5.7 Rao–Wilton–Glisson (RWG) 基底関数
RWG基底関数の定義
完全導体からなる３次元構造の散乱体を考えると，導体表面Sに沿う電界成分（添字$\tan$）の境界条件より，
\begin{gather}
-\VEC{E}_{i,\tan}
= \VEC{E}_{s,\tan}
= \Big( -j\omega \VEC{A} - \nabla \Phi \Big) _{\tan}
\ \ \ \ \ (\mbox{on S})
\end{gather}
まず，電流分布$\VEC{J}$を次のように展開して近似する．
\begin{gather}
\VEC{J}(\VEC{r}) \simeq \sum _{n=1}^N I_n \VEC{f}_n (\VEC{r})
\label{eq:J}
\end{gather}
ただし，$I_n$は未知スカラ係数，$\VEC{f}_n$は電流分布の基底関数（basis function）を示し，電流分布$\VEC{J}$および基底関数$\VEC{f}_n$は導体表面に沿う成分のみからなるベクトルである．この関数$\VEC{f}_n$は，２つの隣接する三角形領域
$T_n^{(+)}$，$T_n^{(-)}$
（長さ$l_n$の一辺を共有する）において次のように定義され，Rao–Wilton–Glisson (RWG) 基底関数という$^\dagger$．
\begin{gather}
\VEC{f}_n (\VEC{r}) = \left\{
\begin {array}{ll}
\displaystyle{\frac{l_n}{2A_n^{(+)}}} \VECi{\rho}_n^{(+)} & (\VEC{r} \ \ \mbox{in} \ \ T_n^{(+)}) \\
\displaystyle{\frac{l_n}{2A_n^{(-)}}} \VECi{\rho}_n^{(-)} & (\VEC{r} \ \ \mbox{in} \ \ T_n^{(-)}) \\
0 & (\mbox{otherwise})
\end{array} \right.
\end{gather}
ただし，$A_n^{(\pm)}$は三角形領域$T_n^{(\pm)}$の面積を示す．また，
$\VECi{\rho}_n^{(+)}$は三角形領域$T_n^{(+)}$の共有しない頂点（位置ベクトル$\VEC{v}_n^{(+)}$）
からその領域内の点（位置ベクトル$\VEC{r}$）に向うベクトル，
$\VECi{\rho}_n^{(-)}$は領域$T_n^{(-)}$の点（位置ベクトル$\VEC{r}$）
から共有しない頂点（位置ベクトル$\VEC{v}_n^{(-)}$）に向うベクトルを示し，次のようになる．
\begin{gather}
\VECi{\rho} _n^{(\pm)} = \pm \big( \VEC{r} - \VEC{v}_n^{(\pm)} \big) \ \ \ \ \ (\VEC{r} \ \ \mbox{in} \ \ T_n^{(\pm)})
\end{gather}
RWG基底関数に関わる変数の定義
$\dagger$ S.M.Rao, D.R.Wilton and A.W.Glisson,
"Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape,"
IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.30, no.3, pp.409-418 (1982).
ガラーキン法
これを境界条件の式に代入し，その両辺に$\VEC{f}_m$を試行関数としてスカラ積をとって積分すると，積分範囲は3角形領域
$T_m^{(+)}$および$T_m^{(-)}$であり，これを$S_m$とすると，
\begin{eqnarray}
\iint _{S_m} \VEC{E}_i \cdot \VEC{f}_m dS
&=& \iint _{S_m} \Big( j\omega \VEC{A} + \nabla \Phi \Big) \cdot \VEC{f}_m dS
\nonumber \\
&=& j\omega \iint _{S_m} \VEC{A} \cdot \VEC{f}_m dS
+ \iint _{S_m} ( \nabla \Phi ) \cdot \VEC{f}_m dS
\label{eq:boundary_condition}
\end{eqnarray}
上式の第2項は，ベクトル公式より，
\begin{gather}
\iint _{S_m} \big( \nabla \Phi \big) \cdot \VEC{f}_m dS
= \iint _{S_m} \nabla \cdot \big( \Phi \VEC{f}_m \big) dS
- \iint _{S_m} \Phi \big( \nabla \cdot \VEC{f}_m \big) dS
\end{gather}
いま，3角形領域の面上の成分より2次元微分演算子$\nabla _s$を定義すると，発散定理は次のようになる．
\begin{gather}
\iint _S \nabla _s \cdot \VEC{a} \ dS = \oint _C \VEC{a} \cdot \VEC{u} \ dl
\end{gather}
ただし，$\VEC{u}$は面$S$の法線方向$\VEC{n}$および周回積分路$C$に沿う方向$\VEC{l}$に直交する単位ベクトル
$\VEC{u} = \VEC{l} \times \VEC{n}$を示す．これより，
\begin{gather}
\iint _{S_m} \big( \nabla \Phi \big) \cdot \VEC{f}_m dS
= \oint _{C_m} \big( \Phi \VEC{f}_m \big) \cdot \VEC{u} \ dl
- \iint _{S_m} \Phi \big( \nabla \cdot \VEC{f}_m \big) dS
\end{gather}
ここで，周回積分路は領域$T_m^{(+)}$および$T_m^{(-)}$の周辺であり，
$\VEC{f}_m$の外向き成分はゼロゆえ，上式の第1項はゼロである．したがって，
\begin{gather}
\iint _{S_m} \big( \nabla \Phi \big) \cdot \VEC{f}_m dS
= - \iint _{S_m} \Phi \big( \nabla _s \cdot \VEC{f}_m \big) dS
\end{gather}
上式右辺の$\nabla _s \cdot \VEC{f_m}$は，$\VEC{r}$が$T_m^{(\pm)}$内にあるとき，
\begin{eqnarray}
\nabla _s \cdot \VEC{f_m}
&=& \nabla _s \cdot \left( \pm \frac{l_m}{2A_m^{(\pm)}} \big( \VEC{r} - \VEC{v}_m^{(\pm)} \big) \right)
\nonumber \\
&=& \pm \frac{l_m}{2A_m^{(\pm)}} \nabla _s \cdot \VEC{r}
\end{eqnarray}
いま，面Sの法線ベクトル$\VEC{n}$と面Sに沿う直交する２つの単位ベクトル$\VEC{u}_1$，$\VEC{u}_2$を考え，
位置ベクトル$\VEC{r}$を
\begin{gather}
\VEC{r} = t_1 \VEC{u}_1 + t_2 \VEC{u}_2 + n \VEC{n}
\end{gather}
で表すと，
\begin{gather}
\nabla _s \cdot \VEC{r} = \left( \VEC{u}_1 \frac{\partial }{\partial t_1} + \VEC{u}_2 \frac{\partial }{\partial t_2} \right)
\cdot \big( t_1 \VEC{u}_1 + t_2 \VEC{u}_2 + n \VEC{n} \big) = 2
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
\nabla _s \cdot \VEC{f_m} = \left\{
\begin {array}{ll}
\displaystyle{\pm \frac{l_m}{A_m^{(\pm)}}} & (\VEC{r} \ \ \mbox{in} \ \ T_m^{(\pm)}) \\
0 & (\mbox{otherwise})
\end{array} \right.
\end{gather}
したがって，
\begin{eqnarray}
&&\iint _{S_m} \big( \nabla \Phi \big) \cdot \VEC{f}_m dS
\nonumber \\
&=& - \iint _{S_m} \Phi \big( \nabla _s \cdot \VEC{f}_m \big) dS
\nonumber \\
&=& -\iint _{T_m^{(+)}} \Phi \frac{l_m}{A_m^{(+)}} dS -\iint _{T_m^{(-)}} \Phi \left( -\frac{l_m}{A_m^{(-)}} \right) dS
\nonumber \\
&=& -l_m \left( \frac{1}{A_m^{(+)}} \iint _{T_m^{(+)}} \Phi (\VEC{r}) \ dS
- \frac{1}{A_m^{(-)}} \iint _{T_m^{(-)}} \Phi (\VEC{r}) \ dS \right)
\end{eqnarray}
上式の$( \ \ )$内の項は，各々の領域における$\Phi$の平均値
$\overline{\Phi}_m^{(\pm)}$であり，三角形が十分小さい場合，三角形領域の中心
$\VEC{r}_m^{(c+)}$，$\VEC{r}_m^{(c-)}$における値で次のように近似できる．
\begin{gather}
\frac{1}{A_m^{(\pm)}} \iint _{T_m^{(\pm)}} \Phi (\VEC{r}) \ dS
= \overline{\Phi}_m^{(\pm)}
\simeq \Phi (\VEC{r}_m^{(c\pm)})
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
\iint _{S_m} \big( \nabla \Phi \big) \cdot \VEC{f}_m dS
&=& -l_m \Big( \overline{\Phi}_m^{(+)} - \overline{\Phi}_m^{(-)} \Big)
\nonumber \\
&\simeq& -l_m \Big( \Phi (\VEC{r}_m^{(c+)}) - \Phi (\VEC{r}_m^{(c-)}) \Big)
\end{eqnarray}
一方，
\begin{eqnarray}
&&\iint_{S_m} {\VEC{E}_i \choose \VEC{A}} \cdot \VEC{f}_m dS
\nonumber \\
&=& \iint _{T_m^{(+)}} {\VEC{E}_i \choose \VEC{A}} \cdot \frac{l_m}{2A_m^{(+)}} \VECi{\rho}_m^{(+)} \ dS
+ \iint _{T_m^{(-)}} {\VEC{E}_i \choose \VEC{A}} \cdot \frac{l_m}{2A_m^{(-)}} \VECi{\rho}_m^{(-)} \ dS
\end{eqnarray}
についても，積分の近似は，三角形領域中心における値である．
\begin{gather}
\frac{1}{A_m^{(\pm)}} \iint _{T_m^{(\pm)}} {\VEC{E}_i (\VEC{r}) \choose \VEC{A} (\VEC{r})} \cdot \VECi{\rho}_m^{(\pm)} \ dS
\simeq {\VEC{E}_i (\VEC{r}_m^{(c\pm)}) \choose \VEC{A} (\VEC{r}_m^{(c\pm)}) } \cdot \VECi{\rho}_m^{(c\pm)}
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
\VECi{\rho} _m^{(c\pm)} = \pm \big( \VEC{r} _m^{(c\pm)} - \VEC{v}_m^{(\pm)} \big)
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
\iint_{S_m} {\VEC{E}_i \choose \VEC{A}} \cdot \VEC{f}_m dS
\simeq \frac{l_m}{2} \left[ {\VEC{E}_i (\VEC{r}_m^{(c+)}) \choose \VEC{A} (\VEC{r}_m^{(c+)}) } \cdot \VECi{\rho}_m^{(c+)}
+ {\VEC{E}_i (\VEC{r}_m^{(c-)}) \choose \VEC{A} (\VEC{r}_m^{(c-)}) } \cdot \VECi{\rho}_m^{(c-)} \right]
\end{gather}
式\eqref{eq:boundary_condition}は，
\begin{eqnarray}
&&\frac{l_m}{2} \left( \frac{1}{A_m^{(+)}}\iint _{T_m^{(+)}} \VEC{E}_i \cdot \VECi{\rho}_m^{(+)} \ dS
+ \frac{1}{A_m^{(-)}}\iint _{T_m^{(-)}} \VEC{E}_i \cdot \VECi{\rho}_m^{(-)} \ dS \right)
\nonumber \\
&=& j\omega \frac{l_m}{2} \left( \frac{1}{A_m^{(+)}}\iint _{T_m^{(+)}} \VEC{A} \cdot \VECi{\rho}_m^{(+)} \ dS
+ \frac{1}{A_m^{(-)}}\iint _{T_m^{(-)}} \VEC{A} \cdot \VECi{\rho}_m^{(-)} \ dS \right)
\nonumber \\
&&- l_m \left( \frac{1}{A_m^{(+)}} \iint _{T_m^{(+)}} \Phi (\VEC{r}) \ dS
- \frac{1}{A_m^{(-)}} \iint _{T_m^{(-)}} \Phi (\VEC{r}) \ dS \right)
\nonumber \\
&& \ \ \ \ \ (m=1,2,3, \cdots , N)
\label{eq:EFIE_int}
\end{eqnarray}
積分を３角形領域の中心の値で近似すると次のようになる．
\begin{align}
&\frac{l_m}{2} \Big( \VEC{E}_i (\VEC{r}_m^{(c+)}) \cdot \VECi{\rho}_m^{(c+)}
+ \VEC{E}_i (\VEC{r}_m^{(c-)}) \cdot \VECi{\rho}_m^{(c-)} \Big)
\nonumber \\
&= \frac{l_m}{2} j\omega \Big( \VEC{A} (\VEC{r}_m^{(c+)}) \cdot \VECi{\rho}_m^{(c+)}
+ \VEC{A} (\VEC{r}_m^{(c-)}) \cdot \VECi{\rho}_m^{(c-)} \Big)
\nonumber \\
&- l_m \Big( \Phi (\VEC{r}_m^{(c+)}) - \Phi (\VEC{r}_m^{(c-)}) \Big) \ \ \ \ \ (m=1,2,3, \cdots , N)
\label{eq:EFIE}
\end{align}
ポテンシャル積分
観測点を3角形領域
$T_m^{(\pm)}$においた位置ベクトル$\VEC{r}$でのベクトルポテンシャル$\VEC{A}$は，
展開した電流分布の式\eqref{eq:J}より，
\begin{eqnarray}
\VEC{A} (\VEC{r})
&=& \frac{\mu}{4\pi} \iint _S \VEC{J} (\VEC{r}') \frac{e^{-jkR}}{R} dS'
\nonumber \\
&=& \frac{\mu}{4\pi} \iint _S \left( \sum _n I_n \VEC{f}_n (\VEC{r}') \right) \frac{e^{-jkR}}{R} dS'
\nonumber \\
&=& \sum _n I_n \left( \frac{\mu}{4\pi} \iint _{S_n} \VEC{f}_n (\VEC{r}') \frac{e^{-jkR}}{R} dS' \right)
\nonumber \\
&=& \sum _n I_n \VEC{A}_{mn} (\VEC{r})
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\VEC{A}_{mn}
\equiv \frac{\mu}{4\pi} \iint _{S_n} \VEC{f}_n (\VEC{r}') \frac{e^{-jkR}}{R} dS'
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
R = \big| \VEC{r} - \VEC{r}' \big|
\end{gather}
また，スカラポテンシャル$\Phi$は，
\begin{gather}
\Phi (\VEC{r})
= \frac{1}{4\pi \epsilon} \iint _S \sigma (\VEC{r}') \frac{e^{-jkR}}{R} dS'
\end{gather}
連続の式$\nabla _s \cdot \VEC{J} = -j\omega \sigma $より，
\begin{eqnarray}
\sigma
&=& -\frac{\nabla _s \cdot \VEC{J}}{j\omega}
\nonumber \\
&=& -\frac{1}{j\omega} \nabla _s \cdot \left( \sum _n I_n \VEC{f}_n \right)
\nonumber \\
&=& -\frac{1}{j\omega} \sum _n I_n \big( \nabla _s \cdot \VEC{f}_n \big)
\end{eqnarray}
これより，$\Phi$は，
\begin{eqnarray}
\Phi (\VEC{r})
&=& \frac{1}{4\pi \epsilon} \iint _S \left\{ -\frac{1}{j\omega} \sum _n I_n \big( \nabla '_s \cdot \VEC{f}_n (\VEC{r}')
\big) \right\} \frac{e^{-jkR}}{R} dS'
\nonumber \\
&=& \sum _n I_n \left\{ -\frac{1}{4\pi j \omega \epsilon}
\iint _{S_n} \big( \nabla '_s \cdot \VEC{f}_n (\VEC{r}') \big) \frac{e^{-jkR}}{R} dS' \right\}
\nonumber \\
&=& \sum I_n \Phi _{mn}(\VEC{r})
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\Phi_{mn}
\equiv -\frac{1}{4\pi j \omega \epsilon}
\iint _{S_n} \big( \nabla '_s \cdot \VEC{f}_n (\VEC{r}') \big) \frac{e^{-jkR}}{R} dS'
\end{gather}
三角形領域の中心$\VEC{r}_m^{(c\pm)}$における$\VEC{A}$，$\Phi$は，
\begin{eqnarray}
\VEC{A}(\VEC{r}_m^{(c\pm)}) &=& \sum I_n \VEC{A}_{mn}(\VEC{r}_m^{(c\pm)})
\\
\Phi (\VEC{r}_m^{(c\pm)}) &=& \sum I_n \Phi_{mn}(\VEC{r}_m^{(c\pm)})
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\VEC{A}_{mn}(\VEC{r}_m^{(c\pm)})
&=& \frac{\mu}{4\pi} \iint _{S_n} \VEC{f}_n (\VEC{r}') \frac{e^{-jkR_m^{(\pm)}}}{R_m^{(\pm)}} dS'
\\
\Phi_{mn}(\VEC{r}_m^{(c\pm)})
&=& -\frac{1}{4\pi j \omega \epsilon}
\iint _{S_n} \big( \nabla '_S \cdot \VEC{f}_n (\VEC{r}') \big) \frac{e^{-jkR_m^{(\pm)}}}{R_m^{(\pm)}} dS'
\end{eqnarray}
ただし，
\begin{gather}
R_m^{(\pm)} = \big| \VEC{r}_m^{(c\pm)} - \VEC{r}' \big|
\end{gather}
マトリクス方程式
これより，式\eqref{eq:EFIE_int}は，
\begin{eqnarray}
&&\frac{l_m}{2} \left( \frac{1}{A_m^{(+)}}\iint _{T_m^{(+)}} \VEC{E}_i \cdot \VECi{\rho}_m^{(+)} \ dS
+ \frac{1}{A_m^{(-)}}\iint _{T_m^{(-)}} \VEC{E}_i \cdot \VECi{\rho}_m^{(-)} \ dS \right)
\nonumber \\
&=& j\omega \frac{l_m}{2} \left\{ \frac{1}{A_m^{(+)}}\iint _{T_m^{(+)}}
\left( \sum _n I_n \VEC{A}_{mn} (\VEC{r}) \right) \cdot \VECi{\rho}_m^{(+)} \ dS \right.
\nonumber \\
&&\left. + \frac{1}{A_m^{(-)}}\iint _{T_m^{(-)}} \left( \sum _n I_n \VEC{A}_{mn} (\VEC{r}) \right)
\cdot \VECi{\rho}_m^{(-)} \ dS \right\}
\nonumber \\
&&- l_m \left( \frac{1}{A_m^{(+)}} \iint _{T_m^{(+)}}
\left\{ \sum I_n \Phi _{mn}(\VEC{r}) \right) \ dS \right.
\nonumber \\
&&\left. - \frac{1}{A_m^{(-)}} \iint _{T_m^{(-)}}
\left( \sum I_n \Phi _{mn}(\VEC{r}) \right) \ dS \right\} \ \ \ \ \ (m=1,2,3, \cdots , N)
\end{eqnarray}
整理して，
\begin{eqnarray}
&&l_m \left( \frac{1}{2A_m^{(+)}}\iint _{T_m^{(+)}} \VEC{E}_i \cdot \VECi{\rho}_m^{(+)} \ dS
+ \frac{1}{2A_m^{(-)}}\iint _{T_m^{(-)}} \VEC{E}_i \cdot \VECi{\rho}_m^{(-)} \ dS \right)
\nonumber \\
&=& l_m \left\{ j\omega \left( \sum _n I_n \frac{1}{2A_m^{(+)}} \iint _{T_m^{(+)}}
\VEC{A}_{mn} (\VEC{r})\cdot \VECi{\rho}_m^{(+)} \ dS \right. \right.
\nonumber \\
&& \left. + \sum _n I_n \frac{1}{2A_m^{(-)}} \iint _{T_m^{(-)}} \VEC{A}_{mn} (\VEC{r})
\cdot \VECi{\rho}_m^{(-)} \ dS \right)
\nonumber \\
&&- \left( \sum I_n \frac{1}{A_m^{(+)}} \iint _{T_m^{(+)}} \Phi _{mn}(\VEC{r}) \ dS \right.
\nonumber \\
&&\left. \left. - \sum I_n \frac{1}{A_m^{(-)}} \iint _{T_m^{(-)}}
\Phi _{mn}(\VEC{r}) \ dS \right) \right\} \ \ \ \ \ (m=1,2,3, \cdots , N)
\end{eqnarray}
近似式では，式\eqref{eq:EFIE}は，
\begin{eqnarray}
&&l_m \left( \VEC{E}_i (\VEC{r}_m^{(c+)}) \cdot \frac{\VECi{\rho}_m^{(c+)}}{2}
+ \VEC{E}_i (\VEC{r}_m^{(c-)}) \cdot \frac{\VECi{\rho}_m^{(c-)}}{2} \right)
\nonumber \\
&=& l_m \left[ j\omega \left\{ \left( \sum I_n \VEC{A}_{mn}^{(+)} \right) \cdot \frac{\VECi{\rho}_m^{(c+)}}{2}
+ \left( \sum I_n \VEC{A}_{mn}^{(-)} \right) \cdot \frac{\VECi{\rho}_m^{(c-)}}{2} \right\} \right.
\nonumber \\
&&\left.
- \left\{ \left( \sum _n I_n \Phi _{mn}^{(+)} \right)
- \left( \sum _n I_n \Phi _{mn}^{(-)} \right) \right\} \right]
\end{eqnarray}
よって，
\begin{eqnarray}
V_m &\equiv&
l_m \left( \frac{1}{2A_m^{(+)}}\iint _{T_m^{(+)}} \VEC{E}_i \cdot \VECi{\rho}_m^{(+)} \ dS \right.
\nonumber \\
&&\left. + \frac{1}{2A_m^{(-)}}\iint _{T_m^{(-)}} \VEC{E}_i \cdot \VECi{\rho}_m^{(-)} \ dS \right)
\nonumber \\
&\simeq& l_m \left( \VEC{E}_i (\VEC{r}_m^{(c+)}) \cdot \frac{\VECi{\rho}_m^{(c+)}}{2}
+ \VEC{E}_i (\VEC{r}_m^{(c-)}) \cdot \frac{\VECi{\rho}_m^{(c-)}}{2} \right)
\\
z_{mn} &\equiv&
l_m \left\{ j\omega \left( \frac{1}{2A_m^{(+)}} \iint _{T_m^{(+)}}
\VEC{A}_{mn} (\VEC{r})\cdot \VECi{\rho}_m^{(+)} \ dS \right. \right.
\nonumber \\
&& \left. + \frac{1}{2A_m^{(-)}} \iint _{T_m^{(-)}} \VEC{A}_{mn} (\VEC{r})
\cdot \VECi{\rho}_m^{(-)} \ dS \right)
\nonumber \\
&&\left. - \left( \frac{1}{A_m^{(+)}} \iint _{T_m^{(+)}} \Phi _{mn}(\VEC{r}) \ dS
- \frac{1}{A_m^{(-)}} \iint _{T_m^{(-)}}
\Phi _{mn}(\VEC{r}) \ dS \right) \right\}
\nonumber \\
&\simeq& l_m \left\{
j\omega \left( \VEC{A}_{mn}^{(+)} \cdot \frac{\VECi{\rho}_m^{(c+)}}{2}
+ \VEC{A}_{mn}^{(-)} \cdot \frac{\VECi{\rho}_m^{(c-)}}{2} \right)
- \Phi _{mn}^{(+)} + \Phi _{mn}^{(-)} \right\}
\end{eqnarray}
とおくと，
\begin{gather}
V_m = \sum _{n=1}^N z_{mn} I_n \ \ \ \ \ (m=1,2,3, \cdots , N)
\end{gather}
行列表示すると，
\begin{gather}
\VECi{V} = [Z] \VECi{I}
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
\VECi{I} = [Z]^{-1} \VECi{V} = [Y] \VECi{V}
\end{gather}
ただし
\begin{gather}
[Y] = [Z]^{-1}
\end{gather}