) (v_{2} - v_{1}) \times (v_{3} - v_{1}) \end{array}

これより，面積要素

d S^{'}

は，

\begin{array}{rcl} d S^{'} & = & | \frac{\partial r^{'}}{\partial ξ} \times \frac{\partial r^{'}}{\partial γ} | d ξ d γ \\ = & (1 - ξ) | (v_{2} - v_{1}) \times (v_{3} - v_{1}) | d ξ d γ \\ (5) & = & (1 - ξ) 2 A_{q} d ξ d γ \end{array}

ただし，

A_{q}

は3角形領域の面積を示し，

\begin{matrix} (6) & A_{q} = \frac{1}{2} | (v_{2} - v_{1}) \times (v_{3} - v_{1}) | \end{matrix}

r = v_{2}

のとき，　観測点

P

と波源との距離

R

は，

\begin{array}{rcl} R & = & | r - r^{'} | = | v_{2} - r^{'} | \\ = & | v_{2} - {(1 - ξ) (1 - γ) v_{1} + ξ v_{2} + γ (1 - ξ) v_{3}} | \\ = & | - (1 - ξ) (1 - γ) v_{1} + (1 - ξ) v_{2} - γ (1 - ξ) v_{3} | \\ (7) & = & | (1 - ξ) {- (1 - γ) v_{1} + v_{2} - γ v_{3}} | \end{array}

ここで，

0 \leq ξ \leq 1

ゆえ，

\begin{matrix} (8) & R = (1 - ξ) | (v_{2} - v_{1}) - γ (v_{3} - v_{1}) | \end{matrix}

これより，

\begin{array}{rcl} \frac{d S^{'}}{R} & = & \frac{(1 - ξ) | (v_{2} - v_{1}) \times (v_{3} - v_{1}) | d ξ d γ}{(1 - ξ) | (v_{2} - v_{1}) - γ (v_{3} - v_{1}) |} \\ (9) & = & \frac{2 A_{q} d ξ d γ}{| (v_{2} - v_{1}) - γ (v_{3} - v_{1}) |} \end{array}

　三角形領域

T_{q}^{(+)}

の頂点

v_{2}

に観測点がある場合，ポテンシャル積分は，

\begin{array}{rcl} A_{q q, 1} & = & \frac{μ}{4 π} \frac{l_{q, 1}}{2 A_{q}} \iint_{T_{q}^{(+)}} (r^{'} - v_{q, 1}) e^{- j k R} \frac{d S^{'}}{R} \\ (10) & = & \frac{μ}{4 π} l_{q, 1} \int_{ξ = 0}^{1} \int_{γ = 0}^{1} (r^{'} - v_{q, 1}) \frac{e^{- j k R} d ξ d γ}{| (v_{2} - v_{1}) - γ (v_{3} - v_{1}) |} \\ Φ_{q q, 1} & = & \frac{l_{q, 1}}{2 π j ω ϵ} \iint_{T_{q}^{(+)}} e^{- j k R} \frac{d S^{'}}{R} \\ (11) & = & \frac{l_{q, 1}}{π j ω ϵ} A_{q} \int_{ξ = 0}^{1} \int_{γ = 0}^{1} \frac{e^{- j k R} d ξ d γ}{| (v_{2} - v_{1}) - γ (v_{3} - v_{1}) |} \end{array}

　三角形領域

T_{q}^{(+)}

内部の面上に観測点がある場合，その点を新たな頂点として3つの3角形に分割し，特異点が新たな3角形の

v_{2}

となるように積分すると，

\begin{array}{rcl} A_{q q, 1} & = & \frac{μ}{4 π} \frac{l_{q, 1}}{2 A_{q}} \iint_{T_{q}^{(+)}} (r^{'} - v_{q, 1}) e^{- j k R} \frac{d S^{'}}{R} \\ = & \frac{μ}{4 π} \frac{l_{q, 1}}{A_{q}} (A_{q, 1} \int_{ξ = 0}^{1} \int_{γ = 0}^{1} (r^{'} - v_{q, 1}) \frac{e^{- j k R} d ξ d γ}{| (v_{q, 1} - v_{1}) - γ (v_{3} - v_{1}) |} \\ + A_{q, 2} \int_{ξ = 0}^{1} \int_{γ = 0}^{1} (r^{'} - v_{q, 1}) \frac{e^{- j k R} d ξ d γ}{| (v_{q, 1} - v_{2}) - γ (v_{1} - v_{2}) |} \\ (12) & + A_{q, 3} \int_{ξ = 0}^{1} \int_{γ = 0}^{1} (r^{'} - v_{q, 1}) \frac{e^{- j k R} d ξ d γ}{| (v_{q, 1} - v_{3}) - γ (v_{2} - v_{3}) |}) \\ Φ_{q q, 1} & = & \frac{l_{q, 1}}{2 π j ω ϵ} \iint_{T_{q}^{(+)}} e^{- j k R} \frac{d S^{'}}{R} \\ = & \frac{l_{q, 1}}{π j ω ϵ} (A_{q, 1} \int_{ξ = 0}^{1} \int_{γ = 0}^{1} \frac{e^{- j k R} d ξ d γ}{| (v_{q, 1} - v_{1}) - γ (v_{3} - v_{1}) |} \\ + A_{q, 2} \int_{ξ = 0}^{1} \int_{γ = 0}^{1} \frac{e^{- j k R} d ξ d γ}{| (v_{q, 1} - v_{2}) - γ (v_{1} - v_{2}) |} \\ (13) & + A_{q, 3} \int_{ξ = 0}^{1} \int_{γ = 0}^{1} \frac{e^{- j k R} d ξ d γ}{| (v_{q, 1} - v_{3}) - γ (v_{2} - v_{3}) |}) \end{array}

ここで，

\begin{matrix} (14) & A_{q} = \sum_{i = 1}^{3} A_{q, i} \end{matrix}

　三角形領域

T_{q}^{(+)}

の辺上に観測点がある場合，その点を新たな頂点として2つの3角形に分割し，特異点が新たな3角形の

v_{2}

となるように積分すると，

\begin{array}{rcl} A_{q q, 1} & = & \frac{μ}{4 π} \frac{l_{q, 1}}{2 A_{q}} \iint_{T_{q}^{(+)}} (r^{'} - v_{q, 1}) e^{- j k R} \frac{d S^{'}}{R} \\ = & \frac{μ}{4 π} \frac{l_{q, 1}}{A_{q}} (A_{q, 1} \int_{ξ = 0}^{1} \int_{γ = 0}^{1} (r^{'} - v_{q, 1}) \frac{e^{- j k R} d ξ d γ}{| (v_{q, 1} - v_{1}) - γ (v_{3} - v_{1}) |} \\ (15) & + A_{q, 2} \int_{ξ = 0}^{1} \int_{γ = 0}^{1} (r^{'} - v_{q, 1}) \frac{e^{- j k R} d ξ d γ}{| (v_{q, 1} - v_{3}) - γ (v_{2} - v_{3}) |}) \\ Φ_{q q, 1} & = & \frac{l_{q, 1}}{2 π j ω ϵ} \iint_{T_{q}^{(+)}} e^{- j k R} \frac{d S^{'}}{R} \\ = & \frac{l_{q, 1}}{π j ω ϵ} (A_{q, 1} \int_{ξ = 0}^{1} \int_{γ = 0}^{1} \frac{e^{- j k R} d ξ d γ}{| (v_{q, 1} - v_{1}) - γ (v_{3} - v_{1}) |} \\ (16) & + A_{q, 2} \int_{ξ = 0}^{1} \int_{γ = 0}^{1} \frac{e^{- j k R} d ξ d γ}{| (v_{q, 1} - v_{3}) - γ (v_{2} - v_{3}) |}) \end{array}

ここで，

\begin{matrix} (17) & A_{q} = \sum_{i = 1}^{2} A_{q, i} \end{matrix}

$†$ Walton C. Gibson, “The Method of Moments in Electromagnetics,” 2nd Ed., p.267, CRC Press (2015).