5.5 放射および散乱特性
積分方程式の数値計算によって得られるインピーダンス行列から，アンテナの放射および散乱特性を解析する方法について説明する$^\dagger$．
$\dagger$ Roger F. Harrington, “Field Computation by Moment Methods,” Chapter 4. Wire antennas and scatters, Wiley-IEEE Press (1993).
遠方放射電界
遠方領域に観測点$(r_0 ,\theta, \phi)$をおくと，遠方近似したベクトルポテンシャル
\begin{gather}
\VEC{A} \simeq \mu \frac{e^{-jkr_0}}{4\pi r_0} \sum _n I (n) \Delta \VECi{l}_n e^{j\VEC{k} \cdot \VEC{r}_n}
\end{gather}
が得られ，遠方放射電界$\VEC{E}$は，次のように近似できる．
\begin{gather}
\VEC{E} \simeq -j \omega \big\{ (\VEC{A} \cdot \VEC{u}_\theta) \VEC{u}_\theta
+ (\VEC{A} \cdot \VEC{u}_\phi) \VEC{u}_\phi \big\}
\end{gather}
ただし，$r_0$はアンテナの座標原点から観測点までの距離，$\VEC{r}_n$は$n$番目の導体素子中心の位置ベクトル，
$\VEC{k}$は波数ベクトル，$\VEC{u}_\theta$，$\VEC{u}_\phi$は各々，$\theta$，$\phi$方向に沿う単位ベクトルを示す．
したがって，放射電界の成分$E_\theta$，$E_\phi$は，
\begin{eqnarray}
E_{\theta \choose \phi}
&=& \frac{\omega \mu e^{-jkr_0}}{j4\pi r_0} \sum _n \big( e^{j\VEC{k} \cdot \VEC{r}_n}
\VEC{u} _{\theta \choose \phi} \cdot \Delta \VEC{l}_n \big) I (n)
\nonumber \\
&=& \frac{\omega \mu e^{-jkr_0}}{j4\pi r_0} \VECi{V}_{r,{\theta \choose \phi}}^t \VECi{I}
\nonumber \\
&=& \frac{\omega \mu e^{-jkr_0}}{j4\pi r_0} \VECi{V}_{r,{\theta \choose \phi}}^t [Y] \VECi{V}
\end{eqnarray}
ただし，$\VECi{V}$は列ベクトル，
$\VECi{V}_{r,\theta}^t$，$\VECi{V}_{r,\phi}^t$は行ベクトル（列ベクトルの転置）を示し，その要素$V_{\theta,n}$，$V_{\phi,n}$は，
\begin{eqnarray}
V_{\theta,n} &=& e^{j\VEC{k} \cdot \VEC{r}_n} \VEC{u} _{\theta} \cdot \Delta \VECi{l}_n
\\
V_{\phi,n} &=& e^{j\VEC{k} \cdot \VEC{r}_n} \VEC{u} _{\phi} \cdot \Delta \VECi{l}_n
\end{eqnarray}
アンテナ利得
トータル電力$P_t$は，電流の要素$I(n)$の複素共役$I^*(n)$からなる列ベクトルを
$\VECi{I}^*$とおくと，
\begin{eqnarray}
P_t &=& \mbox{Re} \big( \ \VECi{V}^t \VECi{I}^* \big)
\nonumber \\
&=& \mbox{Re} \big( \ \VECi{V}^t [Y^*] \VECi{V}^* \big)
\end{eqnarray}
ただし，$\VECi{V}^t$は$\VECi{V}$の転置（共役をとらない）を示す．
これより，アンテナ利得$g_{\theta \choose \phi}(\theta ,\phi)$は，
\begin{eqnarray}
g_{\theta \choose \phi}(\theta ,\phi)
&=& \frac{4\pi r_0^2}{\eta} \frac{|E_{\theta \choose \phi}(\theta ,\phi) |^2}{P_t}
\nonumber \\
&=& \frac{\eta k^2}{4\pi} \frac{\Big|\VECi{V}_{r,{\theta \choose \phi}}^t [Y] \VECi{V}\Big|^2}{
\mbox{Re} \big( \ \VECi{V}^t [Y^*] \VECi{V}^* \big)}
\end{eqnarray}
ここで，$\eta=\sqrt{\mu/\epsilon}$は自由空間の波動インピーダンスを示す．
アンテナの入力アドミタンス
1点給電の線状アンテナの場合，一つの微小素子（$i$番目）の励振電圧を$V_i \neq 0$とおき，それ以外はゼロとおくと，
電流$\VECi{I}$の要素$I_m$は，
\begin{gather}
I_m = y_{mi} V_i \ \ \ (m=1,2,\cdots )
\end{gather}
ただし，$y_{mi}$は$[Y]$の要素を示す．
よって，単位電圧$V_i =1$とすると，電流は直接$y_{mi}$によって与えられる．
このとき，この給電点における入力アドミタンス$Y_{_{IN}}$は，
\begin{gather}
Y_{_{IN}} = \frac{I_i}{V_i} = y_{ii}
\end{gather}
また，トータル電力$P_t$は，
\begin{gather}
P_t = \mbox{Re} \big( |V_i|^2 y_{ii} \big)
\end{gather}
散乱断面積
物体に平面波が入射したとき，
ある方向$(\theta ,\phi )$の散乱波の強さが，入射波の到来方向に垂直な断面積$\sigma $ [m$^2$]内に含まれる入射電力を全方向に一様に散乱した場合の強さと同じになるような$\sigma$をその物体のその方向の散乱断面積（scattering cross-section）という．いま，入射平面波を，
\begin{gather}
\VEC{E}_i = \VEC{u}_t e^{-j\VEC{k} \cdot \VEC{r}_n}, \ \ \ \ \ \big| \VEC{E}_i \big| = 1
\end{gather}
散乱電界を$\VEC{E}_s$，散乱体から観測点までの距離を$r_r$とおくと，
\begin{gather}
\big| E_{s,{\theta \choose \phi}} \big| ^2 = \frac{\sigma |\VEC{E}_i|^2}{4\pi r_r^2} = \frac{\sigma }{4\pi r_r^2}
\end{gather}
ここで，積分方程式の数値計算により得られる電界成分は，
\begin{gather}
E_{s,{\theta \choose \phi}}
= \frac{\omega \mu e^{-jkr_0}}{j4\pi r_0} \VECi{V}_{r,{\theta \choose \phi}}^t [Y] \VECi{V}
\end{gather}
だたし，$\VECi{V}^t$は入射平面波を表す列ベクトルで，その要素$V_n$は次のようになる（アンテナの解析とは異なる点）．
\begin{eqnarray}
V_n &=& \VEC{E}_i \cdot \Delta \VEC{l}_n
\nonumber \\
&=& e^{-j\VEC{k} \cdot \VEC{r}_n} \VEC{u}_t \cdot \Delta \VECi{l}_n
\end{eqnarray}
ただし，$\VEC{k}$は入射平面波の波数ベクトル，
$\VEC{u}_t$はその電界の偏波方向に沿う単位ベクトルを示す．これより，散乱断面積$\sigma $は，
\begin{eqnarray}
\sigma &=& 4 \pi r_r^2 \big| E_{s,{\theta \choose \phi}} \big| ^2
\nonumber \\
&=& \frac{\eta ^2 k^2}{4\pi} \Big| \VECi{V}_{r,{\theta \choose \phi}}^t [Y] \VECi{V} \Big| ^2
\end{eqnarray}
また，トータル散乱断面積（Total scattering cross-section）$\sigma _t$は，入射波の電力密度と散乱波全電力の比で定義され，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\sigma _t &=& \frac{P_t}{\frac{|\VEC{E_i}|^2}{\eta}}
= \eta P_t
\nonumber \\
&=& \eta \ \Re \big[ \VECi{V}^t [Y^*] \VECi{V}^* \big]
\end{eqnarray}