5.11 2次元問題に対するPMCHWT面積分方程式
閉曲面$S$上の2次波源による散乱磁界$\VEC{H}_s$は，
\begin{gather}
\VEC{H}_s = \frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\left\{ \VEC{n}' \times (\nabla' \times \VEC{H}) \psi
+ (\VEC{n}' \times \VEC{H}) \times \nabla' \psi
+ (\VEC{n}' \cdot \VEC{H}) \nabla' \psi \right\} \ dS'
\label{eq:Hs}
\end{gather}
2次元問題（TEあるいはTM）
面$S$がある方向に一様な場合，面$S$の法線方向に対してTE波とTM波は独立である．したがって，面$S$上では電界が接線成分のみ，あるいは磁界が接線成分のみとして解析すればよい．そこで，次の式を考えてみよう$\dagger$．
\begin{gather}
\frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\left\{ (\VEC{n}' \cdot \nabla') (\psi \VEC{H})
+ \VEC{n}' \times \nabla' \times (\psi \VEC{H})
- \VEC{n}' \nabla' \cdot (\psi \VEC{H})
\right\} \ dS'
\label{eq:zero}
\end{gather}
ここで，$\VEC{a} \equiv \psi \VEC{H}$おき，
$\VEC{n} = n_x' \VEC{u}_x + n_y' \VEC{u}_y + n_z'$，
$a_x \VEC{u}_x + a_y \VEC{u}_y + a_z \VEC{u}_z$
とすると，上式の被積分関数は，
\begin{eqnarray}
&&(\VEC{n}' \cdot \nabla') \VEC{a}
+ \VEC{n}' \times \nabla' \times \VEC{a}
- \VEC{n}' \nabla' \cdot \VEC{a}
\nonumber \\
&=& \left( n_x' \frac{\partial}{\partial x} + n_y' \frac{\partial}{\partial y} + n_z' \frac{\partial}{\partial z} \right)
\Big( a_x \VEC{u}_x + a_y \VEC{u}_y + a_z \VEC{u}_z \Big)
\nonumber \\
&& + (n_x' \VEC{u}_x + n_y' \VEC{u}_y + n_z' \VEC{u}_z) \times
\Big\{ (\nabla \times \VEC{a})_x \VEC{u}_x + (\nabla \times \VEC{a})_y \VEC{u}_y + (\nabla \times \VEC{a})_z \VEC{u}_z \Big\}
\nonumber \\
&& - (n_x' \VEC{u}_x + n_y' \VEC{u}_y + n_z' \VEC{u}_z)
\left( \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_y}{\partial y} \right)
\nonumber
\end{eqnarray}
上式の$x$成分は，
\begin{eqnarray}
&&\left( n_x' \frac{\partial}{\partial x} + n_y' \frac{\partial}{\partial y} + n_z' \frac{\partial}{\partial z} \right) a_x
\nonumber \\
&&+ n_y' (\nabla \times \VEC{a})_z - n_z' (\nabla \times \VEC{a})_y
- n_x' \left( \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_y}{\partial y} \right)
\nonumber \\
&=& n_x' \frac{\partial a_x}{\partial x} + n_y' \frac{\partial a_x}{\partial y} + n_z' \frac{\partial a_x}{\partial z}
+ n_y' \left( \frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y} \right)
\nonumber \\
&&- n_z' \left( \frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x} \right)
- n_x' \frac{\partial a_x}{\partial x} - n_x' \frac{\partial a_y}{\partial y} - n_x' \frac{\partial a_z}{\partial z}
\nonumber \\
&=& n_y' \frac{\partial a_y}{\partial x} + n_z' \frac{\partial a_z}{\partial x}
- n_x' \frac{\partial a_y}{\partial y} - n_x' \frac{\partial a_z}{\partial z}
\nonumber \\
&=& \left( -n_x' \frac{\partial}{\partial y} + n_y' \frac{\partial}{\partial x} \right) a_y
+ \left( -n_x' \frac{\partial}{\partial z} + n_z' \frac{\partial}{\partial x} \right) a_z
\nonumber \\
&=& - (\VEC{n}' \times \nabla)_z a_y + (\VEC{n}' \times \nabla)_y a_z
\nonumber \\
&=& \big\{ (\VEC{n}' \times \nabla) \times \VEC{a} \big\}_x
\end{eqnarray}
同様にして，$y$成分，$z$成分は，
\begin{gather}
\big\{ (\VEC{n}' \times \nabla) \times \VEC{a} \big\}_y, \ \ \ \ \
\big\{ (\VEC{n}' \times \nabla) \times \VEC{a} \big\}_z
\nonumber
\end{gather}
ゆえ，
\begin{gather}
(\VEC{n}' \cdot \nabla') \VEC{a}
+ \VEC{n}' \times \nabla' \times \VEC{a}
- \VEC{n}' \nabla' \cdot \VEC{a}
= (\VEC{n}' \times \nabla) \times \VEC{a}
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
(\VEC{n}' \cdot \nabla') (\psi \VEC{H})
+ \VEC{n}' \times \nabla' \times (\psi \VEC{H})
- \VEC{n}' \nabla' \cdot (\psi \VEC{H})
&=& (\VEC{n}' \times \nabla) \times (\psi \VEC{H})
\nonumber \\
&=& \psi (\VEC{n}' \times \nabla) \times \VEC{H}
\end{eqnarray}
一様な軸方向に沿う単位ベクトルを$\VEC{u}_z$（$z$軸とする），法線ベクトル$\VEC{n}'$に直交する単位ベクトルを
$\VEC{u}_\tau \equiv \VEC{n}' \times \VEC{u}_z$とし，
磁界$\VEC{H} = H_z \VEC{u}_z$のとき，
\begin{eqnarray}
(\VEC{n}' \times \nabla) \times \VEC{H}
&=& \left( \VEC{n}' \times \VEC{u}_\tau \frac{\partial}{\partial \tau}
+ \VEC{n}' \times \VEC{u}_z \frac{\partial}{\partial z} \right) \times \VEC{H}
\nonumber \\
&=& \left( -\VEC{u}_z \frac{\partial}{\partial \tau}
+ \VEC{u}_\tau \frac{\partial}{\partial z} \right) \times H_z \VEC{u}_z
\nonumber \\
&=& - \frac{\partial H_z}{\partial z}\VEC{n}'
\end{eqnarray}
$z$方向に一様ゆえ，
\begin{gather}
\frac{\partial H_z}{\partial z} = 0
\end{gather}
これはTM波の問題であり，このとき式\eqref{eq:zero}は次のようにゼロになる．
\begin{eqnarray}
&&\frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\left\{ (\VEC{n}' \cdot \nabla') (\psi \VEC{H})
+ \VEC{n}' \times \nabla' \times (\psi \VEC{H})
- \VEC{n}' \nabla' \cdot (\psi \VEC{H})
\right\} \ dS'
\nonumber \\
&=& \frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\psi (\VEC{n}' \times \nabla) \times \VEC{H} \ dS' = 0
\label{eq:intzero}
\end{eqnarray}
2次元問題に対する定式化
式\eqref{eq:intzero}を式\eqref{eq:Hs}から引いても散乱磁界$\VEC{H}_s$は変わらない．まず，その被積分関数の計算を行うと，
\begin{eqnarray}
&&\Big\{ \VEC{n}' \times (\nabla' \times \VEC{H}) \psi
+ (\VEC{n}' \times \VEC{H}) \times \nabla' \psi
+ (\VEC{n}' \cdot \VEC{H}) \nabla' \psi \Big\}
\nonumber \\
&&- \Big\{ (\VEC{n}' \cdot \nabla') (\psi \VEC{H})
+ \VEC{n}' \times \nabla' \times (\psi \VEC{H})
- \VEC{n}' \nabla' \cdot (\psi \VEC{H}) \Big\}
\nonumber \\
&=& \Big\{ \VEC{n}' \times (\nabla' \times \VEC{H}) \psi - \VEC{n}' \times \nabla' \times (\psi \VEC{H}) \Big\}
\nonumber \\
&&+ (\VEC{n}' \times \VEC{H}) \times \nabla' \psi
- \VEC{n}' \nabla' \cdot (\psi \VEC{H})
\nonumber \\
&&+ \Big[ (\VEC{n}' \cdot \VEC{H}) \nabla' \psi - (\VEC{n}' \cdot \nabla') (\psi \VEC{H}) \Big]
\label{eq:sa}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:sa}の第1項の$\{ \ \} $を計算するため，
\begin{eqnarray}
\VEC{n}' \times \nabla' \times (\psi \VEC{H})
&=& \VEC{n}' \times ( \psi \nabla' \times \VEC{H} + \nabla' \psi \times \VEC{H})
\nonumber \\
&=& \VEC{n}' \times (\nabla' \times \VEC{H}) \psi + \VEC{n}' \times (\nabla' \psi \times \VEC{H})
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
\big\{ \VEC{n}' \times (\nabla' \times \VEC{H}) \psi - \VEC{n}' \times \nabla' \times (\psi \VEC{H}) \big\}
&=& -\VEC{n}' \times (\nabla' \psi \times \VEC{H})
\nonumber \\
&=& \VEC{n}' \times (\VEC{H} \times \nabla' \psi)
\end{eqnarray}
ここで，ベクトル公式
$\VEC{a} \times (\VEC{b} \times \VEC{c})
= (\VEC{a} \cdot \VEC{c}) \VEC{b} - (\VEC{a} \cdot \VEC{b}) \VEC{c}$
より，
\begin{gather}
\VEC{n}' \times (\VEC{H} \times \nabla' \psi)
= \{ \VEC{n}' \cdot (\nabla' \psi) \} \VEC{H} - (\VEC{n}' \cdot \VEC{H}) (\nabla' \psi)
\label{eq:1st}
\end{gather}
式\eqref{eq:sa}の第2項は，
\begin{eqnarray}
(\VEC{n}' \times \VEC{H}) \times \nabla' \psi
&=& (\nabla' \psi) \times (\VEC{H} \times \VEC{n}')
\nonumber \\
&=& \{ (\nabla' \psi) \cdot \VEC{n}' \} \VEC{H}
- \{ (\nabla' \psi) \cdot \VEC{H} \} \VEC{n}'
\label{eq:2dn}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:sa}の第3項は，
\begin{gather}
- \VEC{n}' \nabla' \cdot (\psi \VEC{H})
= \VEC{n}' \psi (\nabla' \cdot \VEC{H}) + \VEC{n}' \{ (\nabla' \psi) \cdot \VEC{H} \}
\label{eq:3rd}
\end{gather}
式\eqref{eq:sa}に，式\eqref{eq:1st}，式\eqref{eq:2dn}，式\eqref{eq:3rd}を代入して，
\begin{eqnarray}
&&\{ \VEC{n}' \cdot (\nabla' \psi) \} \VEC{H} - (\VEC{n}' \cdot \VEC{H}) (\nabla' \psi)
\nonumber \\
&&+ \{ (\nabla' \psi) \cdot \VEC{n}' \} \VEC{H} - \{ (\nabla' \psi) \cdot \VEC{H} \} \VEC{n}'
\nonumber \\
&&+ \VEC{n}' \psi (\nabla' \cdot \VEC{H}) + \VEC{n}' \{ (\nabla' \psi) \cdot \VEC{H} \}
\nonumber \\
&&+ \big[ (\VEC{n}' \cdot \VEC{H}) \nabla' \psi - (\VEC{n}' \cdot \nabla') (\psi \VEC{H}) \big]
\nonumber \\
&=&
\{ \VEC{n}' \cdot (\nabla' \psi) \} \VEC{H} + \{ (\nabla' \psi) \cdot \VEC{n}' \} \VEC{H}
+ \VEC{n}' \psi (\nabla' \cdot \VEC{H}) - (\VEC{n}' \cdot \nabla') (\psi \VEC{H})
\nonumber \\
&=&
\{ \VEC{n}' \cdot (\nabla' \psi) \} \VEC{H} + \{ (\nabla' \psi) \cdot \VEC{n}' \} \VEC{H}
\nonumber \\
&&+ \VEC{n}' \psi (\nabla' \cdot \VEC{H})
- \{ \VEC{n}' \cdot (\nabla' \psi) \} \VEC{H} - \psi (\VEC{n}' \cdot \nabla') \VEC{H}
\nonumber \\
&=&
\{ (\nabla' \psi) \cdot \VEC{n}' \} \VEC{H}
+ \VEC{n}' \psi (\nabla' \cdot \VEC{H})
- \psi (\VEC{n}' \cdot \nabla') \VEC{H}
\nonumber \\
&=&
\VEC{H} \frac{\partial \psi}{\partial n'} - \psi \frac{\partial \VEC{H}}{\partial n'}
+ \VEC{n}' \psi (\nabla' \cdot \VEC{H})
\end{eqnarray}
ここで（導出省略），
\begin{gather}
(\VEC{n}' \cdot \nabla') (\psi \VEC{H})
= \{ \VEC{n}' \cdot (\nabla' \psi) \} \VEC{H} + \psi (\VEC{n}' \cdot \nabla') \VEC{H}
\end{gather}
したがって，2次元問題におけるTM波に対する散乱磁界$\VEC{H}_s$は次のようになる$\dagger$．
\begin{gather}
\VEC{H}_s = \frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\left\{ \VEC{H} \frac{\partial \psi}{\partial n'} - \psi \frac{\partial \VEC{H}}{\partial n'}
+ \VEC{n}' \psi (\nabla' \cdot \VEC{H}) \right\} \ dS'
\end{gather}
同様にして，2次元問題におけるTE波に対する散乱電界$\VEC{E}_s$は次のようになる（導出省略）．
\begin{gather}
\VEC{E}_s = \frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\left\{ \VEC{E} \frac{\partial \psi}{\partial n'} - \psi \frac{\partial \VEC{E}}{\partial n'}
+ \VEC{n}' \psi (\nabla' \cdot \VEC{E}) \right\} \ dS'
\end{gather}
これより，TE波の入射波$\VEC{E}^{\mathrm{inc}}$がある場合，
\begin{gather}
\VEC{E}_s = T \VEC{E}^{\mathrm{inc}}
+ \frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\left\{ \VEC{E} \frac{\partial \psi}{\partial n'} - \psi \frac{\partial \VEC{E}}{\partial n'}
+ \VEC{n}' \psi (\nabla' \cdot \VEC{E}) \right\} \ dS'
\end{gather}
また，TM波の入射波$\VEC{H}^{\mathrm{inc}}$がある場合，
\begin{gather}
\VEC{H}_s = T \VEC{H}^{\mathrm{inc}}
+ \frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\left\{ \VEC{H} \frac{\partial \psi}{\partial n'} - \psi \frac{\partial \VEC{H}}{\partial n'}
+ \VEC{n}' \psi (\nabla' \cdot \VEC{H}) \right\} \ dS'
\end{gather}
$\dagger$ A. J. Poggio and E. K. Miller,
“Integral equation solutions of three dimensional scattering problems,”
in Computer Techniques for Electromagnetics , Chapter 4, R. Mittra, Ed. Elmsford, NY: Permagon (1973).
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