5.6 線状導体の散乱問題（ガラーキン法）
マトリクス方程式
ベクトルポテンシャルを基にして得られる散乱電界$\VEC{E}_s$の積分表示式は，次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{E}_s (\VEC{r})
= -j \omega \mu \left( \int _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J}(\VEC{r}') dV'
+ \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \int _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J}(\VEC{r}') dV' \right)
\end{gather}
入射電界を$\VEC{E}_i (\VEC{r})$，線状電流を$\VEC{I}(\VEC{r})$とおくと，線状導体（積分路$L$）に沿う電界の境界条件より，
\begin{eqnarray}
-\VEC{E}_i \cdot \VEC{u}_t (\VEC{r})
&=& \VEC{E}_s \cdot \VEC{u}_t (\VEC{r}) \ \ \ (\mbox{on S})
\nonumber \\
&=& -j \omega \mu \left( \int _L G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{I}(\VEC{r}') dl' \right.
\nonumber \\
&&\left. + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \int _L G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{I}(\VEC{r}') dl' \right)
\cdot \VEC{u}_t (\VEC{r})
\end{eqnarray}
いま，線状電流$\VEC{I}$を次のように展開して表す．
\begin{gather}
\VEC{I} = I(l) \VEC{u}_t (\VEC{r}) \simeq \sum _n a_n \VEC{f}_n (\VEC{r} )
\end{gather}
ただし，$\VEC{r}$は位置ベクトル，$\VEC{u}_t$は線状導体の接線（単位）ベクトル，
$\VEC{f}_n$は区分的三角波状の基底関数，$a_n$は未知係数を示す．
これより，
\begin{eqnarray}
&&\frac{1}{j\omega \mu} \VEC{E}_i \cdot \VEC{u}_t (\VEC{r})
\nonumber \\
&=& \left\{ \left( 1+\frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \right)
\int _L G(\VEC{r},\VEC{r}') I(\VEC{r}') \VEC{u}_t (\VEC{r}') dl' \right\}
\cdot \VEC{u}_t (\VEC{r})
\nonumber \\
&=& \left\{ \left( 1+\frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \right)
\int _L G(\VEC{r},\VEC{r}') \left( \sum _n a_n \VEC{f}_n (\VEC{r}' ) \right) dl' \right\}
\cdot \VEC{u}_t (\VEC{r})
\nonumber \\
&=& \left\{ \sum _n a_n \left( 1+\frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \right)
\int _L G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{f}_n (\VEC{r}' ) dl' \right\}
\cdot \VEC{u}_t (\VEC{r})
\end{eqnarray}
ベクトル表示して，
\begin{eqnarray}
&&-\frac{j}{\omega \mu} \big( \VEC{E}_i \cdot \VEC{u}_t (\VEC{r}) \big) \VEC{u}_t
\nonumber \\
&=& \left[ \left\{ \sum _n a_n \left( 1+\frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \right)
\int _L G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{f}_n (\VEC{r}' ) dl' \right\}
\cdot \VEC{u}_t (\VEC{r}) \right] \VEC{u}_t
\end{eqnarray}
両辺に$\VEC{f}_m (\VEC{r})$のスカラ積をとって，積分すると，
\begin{eqnarray}
&&\int _L -\frac{j}{\omega \mu} \big( \VEC{E}_i (\VEC{r}) \cdot \VEC{u}_t (\VEC{r}) \big)
\big( \VEC{u}_t (\VEC{r}) \cdot \VEC{f}_m (\VEC{r}) \big) dl
\nonumber \\
&=& \int _L \left[ \left\{ \sum _n a_n \left( 1+\frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \right)
\int _L G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{f}_n (\VEC{r}' ) dl' \right\}
\cdot \VEC{u}_t (\VEC{r}) \right]
\nonumber \\
&& \big( \VEC{u}_t (\VEC{r}) \cdot \VEC{f}_m (\VEC{r}) \big) dl
\end{eqnarray}
いま，$\VEC{u}_t$に直交する単位ベクトルを$\VEC{u}_1$，$\VEC{u}_2$とすると，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_i (\VEC{r}) \cdot \VEC{f}_m (\VEC{r})
&=& \big( \VEC{E}_i \cdot \VEC{u}_t \big) \big( \VEC{f}_m \cdot \VEC{u}_t \big)
\nonumber \\
&&+ \big( \VEC{E}_i \cdot \VEC{u}_1 \big) \big( \VEC{f}_m \cdot \VEC{u}_1 \big)
+ \big( \VEC{E}_i \cdot \VEC{u}_2 \big) \big( \VEC{f}_m \cdot \VEC{u}_2 \big)
\nonumber \\
&=& \big( \VEC{E}_i \cdot \VEC{u}_t \big) \big( \VEC{f}_m \cdot \VEC{u}_t \big)
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
\VEC{f}_n (\VEC{r}') \cdot \VEC{f}_m (\VEC{r})
&=& \big( \VEC{f}_n (\VEC{r}') \cdot \VEC{u}_t (\VEC{r}) \big) \big( \VEC{f}_m (\VEC{r}) \cdot \VEC{u}_t (\VEC{r}) \big)
\nonumber \\
&& + \big( \VEC{f}_n (\VEC{r}') \cdot \VEC{u}_1 (\VEC{r}) \big) \big( \VEC{f}_m (\VEC{r}) \cdot \VEC{u}_1 (\VEC{r}) \big)
\nonumber \\
&& + \big( \VEC{f}_n (\VEC{r}') \cdot \VEC{u}_2 (\VEC{r}) \big) \big( \VEC{f}_m (\VEC{r}) \cdot \VEC{u}_2 (\VEC{r}) \big)
\nonumber \\
&=& \big( \VEC{f}_n (\VEC{r}') \cdot \VEC{u}_t (\VEC{r}) \big) \big( \VEC{f}_m (\VEC{r}) \cdot \VEC{u}_t (\VEC{r}) \big)
\end{eqnarray}
より，
\begin{eqnarray}
&&-\frac{j}{\omega \mu} \int _{f_m} \VEC{E}_i (\VEC{r}) \cdot \VEC{f}_m (\VEC{r}) \ dl
\ \ \ (m=1,2,\cdots)
\nonumber \\
&=& \sum _n a_n \int _{f_m} \left\{ \left( 1+\frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \right)
\int _L G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{f}_n (\VEC{r}' ) dl' \right\}
\cdot \VEC{f}_m (\VEC{r}) \ dl
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
b_m &\equiv& -\frac{j}{\omega \mu} \int _{f_m} \VEC{E}_i (\VEC{r}) \cdot \VEC{f}_m (\VEC{r}) \ dl
\\
z_{mn} &\equiv& \int _{f_m} \left\{ \left( 1+\frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \right)
\int _{f_n} G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{f}_n (\VEC{r}' ) dl' \right\}
\cdot \VEC{f}_m (\VEC{r}) \ dl
\end{eqnarray}
とおくと，
\begin{gather}
b_m = \sum _n z_{mn} \ a_n \ \ \ \ \ (m=1,2, \cdots )
\end{gather}
行列表示すると，
\begin{gather}
\VECi{V} = [Z] \VECi{I}
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
\VECi{I} = [Z]^{-1} \VECi{V} = [Y] \VECi{V}
\end{gather}
ただし
\begin{gather}
[Y] = [Z]^{-1}
\end{gather}
マトリクス要素の計算
マトリクス要素$z_{mn}$について，第2項の積分を$I_{z2}$とおき，さらに計算に適した形に変形していく．
\begin{eqnarray}
I_{z2}
&\equiv& \int _{f_m} \VEC{f}_m (\VEC{r}) \cdot \left( \nabla \nabla \cdot
\int _{f_n} G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{f}_n (\VEC{r}' ) dl' \right) dl
\nonumber \\
&=& \int _{f_m} \VEC{f}_m (\VEC{r}) \cdot \left\{ \nabla
\int _{f_n} \nabla \cdot \Big( G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{f}_n (\VEC{r}' ) \Big) dl' \right\} dl
\end{eqnarray}
ベクトル公式
$\nabla \cdot \big( G \VEC{f}_n \big) = \VEC{f}_n \cdot \nabla G + G \big( \nabla \cdot \VEC{f}_n (\VEC{r}') \big) $
において，この式の第2項はゼロゆえ，
\begin{gather}
I_{z2}
= \int _{f_m} \VEC{f}_m (\VEC{r}) \cdot \left( \nabla
\int _{f_n} \VEC{f}_n (\VEC{r}') \cdot \nabla G(\VEC{r},\VEC{r}') dl' \right) dl
\end{gather}
グリーン関数の対称性
$\nabla G(\VEC{r},\VEC{r}') = -\nabla ' G(\VEC{r},\VEC{r}')$
より，
\begin{gather}
I_{z2}
= - \int _{f_m} \VEC{f}_m (\VEC{r}) \cdot \left( \nabla
\int _{f_n} \VEC{f}_n (\VEC{r}') \cdot \nabla ' G(\VEC{r},\VEC{r}') dl' \right) dl
\end{gather}
また，ベクトル公式
$\nabla ' \cdot \big( G \VEC{f}_n \big) = \VEC{f}_n \cdot \nabla ' G + G \big( \nabla ' \cdot \VEC{f}_n \big) $
より，
\begin{eqnarray}
I_{z2}
&=& - \int _{f_m} \VEC{f}_m (\VEC{r})
\cdot \Big[ \nabla
\int _{f_n} \Big\{
\nabla ' \cdot \big( G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{f}_n (\VEC{r}') \big)
\nonumber \\
&& - G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ' \cdot \VEC{f}_n (\VEC{r}')
\Big\} dl' \Big] dl
\end{eqnarray}
上式の第1項について，積分範囲を全空間にとった後，ガウスの発散定理より体積積分を面積分に変換すると，その面上では被積分関数はゼロとなり，第1項はゼロである．よって，
\begin{gather}
I_{z2}
= \int _{f_m} \VEC{f}_m (\VEC{r}) \cdot \left( \nabla
\int _{f_n} G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ' \cdot \VEC{f}_n (\VEC{r}') dl' \right) dl
\end{gather}
いま，
\begin{gather}
S (\VEC{r}) \equiv \int _{f_n} G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ' \cdot \VEC{f}_n (\VEC{r}') dl'
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
I_{z2}
= \int _{f_m} \VEC{f}_m (\VEC{r}) \cdot \nabla S(\VEC{r}) dl
\end{gather}
また，ベクトル公式
$\nabla \cdot \big( \VEC{f}_m S \big) = S \big( \nabla \cdot \VEC{f}_m \big) + \VEC{f}_n \cdot \nabla S $
より，
\begin{gather}
I_{z2}
= \int _{f_m} \nabla \cdot \big( \VEC{f}_m (\VEC{r}) S(\VEC{r}) \big) dl
- \int _{f_m} S(\VEC{r}) \nabla \cdot \VEC{f}_m (\VEC{r}) dl
\end{gather}
上式の第1項は，ガウスの発散定理より体積積分を面積分に変換できゼロとなる．したがって，
\begin{eqnarray}
I_{z2}
&=& - \int _{f_m} \big( \nabla \cdot \VEC{f}_m (\VEC{r}) \big) S(\VEC{r}) dl
\nonumber \\
&=& - \int _{f_m} \Big( \nabla \cdot \VEC{f}_m (\VEC{r}) \Big) \left\{
\int _{f_n} G(\VEC{r},\VEC{r}') \Big( \nabla ' \cdot \VEC{f}_n (\VEC{r}') \Big) dl' \right\} dl
\end{eqnarray}
よって，$z_{mn}$の別の表現として次式を得る．
\begin{eqnarray}
z_{mn}
&=& \int _{f_m} \VEC{f}_m (\VEC{r} ) \cdot \left( \int _{f_n} G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{f}_n (\VEC{r}') dl' \right) dl
\nonumber \\
&&- \frac{1}{k^2} \int _{f_m} \Big( \nabla \cdot \VEC{f}_m (\VEC{r}) \Big) \left\{
\int _{f_n} G(\VEC{r},\VEC{r}') \Big( \nabla ' \cdot \VEC{f}_n (\VEC{r}') \Big) dl' \right\} dl
\end{eqnarray}
これは，グリーン関数$G(\VEC{r},\VEC{r}')$に$\nabla$，$\nabla '$が作用しないようにした表示式となっていることが特徴である．
基底関数
基底関数$\VEC{f}_n$として，区分的な関数$\VEC{f}_n = f_n (l) \VEC{u}_{t,n}$を考えると，
\begin{eqnarray}
z_{mn}
&=& \int _{f_m} f_m \VEC{u}_{t,m} \cdot \left( \int _{f_n} G(\VEC{r},\VEC{r}') f_n \VEC{u}_{t,n} dl' \right) dl
\nonumber \\
&&- \frac{1}{k^2} \int _{f_m} \frac{\partial f_m}{\partial l} \left\{
\int _{f_n} G(\VEC{r},\VEC{r}') \frac{\partial f_n}{\partial l'} dl' \right\} dl
\end{eqnarray}
ただし，各セグメントは各々直線状導体で近似している．ここで，
\begin{eqnarray}
S_{1,mn} (l) &\equiv& \int _{f_n} G(\VEC{r},\VEC{r}') f_n (l') dl' \\
S_{2,mn} (l) &\equiv& \int _{f_n} G(\VEC{r},\VEC{r}') \frac{\partial f_n (l')}{\partial l'} dl'
\end{eqnarray}
とおくと，
\begin{gather}
z_{mn}
= \big( \VEC{u}_{t,m} \cdot \VEC{u}_{t,n} \big) \int _{f_m} f_m (l) S_{1,mn} (l) dl
- \frac{1}{k^2} \int _{f_m} \frac{\partial f_m(l)}{\partial l} S_{2,mn} (l) dl
\end{gather}
ただし，一般に$S_{1,mn}(l)$，$S_{2,mn}(l)$の定積分は解析的に行われる．基底関数$\VEC{f}_n$として，区分的な三角波状の関数（Piecewise triangular function）があり，次式で定義される
\begin{gather}
f_n (l) = \left\{
\begin {array}{ll}
\displaystyle{\frac{l-l_{n-1}}{l_n - l_{n-1}}} & (l_{n-1} \leq l \leq l_n ) \\
\displaystyle{\frac{l_{n+1}-l}{l_{n+1} - l_n}} & (l_n \leq l \leq l_{n+1} )
\end{array} \right.
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \VEC{f}_n
&=& \nabla \cdot \big( f_n(l) \VEC{u}_{t,n} \big)
= \big( \nabla f_n(l) \big) \cdot \VEC{u}_{t,n}
\nonumber \\
&=& \frac{\partial f_n}{\partial l}
= \left\{
\begin {array}{ll}
\displaystyle{\frac{1}{l_n - l_{n-1}}} & (l_{n-1} \leq l \leq l_n ) \\
\displaystyle{\frac{-1}{l_{n+1} - l_n}} & (l_n \leq l \leq l_{n+1} )
\end{array} \right.
\end{eqnarray}