5.10 Poggio-Miller-Chang-Harrington-Wu-Tsai (PMCHWT) 積分方程式
観測点が境界面にない場合
有限空間（領域$V$）に電磁流源があり，その有限空間の境界（面$S_1, \cdots$） 以外の観測点$P$での電界$\VEC{E}_p$および磁界$\VEC{H}_p$は$^\dagger$，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{E}_p = -\frac{1}{4\pi} \iiint _{V} \left(
j\omega \mu \psi \VEC{J} + \VEC{J}_m \times \nabla' \psi
- \frac{\rho}{\epsilon} \nabla' \psi \right) dV'
\nonumber \\
&& -\frac{1}{4\pi} \iint _{S_1 + \ \cdots}
\Big\{ j\omega \mu \psi ( \VEC{n} \times \VEC{H} )
- (\VEC{n} \times \VEC{E}) \times \nabla' \psi
- (\VEC{n} \cdot \VEC{E}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
&&\VEC{H}_p = \frac{1}{4\pi} \iiint _{V} \left(
-j\omega \mu \psi \VEC{J}_m + \VEC{J} \times \nabla' \psi
+\frac{\rho_m}{\mu} \nabla' \psi \right) dV'
\nonumber \\
&& +\frac{1}{4\pi} \iint _{S_1 + \ \cdots}
\Big\{ j\omega \epsilon \psi ( \VEC{n} \times \VEC{E} )
+ (\VEC{n} \times \VEC{H}) \times \nabla' \psi
+ (\VEC{n} \cdot \VEC{H}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
領域$V$に電磁流源がない場合は，上式は第2項の面積分のみである．逆に，境界面のない無限空間，あるいは境界面の電磁界や等価波源（equivalent sources）がゼロの場合は，上式は第1項の体積積分のみである．
$\dagger$ Samuel Silver, “Microwave Antenna Theory and Design ,”
3.8. General Solution of the Field Equations in Terms of the Sources, for a Time-periodic Field,
McGraw Hill (1949), IEE, reprint (1984).
観測点が境界面にある場合
ストラットンの定理より，面$S_1 + \ \cdots \ + \Sigma$に囲まれた領域$V$において，波源の微分演算子を$\nabla \to \nabla'$，領域$V'$の外向き法線ベクトルを
$\VEC{n}_{\mathrm{o}}'（=-\VEC{n})$，積分要素も$dV \to dV'$，$dS \to dS'$として，次式が成り立つ$^\dagger$．
\begin{eqnarray}
&& \iiint _{V} \left(
j\omega \mu \psi \VEC{J} + \VEC{J}_m \times \nabla' \psi
- \frac{\rho}{\epsilon} \nabla' \psi \right) dV'
\nonumber \\
&=& \oiint _{S_1 + \ \cdots \ + \Sigma }
\Big\{ j\omega \mu \psi ( \VEC{n}'_{\mathrm{o}} \times \VEC{H} )
- (\VEC{n}'_{\mathrm{o}} \times \VEC{E}) \times \nabla' \psi
- (\VEC{n}'_{\mathrm{o}} \cdot \VEC{E}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
面$S_i$の境界条件より，面積分方程式が得られ，波源を基底関数で展開し，展開係数を数値的に解くことできる$\ddagger$．
このとき，観測点$\VEC{r}$は面$S_i$にとるため，面積分に特異点が生じる．
観測点$\VEC{r}$（微小の球面$\Sigma$の内部）と面$S_i$上の波源$\VEC{r}'$との距離を$r_0$として，上式の面積分のうち，微小の球面$\Sigma$および観測点が面上に接近している面$S_\Sigma$の面積分について$r_0 \to 0$の極限を求めると，
\begin{eqnarray}
\lim _{r_0 \to 0} \oiint _{\Sigma-S_\Sigma} \{ \ \} \ dS’
&=& \lim _{r_0 \to 0} \left( - e^{-jkr_0} \oiint _{\Sigma-S_\Sigma} \VEC{E} d\Omega \right)
\nonumber \\
&=& - \VEC{E}_p \left( \oiint _\Sigma d\Omega - \oiint _{S_\Sigma} d\Omega \right)
\nonumber \\
&=& -(4\pi-\Omega_p) \VEC{E}_p
\label{eq:epsigma}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
&& \iiint _{V} \left(
j\omega \mu \psi \VEC{J} + \VEC{J}_m \times \nabla' \psi
- \frac{\rho}{\epsilon} \nabla' \psi \right) dV'
\nonumber \\
&=& -(4\pi-\Omega_p) \VEC{E}_p
\nonumber \\
&&+ \PPV _{S_1 + \ \cdots}
\Big\{ j\omega \mu \psi ( \VEC{n}'_{\mathrm{o}} \times \VEC{H} )
- (\VEC{n}'_{\mathrm{o}} \times \VEC{E}) \times \nabla' \psi
- (\VEC{n}'_{\mathrm{o}} \cdot \VEC{E}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
ただし，$\PPV$は特異点（singularities）を取り除いたコーシーの主値積分（Cauchy principle value integral）を示す．
よって，$\VEC{E}_p$は，$\VEC{n}' =-\VEC{n}_{\mathrm{o}}'$として，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_p &=& -\frac{1}{4\pi \left( 1-\frac{\Omega_p}{4\pi} \right)} \iiint _{V} \left(
j\omega \mu \psi \VEC{J} + \VEC{J}_m \times \nabla' \psi
- \frac{\rho}{\epsilon} \nabla' \psi \right) dV'
\nonumber \\
&& -\frac{1}{4\pi \left( 1-\frac{\Omega_p}{4\pi} \right)} \PPV _{S_1 + \ \cdots}
\Big\{ j\omega \mu \psi ( \VEC{n}' \times \VEC{H} )
\nonumber \\
&&- (\VEC{n}' \times \VEC{E}) \times \nabla' \psi
- (\VEC{n}' \cdot \VEC{E}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
T \equiv \frac{1}{1-\frac{\Omega_p}{4\pi}}
\end{gather}
とおくと，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{E}_p = -\frac{T}{4\pi} \iiint _{V} \left(
j\omega \mu \psi \VEC{J} + \VEC{J}_m \times \nabla' \psi
- \frac{\rho}{\epsilon} \nabla' \psi \right) dV'
\nonumber \\
&& -\frac{T}{4\pi} \PPV _{S_1 + \ \cdots}
\Big\{ j\omega \mu \psi ( \VEC{n}' \times \VEC{H} )
- (\VEC{n}' \times \VEC{E}) \times \nabla' \psi
- (\VEC{n}' \cdot \VEC{E}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
双対性より，磁界$\VEC{H}_p$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_p &=& -\frac{T}{4\pi} \iiint _{V} \left(
j\omega \mu \psi \VEC{J}_m - \VEC{J} \times \nabla' \psi
-\frac{\rho_m}{\mu} \nabla' \psi \right) dV'
\nonumber \\
&& -\frac{T}{4\pi} \PPV _{S_1 + \ \cdots}
\Big\{ j\omega \epsilon \psi ( \VEC{n}' \times (-\VEC{E}) )
\nonumber \\
&&- (\VEC{n}' \times \VEC{H}) \times \nabla' \psi
- (\VEC{n}' \cdot \VEC{H}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
次のように変形すれば，文献$\ddagger$の(4.8b)と一致する．
\begin{eqnarray}
&&\VEC{H}_p = \frac{T}{4\pi} \iiint _{V} \left(
-j\omega \mu \psi \VEC{J}_m + \VEC{J} \times \nabla' \psi
+\frac{\rho_m}{\mu} \nabla' \psi \right) dV'
\nonumber \\
&& +\frac{T}{4\pi} \PPV _{S_1 + \ \cdots}
\Big\{ j\omega \epsilon \psi ( \VEC{n}' \times \VEC{E} )
+ (\VEC{n}' \times \VEC{H}) \times \nabla' \psi
+ (\VEC{n}' \cdot \VEC{H}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
ただし，観測点が境界面$S_\Sigma$にあり，その面が滑らかな場合，$\Omega_P = 2\pi$であり，$T=2$となる．
なお，観測点が境界面にない場合，$\Omega_P = 0$であり，$T=1$となる．
入射波がある場合
面$S_1$と面$S$で囲まれた領域$V$に電磁流源があり，面$S_1$を無限遠方まで十分大きする．
このとき，十分遠方の面$S_1$上の波源により，観測点$P$では平面波が入射しているとみなす．
また，閉曲面$S$内部には何らかの波源があって，面$S$上の電磁界が2次波源として与えられているものとする（境界条件）．
これより，観測点$P$が面$S$上にあるとき，
\begin{eqnarray}
&&\frac{1}{T} \VEC{E}_p
= \VEC{E}^{\mathrm{inc}} -\frac{1}{4\pi} \iiint _{V} \left(
j\omega \mu \psi \VEC{J} + \VEC{J}_m \times \nabla' \psi
- \frac{\rho}{\epsilon} \nabla' \psi \right) dV'
\nonumber \\
&& - \frac{1}{4\pi} \PPV _{S_1 + \ \cdots}
\Big\{ j\omega \mu ( \VEC{n}' \times \VEC{H} ) \psi
- (\VEC{n}' \times \VEC{E}) \times \nabla' \psi
- (\VEC{n}' \cdot \VEC{E}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
したがって，電界積分方程式 （electric field integral equation: EFIE）は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&\VEC{E}_p = T \VEC{E}^{\mathrm{inc}} -\frac{T}{4\pi} \iiint _{V} \left(
j\omega \mu \psi \VEC{J} + \VEC{J}_m \times \nabla' \psi
- \frac{\rho}{\epsilon} \nabla' \psi \right) dV'
\nonumber \\
&& -\frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \mu ( \VEC{n}' \times \VEC{H} ) \psi
- (\VEC{n}' \times \VEC{E}) \times \nabla' \psi
- (\VEC{n}' \cdot \VEC{E}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\label{eq:EFIE}
\end{eqnarray}
同様にして，磁界積分方程式 （magnetic field integral equation: MFIE）は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&\VEC{H}_p = T \VEC{H}^{\mathrm{inc}} + \frac{T}{4\pi} \iiint _{V} \left(
-j\omega \mu \psi \VEC{J}_m + \VEC{J} \times \nabla' \psi
+\frac{\rho_m}{\mu} \nabla' \psi \right) dV'
\nonumber \\
&& +\frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \epsilon ( \VEC{n}' \times \VEC{E} ) \psi
+ (\VEC{n}' \times \VEC{H}) \times \nabla' \psi
+ (\VEC{n}' \cdot \VEC{H}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\label{eq:MFIE}
\end{eqnarray}
ここで，閉曲面$S$上の2次波源による散乱磁界$\VEC{H}_s$は，
\begin{gather}
\VEC{H}_s = \frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \epsilon ( \VEC{n}' \times \VEC{E} ) \psi
+ (\VEC{n}' \times \VEC{H}) \times \nabla' \psi
+ (\VEC{n}' \cdot \VEC{H}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\end{gather}
Maxwellの方程式$\nabla' \times \VEC{H} = j \omega \epsilon \VEC{E}$より，
\begin{gather}
\VEC{H}_s = \frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\Big\{ \VEC{n}' \times (\nabla' \times \VEC{H}) \psi
+ (\VEC{n}' \times \VEC{H}) \times \nabla' \psi
+ (\VEC{n}' \cdot \VEC{H}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\label{eq:Hs}
\end{gather}
波源のない領域（source free region）であれば，式\eqref{eq:EFIE}，式\eqref{eq:MFIE}は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&\VEC{E}_p = T \VEC{E}^{\mathrm{inc}}
\nonumber \\
&&-\frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \mu ( \VEC{n}' \times \VEC{H} ) \psi
- (\VEC{n}' \times \VEC{E}) \times \nabla' \psi
- (\VEC{n}' \cdot \VEC{E}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\label{eq:EFIES}
\\
&&\VEC{H}_p = T \VEC{H}^{\mathrm{inc}}
\nonumber \\
&&+\frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \epsilon ( \VEC{n}' \times \VEC{E} ) \psi
+ (\VEC{n}' \times \VEC{H}) \times \nabla' \psi
+ (\VEC{n}' \cdot \VEC{H}) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\label{eq:MFIES}
\end{eqnarray}
完全導体による散乱問題（面積分方程式）
面$S$として完全導体からなる散乱体表面のみを考え，入射波$\VEC{E}^{\mathrm{inc}}$，$\VEC{H}^{\mathrm{inc}}$がある場合，完全導体表面の電界
$\VEC{E}$の接線成分はゼロである．閉曲面$S$の外向き法線ベクトルを$\VEC{n}$とすると，面磁流$\VEC{K}_m$がゼロ，つまり
\begin{gather}
\VEC{K}_m = -(\VEC{n} \times \VEC{E}) = 0 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\end{gather}
閉曲面$S$では磁荷$\eta_m$もゼロゆえ，
\begin{gather}
\eta_m = \mu (\VEC{n} \cdot \VEC{H}) = 0 \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\end{gather}
観測点を面$S$上にとると，式\eqref{eq:EFIES}の被積分関数において$\VEC{n}' \times \VEC{E}=0$となり，
\begin{eqnarray}
\VEC{n} \times \VEC{E}
&=& \VEC{n} \times \left( T \VEC{E}^{\mathrm{inc}}
-\frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
\left\{ j\omega \mu ( \VEC{n}' \times \VEC{H} ) \psi
- (\VEC{n}' \cdot \VEC{E}) \nabla' \psi \right\} \ dS' \right)
\nonumber \\
&=& 0 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
\VEC{n} \times \VEC{E}^{\mathrm{inc}}
= \frac{1}{4\pi} \VEC{n} \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \mu ( \VEC{n}' \times \VEC{H} ) \psi
- (\VEC{n}' \cdot \VEC{E}) \nabla' \psi \Big\} \ dS' \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\label{eq:EFIES2}
\end{gather}
また，式\eqref{eq:MFIES}より，$\VEC{n}' \times \VEC{E}=0$，$\VEC{n}' \cdot \VEC{H} = 0$ゆえ，
\begin{gather}
\VEC{n} \times \VEC{H} = \VEC{n} \times \left( T \VEC{H}^{\mathrm{inc}}
+\frac{T}{4\pi} \PPV _{S}
(\VEC{n}' \times \VEC{H}) \times \nabla' \psi \ dS' \right) \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\end{gather}
面$S$が滑らかであれば，$T=2$ゆえ，
\begin{gather}
\VEC{n} \times \VEC{H}
= 2\VEC{n} \times \VEC{H}^{\mathrm{inc}}
+\frac{1}{2\pi} \VEC{n} \times \PPV _{S}
(\VEC{n}' \times \VEC{H}) \times \nabla' \psi \ dS' \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\label{eq:MFIES2}
\end{gather}
面$S$上の電磁界の関係について，Maxwellの方程式
$\nabla' \times \VEC{H} = j \omega \epsilon \VEC{E}$
より，面$S$上の2次元微分演算子を$\nabla_s$とすると，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{n}' \cdot (\nabla' \times \VEC{H})
\nonumber \\
&=& \VEC{n}' \cdot \left\{ \left( \nabla'_s + \VEC{n}' \frac{\partial}{\partial n'} \right) \times \VEC{H}) \right\}
\nonumber \\
&=& \VEC{n}' \cdot (\nabla'_s \times \VEC{H})
\nonumber \\
&=& \VEC{H} \cdot (\nabla'_s \times \VEC{n}') - \nabla_s \cdot (\VEC{n}' \times \VEC{H})
\end{eqnarray}
ここで，$\nabla' \times (\nabla' \phi) = 0$ より，
\begin{gather}
\nabla'_s \times \VEC{n}
= \nabla' \times \VEC{n}
= \nabla' \times \frac{\nabla' \phi}{|\nabla' \phi|} = 0
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{n}' \cdot (\nabla' \times \VEC{H})
\nonumber \\
&=& - \nabla'_s \cdot (\VEC{n}' \times \VEC{H})
&=& \VEC{n}' \cdot (j \omega \epsilon \VEC{E})
\end{eqnarray}
等価面電流源を
$\VEC{J}_s(\VEC{r'}) \equiv \VEC{n}' \times \VEC{H}$
として定義すると，
\begin{eqnarray}
\VEC{n}' \cdot \VEC{E}
&=& \frac{j}{\omega \epsilon} \nabla'_s \cdot (\VEC{n}' \times \VEC{H})
\nonumber \\
&=& \frac{j}{\omega \epsilon} \nabla'_s \cdot \VEC{J}_s(\VEC{r}')
\label{eq:nE}
\end{eqnarray}
同様にして観測点$P$においても$\VEC{J}_s(\VEC{r}) \equiv \VEC{n} \times \VEC{H}$を定義する．これより，式\eqref{eq:EFIES2}は，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{n} \times \VEC{E}^{\mathrm{inc}} (\VEC{r})
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi} \VEC{n} \times \PPV _{S}
\left\{ j\omega \mu \VEC{J}_s \psi
- \frac{j}{\omega \epsilon} (\nabla'_s \cdot \VEC{J}_s) \nabla' \psi \right\} \ dS'
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi j \omega \epsilon} \VEC{n} \times \PPV _{S}
\Big\{ -\omega^2 \mu \epsilon \VEC{J}_s \psi
+ (\nabla'_s \cdot \VEC{J}_s) \nabla' \psi \Big\} \ dS'
\ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\end{eqnarray}
また，式\eqref{eq:MFIES2}は，
\begin{gather}
\VEC{J}_s(\VEC{r})
= 2\VEC{n} \times \VEC{H}^{\mathrm{inc}}(\VEC{r})
+\frac{1}{2\pi} \VEC{n} \times \PPV _{S}
\VEC{J}_s \times \nabla' \psi \ dS' \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\end{gather}
誘電体による散乱問題（面積分方程式）
誘電率$\epsilon_2$の誘電体（領域 $\mathrm{II}$，閉曲面$S$）に入射波
$\VEC{E}^{\mathrm{inc}}$，$\VEC{H}^{\mathrm{inc}}$
がある場合の散乱問題を考える．誘電体の周りの空間（領域 $\mathrm{I}$）の誘電率は$\epsilon_1$である．面$S$上から領域
$\mathrm{I}$，$\mathrm{II}$
方向に向く法線ベクトルを$\VEC{n}_i (i=1,2)$とする（$\VEC{n}_2 = -\VEC{n}_1$）．
透磁率は領域
$\mathrm{I}$，$\mathrm{II}$
ともに$\mu$である．媒質の境界である面$S$における境界条件（boundary conditions）は，
電界$\VEC{E}_1$，$\VEC{E}_2$および磁界$\VEC{H}_1$，$\VEC{H}_2$の接線成分が連続であること．
\begin{align}
&\VEC{n}_1 \times (\VEC{E}_1 - \VEC{E}_2)
= \VEC{n}_1 \times \VEC{E}_1 + \VEC{n}_2 \times \VEC{E}_2
= 0 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\label{eq:n1E1E2}
\\
&\VEC{n}_1 \times (\VEC{H}_1 - \VEC{H}_2)
= \VEC{n}_1 \times \VEC{H}_1 + \VEC{n}_2 \times \VEC{H}_2
= 0 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\label{eq:n1H1H2}
\end{align}
これより，
\begin{align}
&\VEC{n}_2 \times \VEC{E}_2
= -\VEC{n}_1 \times \VEC{E}_1 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\\
&\VEC{n}_2 \times \VEC{H}_2
= -\VEC{n}_1 \times \VEC{H}_1 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\end{align}
電束密度$\VEC{D}_1$，$\VEC{D}_2$および磁束密度$\VEC{B}_1$，$\VEC{B}_2$の法線成分が連続であること．
\begin{eqnarray}
\VEC{n}_1 \cdot (\VEC{D}_1 - \VEC{D}_2)
&=& \VEC{n}_1 \cdot (\epsilon_1 \VEC{E}_1 - \epsilon_2 \VEC{E}_2)
\nonumber \\
&=& \epsilon_1 \VEC{n}_1 \cdot \VEC{E}_1 + \epsilon_2 \VEC{n}_2 \cdot \VEC{E}_2
= 0 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\\
\VEC{n}_1 \cdot (\VEC{B}_1 - \VEC{B}_2)
&=& \VEC{n}_1 \cdot (\mu \VEC{H}_1 - \mu \VEC{H}_2)
\nonumber \\
&=& \mu ( \VEC{n}_1 \cdot \VEC{H}_1 + \VEC{n}_2 \cdot \VEC{H}_2)
= 0 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\end{eqnarray}
これより，
\begin{align}
&\VEC{n}_2 \cdot \VEC{E}_2
= -\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} \VEC{n}_1 \cdot \VEC{E}_1 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\\
&\VEC{n}_2 \cdot \VEC{H}_2
= -\VEC{n}_1 \cdot \VEC{H}_1 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ S)
\end{align}
ここで，式\eqref{eq:EFIES}，式\eqref{eq:MFIES}より，領域 $\mathrm{I}$ では，入射波があり，
\begin{eqnarray}
\VEC{n}_1 \times \VEC{E}_1(\VEC{r})
&=& T \VEC{n}_1 \times \VEC{E}^{\mathrm{inc}} (\VEC{r})
\nonumber \\
&&-\frac{T}{4\pi} \VEC{n}_1 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \mu ( \VEC{n}_1' \times \VEC{H}_1 ) \psi_1
\nonumber \\
&&- (\VEC{n}_1' \times \VEC{E}_1) \times \nabla' \psi_1
- (\VEC{n}_1' \cdot \VEC{E}_1) \nabla' \psi_1 \Big\} \ dS'
\\
\VEC{n}_1 \times \VEC{H}_1(\VEC{r})
&=& T \VEC{n}_1 \times \VEC{H}^{\mathrm{inc}} (\VEC{r})
\nonumber \\
&&+\frac{T}{4\pi} \VEC{n}_1 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \epsilon_1 ( \VEC{n}_1' \times \VEC{E}_1 ) \psi_1
\nonumber \\
&&+ (\VEC{n}_1' \times \VEC{H}_1) \times \nabla' \psi_1
+ (\VEC{n}_1' \cdot \VEC{H}_1) \nabla' \psi_1 \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
また，領域 $\mathrm{II}$ では，入射波がなく，
\begin{eqnarray}
\VEC{n}_2 \times \VEC{E}_2(\VEC{r})
&=&
-\frac{T}{4\pi} \VEC{n}_2 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \mu ( \VEC{n}_2' \times \VEC{H}_2 ) \psi_2
\nonumber \\
&&- (\VEC{n}_2' \times \VEC{E}_2) \times \nabla' \psi_2
- (\VEC{n}_2' \cdot \VEC{E}_2) \nabla' \psi_2 \Big\} \ dS'
\nonumber \\
&=&
-\frac{T}{4\pi} \VEC{n}_1 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \mu ( \VEC{n}_1' \times \VEC{H}_1 ) \psi_2
\nonumber \\
&&- (\VEC{n}_1' \times \VEC{E}_1) \times \nabla' \psi_2
- \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} (\VEC{n}_1' \cdot \VEC{E}_1) \nabla' \psi_2 \Big\} \ dS'
\\
\VEC{n}_2 \times \VEC{H}_2(\VEC{r})
&=&
\frac{T}{4\pi} \VEC{n}_2 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \epsilon_2 ( \VEC{n}_2' \times \VEC{E}_2 ) \psi_2
\nonumber \\
&&+ (\VEC{n}_2' \times \VEC{H}_2) \times \nabla' \psi_2
+ (\VEC{n}_2' \cdot \VEC{H}_2) \nabla' \psi_2 \Big\} \ dS'
\nonumber \\
&=&
\frac{T}{4\pi} \VEC{n}_1 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \epsilon_2 ( \VEC{n}_1' \times \VEC{E}_1 ) \psi_2
\nonumber \\
&&+ (\VEC{n}_1' \times \VEC{H}_1) \times \nabla' \psi_2
+ (\VEC{n}_1' \cdot \VEC{H}_1) \nabla' \psi_2 \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{align}
&\psi_i = \frac{e^{-jk_i R}}{R} \ \ \ \ \ (i=1,2)
\\
&k_i = \omega \sqrt{\mu \epsilon_i} \ \ \ \ \ (i=1,2)
\\
&R = |\VEC{r}-\VEC{r}'|
\\
&\VEC{n}_2 = -\VEC{n}_1
\end{align}
上式を式\eqref{eq:n1E1E2}に代入して，
\begin{eqnarray}
&&T \VEC{n}_1 \times \VEC{E}^{\mathrm{inc}} (\VEC{r})
\nonumber \\
&&-\frac{T}{4\pi} \VEC{n}_1 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \mu ( \VEC{n}_1' \times \VEC{H}_1 ) \psi_1
\nonumber \\
&&- (\VEC{n}_1' \times \VEC{E}_1) \times \nabla' \psi_1
- (\VEC{n}_1' \cdot \VEC{E}_1) \nabla' \psi_1 \Big\} \ dS'
\nonumber \\
&&-\frac{T}{4\pi} \VEC{n}_1 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \mu ( \VEC{n}_1' \times \VEC{H}_1 ) \psi_2
\nonumber \\
&&- (\VEC{n}_1' \times \VEC{E}_1) \times \nabla' \psi_2
- \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} (\VEC{n}_1' \cdot \VEC{E}_1) \nabla' \psi_2 \Big\} \ dS'
= 0
\end{eqnarray}
整理して，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{n}_1 \times \VEC{E}^{\mathrm{inc}} (\VEC{r})
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi} \VEC{n}_1 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \mu ( \VEC{n}_1' \times \VEC{H}_1 ) (\psi_1 + \psi_2)
\nonumber \\
&&- (\VEC{n}_1' \times \VEC{E}_1) \times \nabla' (\psi_1 + \psi_2)
- (\VEC{n}_1' \cdot \VEC{E}_1) \nabla' \left( \psi_1 + \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} \psi_2 \right) \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
また，式\eqref{eq:n1H1H2}に代入すると，
\begin{eqnarray}
&&T \VEC{n}_1 \times \VEC{H}^{\mathrm{inc}} (\VEC{r})
\nonumber \\
&&+\frac{T}{4\pi} \VEC{n}_1 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \epsilon_1 ( \VEC{n}_1' \times \VEC{E}_1 ) \psi_1
\nonumber \\
&&+ (\VEC{n}_1' \times \VEC{H}_1) \times \nabla' \psi_1
+ (\VEC{n}_1' \cdot \VEC{H}_1) \nabla' \psi_1 \Big\} \ dS'
\nonumber \\
&&+\frac{T}{4\pi} \VEC{n}_1 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \epsilon_2 ( \VEC{n}_1' \times \VEC{E}_1 ) \psi_2
\nonumber \\
&&+ (\VEC{n}_1' \times \VEC{H}_1) \times \nabla' \psi_2
+ (\VEC{n}_1' \cdot \VEC{H}_1) \nabla' \psi_2 \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
整理して，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{n}_1 \times \VEC{H}^{\mathrm{inc}} (\VEC{r})
\nonumber \\
&=& -\frac{1}{4\pi} \VEC{n}_1 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \epsilon_1 ( \VEC{n}_1' \times \VEC{E}_1 )
\left( \psi_1 + \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1} \psi_2 \right)
\nonumber \\
&&+ (\VEC{n}_1' \times \VEC{H}_1) \times \nabla' (\psi_1 + \psi_2)
+ (\VEC{n}_1' \cdot \VEC{H}_1) \nabla' (\psi_1 + \psi_2) \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
ここで，面電流源$\VEC{J}_s$，面磁流源$\VEC{K}_s$は，
\begin{align}
&\VEC{J}_s(\VEC{r}) = \VEC{n}_1 \times \VEC{H}_1, \ \ \ \ \
\VEC{J}_s(\VEC{r}') = \VEC{n}_1' \times \VEC{H}_1
\\
&\VEC{K}_s(\VEC{r}) = -\VEC{n}_1 \times \VEC{E}_1, \ \ \ \ \
\VEC{K}_s(\VEC{r}') = -\VEC{n}_1' \times \VEC{E}_1
\end{align}
式\eqref{eq:nE}より，
\begin{gather}
\VEC{n}_1' \cdot \VEC{E}_1
= -\frac{1}{j\omega \epsilon_1} \nabla'_s \cdot (\VEC{n}_1' \times \VEC{H}_1)
= -\frac{1}{j\omega \epsilon_1} \nabla'_s \cdot \VEC{J}_s
\end{gather}
同様にして，
\begin{gather}
\VEC{n}_1' \cdot \VEC{H}_1
= \frac{1}{j\omega \mu} \nabla'_s \cdot (\VEC{n}_1' \times \VEC{E}_1)
= \frac{1}{j\omega \mu} \nabla'_s \cdot (-\VEC{K}_s)
\end{gather}
これより，面電流源$\VEC{J}_s$，面磁流源$\VEC{K}_s$を用いて，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{n}_1 \times \VEC{E}^{\mathrm{inc}} (\VEC{r})
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi} \VEC{n}_1 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \mu \VEC{J}_s (\psi_1 + \psi_2)
\nonumber \\
&&+ \VEC{K}_s \times \nabla' (\psi_1 + \psi_2)
+ \frac{1}{j\omega \epsilon_1} (\nabla'_s \cdot \VEC{J}_s) \nabla' \left( \psi_1 + \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} \psi_2 \right) \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
&&\VEC{n}_1 \times \VEC{H}^{\mathrm{inc}} (\VEC{r})
\nonumber \\
&=& \frac{1}{4\pi} \VEC{n}_1 \times \PPV _{S}
\Big\{ j\omega \epsilon_1 \VEC{K}_s
\left( \psi_1 + \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1} \psi_2 \right)
\nonumber \\
&&- \VEC{J}_s \times \nabla' (\psi_1 + \psi_2)
+ \frac{1}{j\omega \mu} (\nabla'_s \cdot \VEC{K}_s) \nabla' (\psi_1 + \psi_2) \Big\} \ dS'
\end{eqnarray}
$\ddagger$ A. J. Poggio and E. K. Miller,
“Integral equation solutions of three dimensional scattering problems,”
in Computer Techniques for Electromagnetics , Chapter 4, R. Mittra, Ed. Elmsford, NY: Permagon (1973).
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