RWG基底関数を用いたポテンシャル積分について

5.8　RWG基底関数を用いたポテンシャル積分について

　RWG基底関数を用いたベクトルポテンシャルおよびスカラポテンシャルにおいて，観測点と波源が一致する特異点を含めた積分について説明する

^{†}

．

$†$ D. R. Wilton, S. M. Rao, A. W. Glisson, D. H. Schaubert, O. M. Al-Bundak, and C. M. Butler, “Potential integrals for uniform and linear source distributions on polygonal and polyhedral domains,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.32, no.3, pp.276-281 (1984).

　三角形領域

T_{q}

おける電流3成分

(i = 1, 2, 3)

から領域

T_{p}

の中心点（位置ベクトル

r_{p}^{(c)}

）への寄与をまとめて考えると，これらの積分は次のようになる．

\begin{array}{rcl} (1) & A_{p q, i} & = & \frac{μ}{4 π} \iint_{T_{q}} (\frac{l_{q, i}}{2 A_{q}} ρ_{q, i}) \frac{e^{- j k R_{p}}}{R_{p}} d S^{'} (i = 1, 2, 3) \\ (2) & Φ_{p q, i} & = & \mp \frac{1}{4 π j ω ϵ} \iint_{T_{q}} (\frac{l_{q, i}}{A_{q}}) \frac{e^{- j k R_{p}}}{R_{p}} d S^{'} (i = 1, 2, 3) \end{array}

ここで，

\begin{array}{rcl} (3) & R_{p} & = & | r_{p}^{(c)} - r^{'} | \\ (4) & ρ_{q, i} & = & \pm (r^{'} - v_{q, i}) (i = 1, 2, 3) \end{array}

ただし，

v_{q, i}

および

l_{q, i} (i = 1, 2, 3)

は，三角形領域

T_{q}

の頂点の位置ベクトルおよびその対辺の長さ，

A_{q}

はその面積を示す．また，上式の

\pm

の符号は，領域

T_{q}

が

T^{(\pm)}

のどちらかで対応して決まる．

簡単のため，

i = 1

を考え，観測点を一般化して

r

とおく．また，

T_{q}

の符号は

(+)

について考え，各変数の添字を略すとベクトルポテンシャル

A

は，

\begin{matrix} (5) & A = \frac{μ}{4 π} \frac{l}{2 A} \iint_{T} ρ_{m}^{(+)} \frac{e^{- j k R}}{R} d S^{'} \end{matrix}

上式の積分項

I

を，次のような項に分けて計算していく．

\begin{array}{rcl} I & = & \iint_{T} ρ_{m}^{(+)} \frac{e^{- j k R}}{R} d S^{'} \\ = & \iint_{T} (ρ^{'} - ρ_{v}) \frac{e^{- j k R}}{R} d S^{'} \\ (6) & = & \iint_{T} (ρ^{'} - ρ) \frac{e^{- j k R}}{R} d S^{'} + (ρ - ρ_{v}) \iint_{T} \frac{e^{- j k R}}{R} d S^{'} \end{array}

ただし，

ρ

，

ρ^{'}

，

ρ_{v}

は，観測点の位置ベクトル

r

，電流源の位置ベクトル

r^{'}

，共有する辺に対向する三角形の頂点

v_{m}^{(+)}

を各々面

S

に投影したベクトルを示す．

さらに，

\begin{matrix} (7) & \frac{e^{- j k R}}{R} = (\frac{e^{- j k R}}{R} - \frac{1}{R}) + \frac{1}{R} \\ (8) & lim_{R \to 0} (\frac{e^{- j k R}}{R} - \frac{1}{R}) = - j k \end{matrix}

を考慮して，

\begin{array}{rcl} I & = & \iint_{T} (ρ^{'} - ρ) \frac{e^{- j k R} - 1}{R} d S^{'} + \iint_{T} \frac{ρ^{'} - ρ}{R} d S^{'} \\ (9) & + (ρ - ρ_{v}) \iint_{T} \frac{e^{- j k R} - 1}{R} d S^{'} + (ρ - ρ_{v}) \iint_{T} \frac{d S^{'}}{R} \end{array}

上式の第1項および第3項は特異点を持たないため，容易に数値積分できる．

3角形領域の積分について

　まず，三角形領域

T_{q}

における波源の位置ベクトル

r^{'}

は，

\begin{matrix} (10) & r^{'} = v_{q, 1} + ξ_{q} (v_{q, 2} - v_{q, 1}) + η_{q} (v_{q, 3} - v_{q, 1}) (0 \leq ξ_{q}, η_{q} \leq 1) \end{matrix}

簡単のため，添字

q

は省略して，

\begin{array}{rcl} r^{'} & = & v_{1} + ξ (v_{2} - v_{1}) + η (v_{3} - v_{1}) (0 \leq ξ, η \leq 1) \\ (11) & = & (1 - ξ - η) v_{1} + ξ v_{2} + η v_{3} \end{array}

これより，面積要素

d S^{'}

は，

\begin{array}{rcl} d S^{'} & = & | \frac{\partial r^{'}}{\partial ξ} \times \frac{\partial r^{'}}{\partial η} | d ξ d η \\ = & | (v_{2} - v_{1}) \times (v_{3} - v_{1}) | d ξ d η \\ (12) & = & 2 A_{q} d ξ d η \end{array}

よって，三角形領域

T_{q}

の積分は，次のような2重積分の形で表される．

\begin{matrix} (13) & \iint_{T_{q}} g (r^{'}) d S^{'} = 2 A_{q} \int_{ξ = 0}^{1} \int_{η = 0}^{1 - ξ} g ((1 - ξ - η) v_{1} + ξ v_{2} + η v_{3}) d η d ξ \end{matrix}

特異点を含む積分について

　式

(9)

の第2項および第4項の積分

I_{2}

，

I_{4}

\begin{matrix} (14) & I_{2} = \iint_{T} \frac{ρ^{'} - ρ}{R} d S^{'}, I_{4} = \iint_{T} \frac{d S^{'}}{R} \end{matrix}

については，周回積分への変換と特異点のふるまいを考慮した積分を行う．まず，準備として，導体面に沿う2次元演算子

\nabla_{s}

を作用させたときの計算を行う．

\begin{aligned} (15) & P = P u_{p} \equiv ρ^{'} - ρ \\ (16) & P = | ρ^{'} - ρ | \\ (17) & R = | r - r^{'} | = | d n + ρ - ρ^{'} | = | d n - P u_{p} | = \sqrt{d^{2} + P^{2}} \\ (18) & \nabla_{s}^{'} R = \frac{\partial R}{\partial P} u_{p} = \frac{P}{R} u_{p} = \frac{P}{R} = \frac{ρ^{'} - ρ}{R} \end{aligned}

これより，積分

I_{2}

に対して，特異点

P = 0

の点を含む微小領域を

s_{ϵ}

として，次のように領域

s_{ϵ}

とそれ以外に分けて積分し，それから極限を求める．

\begin{array}{rcl} I_{2} & = & \iint_{S} \frac{ρ^{'} - ρ}{R} d S^{'} \\ (19) & = & lim_{s_{ϵ} \to 0} \iint_{S - s_{ϵ}} \nabla_{s}^{'} R d S^{'} + lim_{s_{ϵ} \to 0} \iint_{s_{ϵ}} \frac{ρ^{'} - ρ}{R} d S^{'} \end{array}

また，

\begin{matrix} (20) & \frac{R}{P} = \frac{\sqrt{d^{2} + P^{2}}}{P} = \sqrt{\frac{d^{2}}{P^{2}} + 1} \end{matrix}

\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial P} (\frac{R}{P}) & = & \frac{\partial}{\partial P} (\sqrt{\frac{d^{2}}{P^{2}} + 1}) \\ (21) & = & - \frac{d^{2}}{P^{3}} \frac{P}{\sqrt{d^{2} + P^{2}}} = - \frac{d^{2}}{P^{2}} \frac{1}{R} \end{array}

\begin{array}{rcl} \nabla_{s}^{'} \cdot (\frac{R}{P} u_{ρ}) & = & \nabla_{s}^{'} \frac{R}{P} \cdot u_{ρ} + \frac{R}{P} \nabla_{s}^{'} \cdot u_{ρ} \\ = & \frac{\partial}{\partial P} (\frac{R}{P}) + \frac{R}{P} \frac{1}{P} \\ = & - \frac{d^{2}}{P^{2}} \frac{1}{R} + \frac{R}{P^{2}} \\ (22) & = & \frac{- d^{2} + R^{2}}{P^{2} R} = \frac{P^{2}}{P^{2} R} = \frac{1}{R} \end{array}

同様にして，積分

I_{4}

も特異点

P = 0

の点を含む微小領域を

s_{ϵ}

として，

\begin{array}{rcl} I_{4} & = & \iint_{T} \frac{d S^{'}}{R} \\ (23) & = & lim_{s_{ϵ} \to 0} \iint_{S - s_{ϵ}} \nabla_{s}^{'} \cdot (\frac{R P}{P^{2}}) d S^{'} + lim_{s_{ϵ} \to 0} \iint_{s_{ϵ}} \frac{d S^{'}}{R} \end{array}

と分けて考えることにする．

周回積分への変換

　式

(23)

の第1項は

P = 0

の点を除いた積分であり，次のようにガウスの2次元発散定理により周回積分に変換できる．

\begin{array}{rcl} lim_{ϵ \to 0} \iint_{S - s_{ϵ}} \nabla_{s}^{'} \cdot (\frac{R P}{P^{2}}) d S^{'} \\ = & lim_{ϵ \to 0} \oint_{C - c_{ϵ}} \frac{R P}{P^{2}} \cdot d u^{'} \\ (24) & = & \oint_{C} \frac{R}{P^{2}} (P \cdot u^{'}) d l^{'} + lim_{ϵ \to 0} \oint_{- c_{ϵ}} \frac{R}{P} (u_{p} \cdot u^{'}) d l^{'} \end{array}

ただし，周回積分路

C

は面

S

の周辺，

c_{ϵ}

は面

s_{ϵ}

の周辺の各々閉じた経路を示す．また，ベクトル線積分要素

d u^{'} (= u^{'} d l^{'})

の方向は，面

S

，

s_{ϵ}

上で積分路

C

，

c_{ϵ}

の法線方向にとる．上式の第1項は，積分路

C

が3角形領域の辺

i

に沿う直線の積分路

L_{i}

となるので，

\begin{matrix} (25) & \oint_{C} \frac{R}{P^{2}} (P \cdot u^{'}) d l^{'} = \sum_{i} (P^{(0)} \cdot u_{i}^{'}) \int_{L_{i}} \frac{R}{P^{2}} d l^{'} \end{matrix}

ここで，

\begin{array}{rcl} (26) & P^{2} & = & (P^{(0)})^{2} + l^{' 2} \\ (27) & R^{2} & = & d^{2} + (P^{(0)})^{2} + l^{' 2} = d^{2} + P^{2} \end{array}

より，

\begin{array}{rcl} \frac{R}{P^{2}} & = & \frac{R}{P^{2}} \frac{R}{R} = \frac{P^{2} + d^{2}}{P^{2} R} \\ = & \frac{1}{R} + \frac{d^{2}}{P^{2} R} \\ (28) & = & \frac{1}{\sqrt{d^{2} + (P^{(0)})^{2} + l^{' 2}}} + \frac{d^{2}}{{(P^{(0)})^{2} + l^{' 2}}^{2} \sqrt{d^{2} + (P^{(0)})^{2} + l^{' 2}}} \end{array}

辺

i

（積分路

L_{i}

）の両端の座標成分を

l = l_{i}^{(-)}, l_{i}^{(+)}

とすると，

\begin{array}{rcl} \int_{L_{i}} \frac{R}{P^{2}} d l^{'} & = & \int_{L_{i}} (\frac{1}{R} + \frac{d^{2}}{P^{2} R}) d l^{'} \\ = & \int_{l_{i}^{(-)}}^{l_{i}^{(+)}} \frac{d l^{'}}{\sqrt{d^{2} + (P_{i}^{(0)})^{2} + l^{' 2}}} \\ (29) & + d^{2} \int_{l_{i}^{(-)}}^{l_{i}^{(+)}} \frac{d l^{'}}{{(P_{i}^{(0)})^{2} + l^{' 2}} \sqrt{d^{2} + (P_{i}^{(0)})^{2} + l^{' 2}}} \end{array}

上式は，置換積分（

t \equiv x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}

）より得られる不定積分公式（積分定数

C

は省略）

\begin{matrix} (30) & \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} + a^{2}} | \end{matrix}

を用い，

\begin{matrix} (31) & R_{i}^{(\pm)} = \sqrt{d^{2} + (P_{i}^{(0)})^{2} + {(l_{i}^{(\pm)})}^{2}} \end{matrix}

とおいて，式

(29)

の第1項は，

\begin{array}{rcl} \int_{l_{i}^{(-)}}^{l_{i}^{(+)}} \frac{d l^{'}}{\sqrt{d^{2} + (P_{i}^{(0)})^{2} + l^{' 2}}} \\ = & {[\ln | l^{'} + \sqrt{d^{2} + (P_{i}^{(0)})^{2} + l^{' 2}} |]}_{l_{i}^{(-)}}^{l_{i}^{(+)}} \\ = & \ln | l_{i}^{(+)} + \sqrt{d^{2} + (P_{i}^{(0)})^{2} + {(l_{i}^{(+)})}^{2}} | \\ - \ln | l_{i}^{(-)} + \sqrt{d^{2} + (P_{i}^{(0)})^{2} + {(l_{i}^{(-)})}^{2}} | \\ = & \ln | l_{i}^{(+)} + R_{i}^{(+)} | - \ln | l_{i}^{(-)} + R_{i}^{(-)} | \\ (32) & = & \ln | \frac{l_{i}^{(+)} + R_{i}^{(+)}}{l_{i}^{(-)} + R_{i}^{(-)}} | \end{array}

また，置換積分（

| q | x \equiv p \sqrt{x^{2} + p^{2} + q^{2}} \tan t

）より得られる不定積分公式（積分定数

C

は省略）

\begin{matrix} (33) & \int \frac{d x}{(x^{2} + p^{2}) \sqrt{x^{2} + p^{2} + q^{2}}} = \frac{1}{| p q |} \tan^{- 1} (\frac{| q | x}{p \sqrt{x^{2} + p^{2} + q^{2}}}) \end{matrix}

を用いると，式

(29)

の第2項は，

\begin{array}{rcl} d^{2} \int_{l^{'} = l_{i}^{(-)}}^{l_{i}^{(+)}} \frac{d l^{'}}{{(P_{i}^{(0)})^{2} + l^{' 2}} \sqrt{d^{2} + (P_{i}^{(0)})^{2} + l^{' 2}}} \\ = & \frac{d^{2}}{P_{i}^{(0)} | d |} {[\tan^{- 1} (\frac{| d | l^{'}}{P_{i}^{(0)} \sqrt{d^{2} + (P_{i}^{(0)})^{2} + l^{' 2}}})]}_{l^{'} = l_{i}^{(-)}}^{l_{i}^{(+)}} \\ (34) & = & \frac{| d |}{P_{i}^{(0)}} {\tan^{- 1} (\frac{| d | l_{i}^{(+)}}{P_{i}^{(0)} R_{i}^{(+)}}) - \tan^{- 1} (\frac{| d | l_{i}^{(-)}}{P_{i}^{(0)} R_{i}^{(-)}})} \end{array}

積分路

- c_{ϵ}

においては，

u_{p} \cdot u^{'} = - 1

，

d l^{'} = P d ϕ

，

R = \sqrt{d^{2} + ϵ^{2}}

より，

\begin{array}{rcl} lim_{ϵ \to 0} \oint_{- c_{ϵ}} \frac{R}{P} (u_{p} \cdot u^{'}) d l^{'} & = & lim_{ϵ \to 0} \int_{0}^{α} \frac{R}{P} (- 1) P d ϕ \\ = & lim_{ϵ \to 0} (- R) \int_{0}^{α} d ϕ \\ = & lim_{ϵ \to 0} - \sqrt{d^{2} + ϵ^{2}} \cdot α \\ (35) & = & - α | d | \end{array}

　一方，式

(23)

の

I_{4}

の第2項は，

P = 0

の点を座標原点にしたローカルな極座標系を考え，積分範囲

s_{ϵ}

を半径

ϵ

，平面角

α

[rad]の円形領域にとり，

t \equiv d^{2} + P^{2}

の置換積分を実行すると，次のようになる．

\begin{array}{rcl} lim_{ϵ \to 0} \iint_{s_{ϵ}} \frac{d S^{'}}{R} & = & lim_{ϵ \to 0} \int_{ϕ = 0}^{α} \int_{P = 0}^{ϵ} \frac{P d P d ϕ}{\sqrt{d^{2} + P^{2}}} \\ = & lim_{ϵ \to 0} [ϕ]_{0}^{α} \int \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{d t}{2} \\ = & lim_{ϵ \to 0} α [\sqrt{t}] \\ = & lim_{ϵ \to 0} α [\sqrt{d^{2} + P^{2}}]_{0}^{ϵ} \\ (36) & = & lim_{ϵ \to 0} α (\sqrt{d^{2} + ϵ^{2}} - | d |) = 0 \end{array}

よって，

\begin{array}{rcl} I_{4} & = & \iint_{T} \frac{d S^{'}}{R} \\ = & - α | d | + \sum_{i} (u_{P 0, i} \cdot u_{i}^{'}) \\ \cdot [P_{i}^{(0)} \ln | \frac{l_{i}^{(+)} + R_{i}^{(+)}}{l_{i}^{(-)} + R_{i}^{(-)}} | \\ (37) & + | d | {\tan^{- 1} (\frac{| d | l_{i}^{(+)}}{P_{i}^{(0)} R_{i}^{(+)}}) - \tan^{- 1} (\frac{| d | l_{i}^{(-)}}{P_{i}^{(0)} R_{i}^{(-)}})}] \end{array}

ただし，

\begin{matrix} (38) & α = \sum_{i} (u_{P 0, i} \cdot u_{i}^{'}) {\tan^{- 1} (\frac{l_{i}^{(+)}}{P_{i}^{(0)}}) - \tan^{- 1} (\frac{l_{i}^{(-)}}{P_{i}^{(0)}})} \end{matrix}

また，

\begin{array}{rcl} (39) & β & \equiv & \tan^{- 1} \frac{l_{i}^{(\pm)}}{P_{i}^{(0)}} \\ (40) & γ & \equiv & \tan^{- 1} \frac{| d | l_{i}^{(\pm)}}{P_{i}^{(0)} R_{i}^{(\pm)}} \end{array}

とおき，正接の加法定理

\begin{matrix} (41) & \tan (β - γ) = \frac{\tan β - \tan γ}{1 + \tan β \tan γ} \end{matrix}

を用いると，

\begin{array}{rcl} (42) & (l_{i}^{(\pm)})^{2} & = & (P_{i}^{(\pm)})^{2} - (P_{i}^{(0)})^{2} \\ (43) & (P_{i}^{(\pm)})^{2} & = & (R_{i}^{(\pm)})^{2} - | d |^{2} \\ (44) & (P_{i}^{(0)})^{2} & = & (R_{i}^{(0)})^{2} - | d |^{2} \end{array}

より，次の関係が得られる（導出省略）．

\begin{array}{rcl} \tan^{- 1} (\frac{l_{i}^{(\pm)}}{P_{i}^{(0)}}) - \tan^{- 1} (\frac{| d | l_{i}^{(\pm)}}{P_{i}^{(0)} R_{i}^{(\pm)}}) \\ (45) & = & \tan^{- 1} (\frac{P_{i}^{(0)} l_{i}^{(\pm)}}{(R_{i}^{(0)})^{2} + | d | R_{i}^{(\pm)}}) \end{array}

これより，

\begin{array}{rcl} I_{4} & = & \iint_{T} \frac{d S^{'}}{R} \\ = & \sum_{i} (u_{P 0, i} \cdot u_{i}^{'}) [P_{i}^{(0)} \ln | \frac{l_{i}^{(+)} + R_{i}^{(+)}}{l_{i}^{(-)} + R_{i}^{(-)}} | \\ - | d | {\tan^{- 1} (\frac{P_{i}^{(0)} l_{i}^{(+)}}{(R_{i}^{(0)})^{2} + | d | R_{i}^{(+)}}) \\ (46) & - \tan^{- 1} (\frac{P_{i}^{(0)} l_{i}^{(-)}}{(R_{i}^{(0)})^{2} + | d | R_{i}^{(-)}})}] \end{array}

　一方，積分

I_{2}

についても，式

(19)

の第1項は2次元勾配定理より，周回積分（積分路

C

および

c_{ϵ}

）に変換でき，第2項は

I_{4}

の計算と同様にしてゼロになる（導出省略）．よって，

\begin{array}{rcl} I_{2} & = & lim_{s_{ϵ} \to 0} \iint_{S - s_{ϵ}} \nabla_{s}^{'} R d S^{'} \\ = & lim_{ϵ \to 0} \oint_{C - c_{ϵ}} R u^{'} d l^{'} \\ = & \sum_{i} u_{i}^{'} \int_{L_{i}} R d l^{'} + lim_{ϵ \to 0} \int_{- c_{ϵ}} R u^{'} d l^{'} \\ (47) & = & \sum_{i} u_{i}^{'} \int_{l_{i}^{(-)}}^{l_{i}^{(+)}} \sqrt{d^{2} + (P_{i}^{(0)})^{2} + l^{' 2}} d l^{'} + lim_{ϵ \to 0} R \int_{0}^{α} u^{'} ϵ d ϕ \end{array}

上式の第2項はゼロ，第1項は置換積分（

t \equiv x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}

）より得られる不定積分公式（積分定数

C

は省略）

\begin{matrix} (48) & \int \sqrt{x^{2} + a^{2}} d x = \frac{1}{2} (x \sqrt{x^{2} + a^{2}} + a^{2} \ln | x + \sqrt{x^{2} + a^{2}} |) \end{matrix}

より，

\begin{array}{rcl} I_{2} & = & \sum_{i} u_{i}^{'} \frac{1}{2} [l^{'} \sqrt{d^{2} + (P_{i}^{(0)})^{2} + l^{' 2}} \\ {+ {d^{2} + (P_{i}^{(0)})^{2}} \ln | l^{'} + \sqrt{d^{2} + (P_{i}^{(0)})^{2} + l^{' 2}} |]}_{l_{i}^{(-)}}^{l_{i}^{(+)}} \\ = & \frac{1}{2} \sum_{i} u_{i}^{'} [{l^{(+)} R_{i}^{(+)} + (R_{i}^{(0)})^{2} \ln | l_{i}^{(+)} + R_{i}^{(+)} |} \\ - {l^{(-)} R_{i}^{(-)} + (R_{i}^{(0)})^{2} \ln | l_{i}^{(-)} + R_{i}^{(-)} |}] \\ (49) & = & \frac{1}{2} \sum_{i} u_{i}^{'} {(R_{i}^{(0)})^{2} \ln | \frac{l_{i}^{(+)} + R_{i}^{(+)}}{l_{i}^{(-)} + R_{i}^{(-)}} | + l_{i}^{(+)} R_{i}^{(+)} - l_{i}^{(-)} R_{i}^{(-)}} \end{array}

5.8 RWG基底関数を用いたポテンシャル積分について

3角形領域の積分について

特異点を含む積分について

周回積分への変換

5.8　RWG基底関数を用いたポテンシャル積分について