5.4　線状導体の散乱問題（点整合法）

　線状導体の散乱問題に対して，まず，点整合法を取り上げ説明する$^\dagger$．

$\dagger$ Roger F. Harrington, “Field Computation by Moment Methods,” Chapter 4. Wire antennas and scatters, Wiley-IEEE Press (1993).

差分近似

　面電流$\VEC{J}$，および面電荷密度$\sigma $を用いて，散乱電界$\VEC{E}_s$は次式で与えられる． \begin{gather} \VEC{E}_s = -j\omega \VEC{A} - \nabla \Phi \end{gather} ここで，$\VEC{A}$はベクトルポテンシャル，$\Phi$はスカラポテンシャルを示し， \begin{eqnarray} \VEC{A} &=& \mu \oint _S \VEC{J} (\VEC{r}') G_0 (\VEC{r}, \VEC{r}') dS' \\ \Phi &=& \frac{1}{\epsilon} \oint _S \sigma (\VEC{r}') G_0 (\VEC{r}, \VEC{r}') dS' \end{eqnarray} ただし，$G_0 (\VEC{r}, \VEC{r}')$は自由空間の３次元スカラグリーン関数を示し， \begin{gather} G_0 (\VEC{r}, \VEC{r}') = \frac{e^{-jk|\VEC{r}-\VEC{r}'|}}{4\pi |\VEC{r}-\VEC{r}'|} \end{gather} また，連続の式は， \begin{gather} \nabla \cdot \VEC{J} = -j \omega \sigma \end{gather} 散乱体が完全導体の場合，入射電界を$\VEC{E}_i$，導体表面の法線ベクトルを$\VEC{n}$とおくと，導体表面$S$上の境界条件は次のようになる． \begin{gather} \VEC{n} \times (\VEC{E}_i + \VEC{E}_s) = 0 \ \ \ \ \ (\mbox{on S}) \end{gather} 　いま，導体が十分細い場合を考え，次のような細線近似を行う． これらの近似は，ハレンの積分方程式の定式化において用いたものである．これより， \begin{eqnarray} \VEC{A} &=& \mu \int _l I(l') \VEC{u}_{l'} G_0 \ dl' \\ \Phi &=& \frac{1}{\epsilon} \int _l \sigma (l') G_0 \ dl' \end{eqnarray} また， \begin{eqnarray} \sigma &=& \frac{\nabla \cdot \VEC{J}}{-j\omega} \nonumber \\ &=& -\frac{1}{j\omega } \nabla \cdot \big( I (l') \VEC{u}_l \big) \nonumber \\ &=& -\frac{1}{j\omega } \frac{\partial I}{\partial l'} \label{eq:sigma} \end{eqnarray} を用いて散乱電界$\VEC{E}_s$が求められる． また，境界条件より，電界の軸方向成分については， \begin{eqnarray} -\VEC{E}_i \cdot \VEC{u}_l &=& \VEC{E}_s \cdot \VEC{u}_l \nonumber \\ &=& \Big( -j\omega \VEC{A} - \nabla \Phi \Big) \cdot \VEC{u}_l \ \ \ \ \ (\mbox{on S}) \end{eqnarray} ここで，$\VEC{E}_i$，$\VEC{A}$の$l$成分を各々$E_{i,l}$，$A_l$とおくと， \begin{gather} -E_{i,l} = -j\omega A_l - \frac{\partial \Phi}{\partial l} \ \ \ \ \ (\mbox{on S}) \end{gather} 線状導体を微小長の素子に分割し，微分を差分近似（中心差分）すると， \begin{gather} \Phi(m) \simeq \frac{\Phi (m_+)- \Phi (m_-)}{\Delta l_m} \end{gather} ただし，$\Delta l_m$は$m$番目の導体素子の長さ，$m$はその導体素子の中心，$m_{\pm}$はおよび両端の位置に各々対応する． これより，$m$番目の微小導体中心における値は次のようになる． \begin{eqnarray} -E_{i,l} (m) &\simeq& -j\omega A_l (m) - \frac{\Phi (m_+)- \Phi (m_-)}{\Delta l_m} \ \ \ \ \ \mbox{on} \ (m\mbox{番目の素子}) \label{eq:wEFIE} \\ \VEC{A} (m) &\simeq& \mu \sum _n \VEC{I} (n) \int _{\Delta l_n} G_0 (\VEC{r}_m, \VEC{r}_n ) \ dl_n \end{eqnarray} $m$番目の微小導体の両端$m_{\pm}$において， \begin{gather} \Phi (m_{\pm}) \simeq \frac{1}{\epsilon} \sum _n \sigma (n_{\pm}) \int _{\Delta l_{n \pm}} G_0 (\VEC{r}_{m\pm}, \VEC{r}_{n\pm} ) \ dl_{n\pm} \end{gather} ここで，$n$番目の微小導体の両端$n_{\pm}$の電荷密度$ \sigma (n_\pm) $は，式\eqref{eq:sigma}を差分近似して， \begin{gather} \sigma (n_+) \simeq -\frac{1}{j\omega} \frac{I(n+1)-I(n)}{\Delta l_{n+}} \\ \sigma (n_-) \simeq -\frac{1}{j\omega} \frac{I(n)-I(n-1)}{\Delta l_{n-}} \end{gather} 　まず，次の積分を実行しよう． \begin{gather} \psi (n,m) \equiv \frac{1}{\Delta l_n} \int _{\Delta l_n} G_0 (\VEC{r}_m, \VEC{r}_n ) \ dl_n \end{gather} ここで，$n$番目の微小素子の中心を原点，素子の軸方向を$z$軸にとるローカルな円筒座標系$(\rho,\phi,z)$を考えると，位置ベクトル$\VEC{r}_n$の点の座標は$(0,0,z)$となる． 一方，$m$番目の微小素子の$\VEC{r}_m$（観測点）の座標を$(\rho_m,\phi_m,z_m)$とすると，$m \neq n$のとき， \begin{eqnarray} R_m &=& |\VEC{r}_m - \VEC{r}_n| \nonumber \\ &=& \sqrt{\rho _m^2 + (z_m -z)^2} \nonumber \\ &=& \sqrt{\rho_m^2 + z_m^2 -2z_m z + z^2} \end{eqnarray} ここで，原点から$\VEC{r}_m$までの距離を$R_{0m}$とおくと， \begin{gather} R_{0m} = \sqrt{\rho_m^2 + z_m^2} \end{gather} より， \begin{eqnarray} R_m &=& \sqrt{R_{0m}^2 -2z_m z + z^2} \nonumber \\ &=& R_{0m} \sqrt{1+\frac{-2z_m z + z^2}{R_{0m}^2}} \nonumber \\ &\simeq& R_{0m} \left( 1+\frac{1}{2} \cdot \frac{-2z_mz}{R_{0m}^2} \right) \nonumber \\ &=& R_{0m} - \frac{z_m}{R_{0m}} z \end{eqnarray} これより， \begin{eqnarray} \psi (n,m) &=& \frac{1}{\Delta l_n} \int _{\Delta l_n} \frac{e^{-jkR_m}}{4\pi R_m} \ dz \nonumber \\ &\simeq& \frac{1}{\Delta l_n} \frac{e^{-jkR_{0m}}}{4\pi R_{0m}} \int _{\Delta l_n} e^{jk\frac{z_m}{R_{0m}}z} \ dz \end{eqnarray} 積分項について， \begin{eqnarray} \int _{\Delta l_n} e^{jk\frac{z_m}{R_{0m}}z} \ dz &=& \left[ \frac{e^{jk\frac{z_m}{R_{0m}}z}}{jk\frac{z_m}{R_{0m}}} \right] _{z=-\frac{\Delta l_n}{2}}^{\frac{\Delta l_n}{2}} \nonumber \\ &=& \frac{1}{jk\frac{z_m}{R_{0m}}} \left( e^{jk\frac{z_m}{R_{0m}} \frac{\Delta l_n}{2}} - e^{-jk\frac{z_m}{R_{0m}} \frac{\Delta l_n}{2}}\right) \nonumber \\ &=& \Delta l_n \frac{\sin \left( k\frac{z_m}{R_{0m}} \frac{\Delta l_n}{2} \right) }{k\frac{z_m}{R_{0m}} \frac{\Delta l_n}{2}} \end{eqnarray} よって， \begin{eqnarray} \psi (n,m) &\simeq& \frac{e^{-jkR_{0m}}}{4\pi R_{0m}} \frac{\sin \left( k\frac{z_m}{R_{0m}} \frac{\Delta l_n}{2} \right) }{k\frac{z_m}{R_{0m}} \frac{\Delta l_n}{2}} \nonumber \\ &\simeq& \frac{e^{-jkR_{0m}}}{4\pi R_{0m}} \ \ \ (m \neq n) \end{eqnarray} 　次に，$m=n$のとき，$(\rho_m,\phi_m,z_m)=(a,\phi_n,0)$．また，$R_n = \sqrt{a^2 + z^2}$のとき， \begin{gather} e^{-jkR_n} \simeq 1-jkR_n \end{gather} で近似すると， \begin{eqnarray} \psi (n,n) &=& \frac{1}{\Delta l_n} \int _{\Delta l_n} \frac{e^{-jkR_n}}{4\pi R_n} \ dz \nonumber \\ &=& \frac{1}{4\pi \Delta l_n} \int _{\Delta l_n} \frac{1-jkR_n}{R_n} \ dz \nonumber \\ &=& \frac{1}{4\pi \Delta l_n} \left( \int _{\Delta l_n} \frac{dz}{R_n} - jk \int _{\Delta l_n} dz \right) \end{eqnarray} 上式の第1項の積分は，$\Delta _n \gg a$のとき， \begin{eqnarray} \int _{\Delta l_n} \frac{dz}{R_n} &=& \int _{-\frac{\Delta l_n}{2}}^{\frac{\Delta l_n}{2}} \frac{dz}{\sqrt{a^2+z^2}} \nonumber \\ &=& \Big[ \log | z + \sqrt{z^2 + a^2} | \Big] _{-\frac{\Delta l_n}{2}}^{\frac{\Delta l_n}{2}} \nonumber \\ &=& 2 \log \left| \frac{\Delta l_n}{2a} + \sqrt{ \left( \frac{\Delta l_n}{2a} \right) ^2+1} \ \right| \nonumber \\ &\simeq& 2 \log \left( \frac{\Delta l_n}{a} \right) \end{eqnarray} よって， \begin{eqnarray} \psi (n,n) &\simeq& \frac{1}{4\pi \Delta l_n} \left\{ 2 \log \left( \frac{\Delta l_n}{a} \right) -jk \Delta l_n \right\} \nonumber \\ &=& \frac{\log \left( \frac{\Delta l_n}{a} \right)}{2\pi \Delta l_n} - \frac{jk}{4\pi} \end{eqnarray} 　また， \begin{eqnarray} \Phi (m_+) &\simeq& \frac{1}{\epsilon} \sum _n \left\{ -\frac{1}{j\omega} \frac{I(n+1)-I(n)}{\Delta l_{n+}} \right\} \int _{\Delta l_{n+}} G_0 (\VEC{r}_{m+}, \VEC{r}_{n+} ) \ dl_{n+} \nonumber \\ &=& -\frac{1}{j\omega \epsilon } \sum _{n=1}^N \Big\{ I(n+1)-I(n) \Big\} \psi (n_+,m_+) \nonumber \\ &=& -\frac{1}{j\omega \epsilon } \sum _{n=1}^N \Big\{ I(n) \psi ((n-1)_+,m_+) -I(n) \psi (n_+,m_+) \Big\} \nonumber \\ &=& \frac{1}{j\omega \epsilon } \sum _{n=1}^N I(n) \Big\{ -\psi (n_-,m_+) + \psi (n_+,m_+) \Big\} \end{eqnarray} 同様にして， \begin{gather} \Phi (m_-) \simeq \frac{1}{j\omega \epsilon } \sum _{n=1}^N I(n) \Big\{ -\psi (n_-,m_-) + \psi (n_+,m_-) \Big\} \end{gather} また， \begin{eqnarray} \VEC{A} (m) &\simeq& \mu \sum _n I(n) \VEC{u}_{l,n} \int _{\Delta l_n} G_0 (\VEC{r}_m, \VEC{r}_n ) \ dl_n \nonumber \\ &=& \mu \sum _n I(n) \Delta \VEC{l}_n \psi (n,m) \end{eqnarray} ただし， $\Delta \VECi{l}_n \equiv \Delta l_n \VEC{u}_{l,n}$． これより，$\VEC{A}(m)$の素子に沿う成分$A_l (m)$は， \begin{gather} A_l (m) = \mu \sum _n I(n) \Delta \VECi{l}_n \cdot \VEC{u}_{l,m} \psi (n,m) \end{gather} よって，式\eqref{eq:wEFIE}に代入すると， \begin{eqnarray} E_{i,l} (m) &=& \frac{1}{\Delta l_m} \sum _n \Big[ j \omega \mu \Delta \VECi{l}_n \cdot \Delta \VECi{l}_m \psi (n,m) \nonumber \\ && + \frac{1}{j\omega \epsilon } \Big\{ \psi (n_+,m_+) - \psi (n_-,m_+) \nonumber \\ && -\psi (n_+,m_-) + \psi (n_-,m_-) \Big\} \Big] I(n) \end{eqnarray} ここで， \begin{eqnarray} V_m &\equiv& E_{i,l} (m) \Delta l_m \\ z_{mn} &\equiv& j \omega \mu \Delta \VECi{l}_n \cdot \Delta \VECi{l}_m \psi (n,m) \nonumber \\ && + \frac{1}{j\omega \epsilon } \Big\{ \psi (n_+,m_+) - \psi (n_-,m_+) \nonumber \\ && -\psi (n_+,m_-) + \psi (n_-,m_-) \Big\} \end{eqnarray} とおくと， \begin{gather} V_m = \sum _n z_{mn} I(n) \ \ \ \ \ (m=1,2, \cdots ) \end{gather} 行列表示すると， \begin{gather} \VECi{V} = [Z] \VECi{I} \end{gather} よって， \begin{gather} \VECi{I} = [Z]^{-1} \VECi{V} = [Y] \VECi{V} \end{gather} ただし， \begin{gather} [Y] = [Z]^{-1} \end{gather}