5.3 グリーン関数
逆作用素
逆作用素$L^{-1}$は，グリーン関数を用いて次のようにして求めることができる．
\begin{gather}
f = L^{-1} (g) = \int G(x,x') g(x') dx'
\end{gather}
グリーン関数の導出例
変域 $0 \le x \le 1$ において定義される$f(x)$に関する境界値問題
\begin{gather}
- \frac{d^2f}{dx^2} = 1+4x^2
\\
f(0) = f(1) = 0
\end{gather}
において，グリーン関数を求めてみよう．まず，グリーン関数$G(x,x')$満たすべき方程式は，
\begin{gather}
- \frac{d^2G(x,x')}{dx^2} = \delta(x-x')
\label{eq:G_delta}
\end{gather}
このとき，グリーン関数の境界条件は次のようになる．
\begin{gather}
G(0,x') = G(1,x') = 0
\end{gather}
いま，$x \ne x'$の場合を考えると，$0 \ge x \gt x'$，$x' \gt x \ge 1$のとき，
\begin{gather}
- \frac{d^2G(x,x')}{dx^2} = 0
\end{gather}
両辺を$x$で不定積分すると，
\begin{gather}
\int - \frac{d^2G(x,x')}{dx^2} dx = - \frac{dG(x,x')}{dx} = K_1
\end{gather}
ただし，$K_1$は積分定数を示す．さらに，$x$で不定積分すると，
\begin{gather}
\int - \frac{dG(x,x')}{dx} dx = -G(x,x') = K_1 x + K_2
\end{gather}
ただし，$K_1$は積分定数を示す．これより，
\begin{gather}
G(x,x') = \left\{
\begin {array}{ll}
C_1 x + C_2 & (0 \ge x \gt x') \\
C_1' x + C_2' & (x' \gt x \ge 1)
\end{array} \right.
\end{gather}
ただし，$C_1$，$C_2$，$C_1'$，$C_2'$は定数である．
境界条件より，
\begin{align}
&G(0,x') = C_2 = 0
\\
&G(1,x') = C_1' + C_2' = 0, \ \ \ \ \
\therefore C_2' = -C_1'
\end{align}
よって，
\begin{gather}
G(x,x') = \left\{
\begin {array}{ll}
C_1 x & (0 \ge x \gt x') \\
C_1' (x-1) & (x' \gt x \ge 1)
\end{array} \right.
\end{gather}
$x=x'$におけるグリーン関数の連続条件より，
\begin{gather}
C_1 x' = C_1' (x'-1)
\label{eq:C_eq1}
\end{gather}
また，式\eqref{eq:G_delta}の両辺を $x=x'$ 近傍で積分すると，
$\tau \ll 1$ として，
\begin{gather}
\int_{x'-\tau}^{x+\tau} - \frac{d^2G(x,x')}{dx^2} dx
= \int \delta(x-x') dx
\nonumber \\
-\left[ \frac{dG(x,x')}{dx} \right]_{x'-\tau}^{x+\tau} = 1
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
\frac{dG(x,x')}{dx} = \left\{
\begin {array}{ll}
C_1 & (0 \ge x \gt x') \\
C_1'& (x' \gt x \ge 1)
\end{array} \right.
\end{gather}
ゆえ，
\begin{gather}
C_1' - C_1 = -1 \ \ \ \ \
\therefore C_1 = C_1'+1
\label{eq:C_eq2}
\end{gather}
式\eqref{eq:C_eq1}$-x' \times$式\eqref{eq:C_eq2}より，
\begin{gather}
C_1' = -x'
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
C_1 = -x'+1
\end{gather}
よって，グリーン関数$G(x,x')$は，
\begin{gather}
G(x,x') = \left\{
\begin {array}{ll}
x(1-x') & (0 \ge x \gt x') \\
(1-x)x' & (x' \gt x \ge 1)
\end{array} \right.
\end{gather}