線状導体の散乱問題（点整合法）

5.4　線状導体の散乱問題（点整合法）

　線状導体の散乱問題に対して，まず，点整合法を取り上げ説明する

^{†}

．

$†$ Roger F. Harrington, “Field Computation by Moment Methods,” Chapter 4. Wire antennas and scatters, Wiley-IEEE Press (1993).

差分近似

　面電流

J

，および面電荷密度

σ

を用いて，散乱電界

E_{s}

は次式で与えられる．

\begin{matrix} (1) & E_{s} = - j ω A - \nabla Φ \end{matrix}

ここで，

A

はベクトルポテンシャル，

Φ

はスカラポテンシャルを示し，

\begin{array}{rcl} (2) & A & = & μ \oint_{S} J (r^{'}) G_{0} (r, r^{'}) d S^{'} \\ (3) & Φ & = & \frac{1}{ϵ} \oint_{S} σ (r^{'}) G_{0} (r, r^{'}) d S^{'} \end{array}

ただし，

G_{0} (r, r^{'})

は自由空間の３次元スカラグリーン関数を示し，

\begin{matrix} (4) & G_{0} (r, r^{'}) = \frac{e^{- j k | r - r^{'} |}}{4 π | r - r^{'} |} \end{matrix}

また，連続の式は，

\begin{matrix} (5) & \nabla \cdot J = - j ω σ \end{matrix}

散乱体が完全導体の場合，入射電界を

E_{i}

，導体表面の法線ベクトルを

n

とおくと，導体表面

S

上の境界条件は次のようになる．

\begin{matrix} (6) & n \times (E_{i} + E_{s}) = 0 (on  S) \end{matrix}

　いま，導体が十分細い場合を考え，次のような細線近似を行う．

電流は線状導体中心軸方向成分（単位ベクトル $u_{l}$ ）のみをもつ．
電流および電荷は導体表面ではなく，仮想的に線状導体中心軸上に分布する．
$J (r) = I (l) = I (l) u_{l}$ ．たたし， $l$ は中心軸に沿う距離（座標成分）を示す．
電流および電荷は，パルス状で微小素子（長さ $Δ l$ ）からなる．
電界に対する境界条件は，実際の導体表面（半径 $a$ の円筒表面）で考えた上で，適宜，近似を行う．

これらの近似は，ハレンの積分方程式の定式化において用いたものである．これより，

\begin{array}{rcl} (7) & A & = & μ \int_{l} I (l^{'}) u_{l^{'}} G_{0} d l^{'} \\ (8) & Φ & = & \frac{1}{ϵ} \int_{l} σ (l^{'}) G_{0} d l^{'} \end{array}

また，

\begin{array}{rcl} σ & = & \frac{\nabla \cdot J}{- j ω} \\ = & - \frac{1}{j ω} \nabla \cdot (I (l^{'}) u_{l}) \\ (9) & = & - \frac{1}{j ω} \frac{\partial I}{\partial l^{'}} \end{array}

を用いて散乱電界

E_{s}

が求められる．また，境界条件より，電界の軸方向成分については，

\begin{array}{rcl} - E_{i} \cdot u_{l} & = & E_{s} \cdot u_{l} \\ (10) & = & (- j ω A - \nabla Φ) \cdot u_{l} (on  S) \end{array}

ここで，

E_{i}

，

A

の

l

成分を各々

E_{i, l}

，

A_{l}

とおくと，

\begin{matrix} (11) & - E_{i, l} = - j ω A_{l} - \frac{\partial Φ}{\partial l} (on  S) \end{matrix}

線状導体を微小長の素子に分割し，微分を差分近似（中心差分）すると，

\begin{matrix} (12) & Φ (m) ≃ \frac{Φ (m_{+}) - Φ (m_{-})}{Δ l_{m}} \end{matrix}

ただし，

Δ l_{m}

は

m

番目の導体素子の長さ，

m

はその導体素子の中心，

m_{\pm}

はおよび両端の位置に各々対応する．これより，

m

番目の微小導体中心における値は次のようになる．

\begin{array}{rcl} (13) & - E_{i, l} (m) & ≃ & - j ω A_{l} (m) - \frac{Φ (m_{+}) - Φ (m_{-})}{Δ l_{m}} on (m 番目の素子) \\ (14) & A (m) & ≃ & μ \sum_{n} I (n) \int_{Δ l_{n}} G_{0} (r_{m}, r_{n}) d l_{n} \end{array}

m

番目の微小導体の両端

m_{\pm}

において，

\begin{matrix} (15) & Φ (m_{\pm}) ≃ \frac{1}{ϵ} \sum_{n} σ (n_{\pm}) \int_{Δ l_{n \pm}} G_{0} (r_{m \pm}, r_{n \pm}) d l_{n \pm} \end{matrix}

ここで，

n

番目の微小導体の両端

n_{\pm}

の電荷密度

σ (n_{\pm})

は，式

(9)

を差分近似して，

\begin{matrix} (16) & σ (n_{+}) ≃ - \frac{1}{j ω} \frac{I (n + 1) - I (n)}{Δ l_{n +}} \\ (17) & σ (n_{-}) ≃ - \frac{1}{j ω} \frac{I (n) - I (n - 1)}{Δ l_{n -}} \end{matrix}

　まず，次の積分を実行しよう．

\begin{matrix} (18) & ψ (n, m) \equiv \frac{1}{Δ l_{n}} \int_{Δ l_{n}} G_{0} (r_{m}, r_{n}) d l_{n} \end{matrix}

ここで，

n

番目の微小素子の中心を原点，素子の軸方向を

z

軸にとるローカルな円筒座標系

(ρ, ϕ, z)

を考えると，位置ベクトル

r_{n}

の点の座標は

(0, 0, z)

となる．一方，

m

番目の微小素子の

r_{m}

（観測点）の座標を

(ρ_{m}, ϕ_{m}, z_{m})

とすると，

m \neq n

のとき，

\begin{array}{rcl} R_{m} & = & | r_{m} - r_{n} | \\ = & \sqrt{ρ_{m}^{2} + (z_{m} - z)^{2}} \\ (19) & = & \sqrt{ρ_{m}^{2} + z_{m}^{2} - 2 z_{m} z + z^{2}} \end{array}

ここで，原点から

r_{m}

までの距離を

R_{0 m}

とおくと，

\begin{matrix} (20) & R_{0 m} = \sqrt{ρ_{m}^{2} + z_{m}^{2}} \end{matrix}

より，

\begin{array}{rcl} R_{m} & = & \sqrt{R_{0 m}^{2} - 2 z_{m} z + z^{2}} \\ = & R_{0 m} \sqrt{1 + \frac{- 2 z_{m} z + z^{2}}{R_{0 m}^{2}}} \\ ≃ & R_{0 m} (1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 z_{m} z}{R_{0 m}^{2}}) \\ (21) & = & R_{0 m} - \frac{z_{m}}{R_{0 m}} z \end{array}

これより，

\begin{array}{rcl} ψ (n, m) & = & \frac{1}{Δ l_{n}} \int_{Δ l_{n}} \frac{e^{- j k R_{m}}}{4 π R_{m}} d z \\ (22) & ≃ & \frac{1}{Δ l_{n}} \frac{e^{- j k R_{0 m}}}{4 π R_{0 m}} \int_{Δ l_{n}} e^{j k \frac{z_{m}}{R_{0 m}} z} d z \end{array}

積分項について，

\begin{array}{rcl} \int_{Δ l_{n}} e^{j k \frac{z_{m}}{R_{0 m}} z} d z & = & {[\frac{e^{j k \frac{z_{m}}{R_{0 m}} z}}{j k \frac{z_{m}}{R_{0 m}}}]}_{z = - \frac{Δ l_{n}}{2}}^{\frac{Δ l_{n}}{2}} \\ = & \frac{1}{j k \frac{z_{m}}{R_{0 m}}} (e^{j k \frac{z_{m}}{R_{0 m}} \frac{Δ l_{n}}{2}} - e^{- j k \frac{z_{m}}{R_{0 m}} \frac{Δ l_{n}}{2}}) \\ (23) & = & Δ l_{n} \frac{\sin (k \frac{z_{m}}{R_{0 m}} \frac{Δ l_{n}}{2})}{k \frac{z_{m}}{R_{0 m}} \frac{Δ l_{n}}{2}} \end{array}

よって，

\begin{array}{rcl} ψ (n, m) & ≃ & \frac{e^{- j k R_{0 m}}}{4 π R_{0 m}} \frac{\sin (k \frac{z_{m}}{R_{0 m}} \frac{Δ l_{n}}{2})}{k \frac{z_{m}}{R_{0 m}} \frac{Δ l_{n}}{2}} \\ (24) & ≃ & \frac{e^{- j k R_{0 m}}}{4 π R_{0 m}} (m \neq n) \end{array}

　次に，

m = n

のとき，

(ρ_{m}, ϕ_{m}, z_{m}) = (a, ϕ_{n}, 0)

．また，

R_{n} = \sqrt{a^{2} + z^{2}}

のとき，

\begin{matrix} (25) & e^{- j k R_{n}} ≃ 1 - j k R_{n} \end{matrix}

で近似すると，

\begin{array}{rcl} ψ (n, n) & = & \frac{1}{Δ l_{n}} \int_{Δ l_{n}} \frac{e^{- j k R_{n}}}{4 π R_{n}} d z \\ = & \frac{1}{4 π Δ l_{n}} \int_{Δ l_{n}} \frac{1 - j k R_{n}}{R_{n}} d z \\ (26) & = & \frac{1}{4 π Δ l_{n}} (\int_{Δ l_{n}} \frac{d z}{R_{n}} - j k \int_{Δ l_{n}} d z) \end{array}

上式の第1項の積分は，

Δ_{n} ≫ a

のとき，

\begin{array}{rcl} \int_{Δ l_{n}} \frac{d z}{R_{n}} & = & \int_{- \frac{Δ l_{n}}{2}}^{\frac{Δ l_{n}}{2}} \frac{d z}{\sqrt{a^{2} + z^{2}}} \\ = & [\log | z + \sqrt{z^{2} + a^{2}} |]_{- \frac{Δ l_{n}}{2}}^{\frac{Δ l_{n}}{2}} \\ = & 2 \log | \frac{Δ l_{n}}{2 a} + \sqrt{{(\frac{Δ l_{n}}{2 a})}^{2} + 1} | \\ (27) & ≃ & 2 \log (\frac{Δ l_{n}}{a}) \end{array}

よって，

\begin{array}{rcl} ψ (n, n) & ≃ & \frac{1}{4 π Δ l_{n}} {2 \log (\frac{Δ l_{n}}{a}) - j k Δ l_{n}} \\ (28) & = & \frac{\log (\frac{Δ l_{n}}{a})}{2 π Δ l_{n}} - \frac{j k}{4 π} \end{array}

　また，

\begin{array}{rcl} Φ (m_{+}) & ≃ & \frac{1}{ϵ} \sum_{n} {- \frac{1}{j ω} \frac{I (n + 1) - I (n)}{Δ l_{n +}}} \int_{Δ l_{n +}} G_{0} (r_{m +}, r_{n +}) d l_{n +} \\ = & - \frac{1}{j ω ϵ} \sum_{n = 1}^{N} {I (n + 1) - I (n)} ψ (n_{+}, m_{+}) \\ = & - \frac{1}{j ω ϵ} \sum_{n = 1}^{N} {I (n) ψ ((n - 1)_{+}, m_{+}) - I (n) ψ (n_{+}, m_{+})} \\ (29) & = & \frac{1}{j ω ϵ} \sum_{n = 1}^{N} I (n) {- ψ (n_{-}, m_{+}) + ψ (n_{+}, m_{+})} \end{array}

同様にして，

\begin{matrix} (30) & Φ (m_{-}) ≃ \frac{1}{j ω ϵ} \sum_{n = 1}^{N} I (n) {- ψ (n_{-}, m_{-}) + ψ (n_{+}, m_{-})} \end{matrix}

また，

\begin{array}{rcl} A (m) & ≃ & μ \sum_{n} I (n) u_{l, n} \int_{Δ l_{n}} G_{0} (r_{m}, r_{n}) d l_{n} \\ (31) & = & μ \sum_{n} I (n) Δ l_{n} ψ (n, m) \end{array}

ただし，

Δ l_{n} \equiv Δ l_{n} u_{l, n}

．これより，

A (m)

の素子に沿う成分

A_{l} (m)

は，

\begin{matrix} (32) & A_{l} (m) = μ \sum_{n} I (n) Δ l_{n} \cdot u_{l, m} ψ (n, m) \end{matrix}

よって，式

(13)

に代入すると，

\begin{array}{rcl} E_{i, l} (m) & = & \frac{1}{Δ l_{m}} \sum_{n} [j ω μ Δ l_{n} \cdot Δ l_{m} ψ (n, m) \\ + \frac{1}{j ω ϵ} {ψ (n_{+}, m_{+}) - ψ (n_{-}, m_{+}) \\ (33) & - ψ (n_{+}, m_{-}) + ψ (n_{-}, m_{-})}] I (n) \end{array}

ここで，

\begin{array}{rcl} (34) & V_{m} & \equiv & E_{i, l} (m) Δ l_{m} \\ z_{m n} & \equiv & j ω μ Δ l_{n} \cdot Δ l_{m} ψ (n, m) \\ + \frac{1}{j ω ϵ} {ψ (n_{+}, m_{+}) - ψ (n_{-}, m_{+}) \\ (35) & - ψ (n_{+}, m_{-}) + ψ (n_{-}, m_{-})} \end{array}

とおくと，

\begin{matrix} (36) & V_{m} = \sum_{n} z_{m n} I (n) (m = 1, 2, \dots) \end{matrix}

行列表示すると，

\begin{matrix} (37) & V = [Z] I \end{matrix}

よって，

\begin{matrix} (38) & I = [Z]^{- 1} V = [Y] V \end{matrix}

ただし，

\begin{matrix} (39) & [Y] = [Z]^{- 1} \end{matrix}

5.4 線状導体の散乱問題（点整合法）

差分近似

5.4　線状導体の散乱問題（点整合法）