【例題】 変域 $0 \le x \le 1$ において定義される$f(x)$に関する境界値問題 \begin{gather} - \frac{d^2f}{dx^2} = 1+4x^2 \\ f(0) = f(1) = 0 \end{gather} において，(a) 解析的な解，(b) ガラーキン法を用いた場合のモーメント法のマトリクス方程式を求めよ．
略解(a) 与式の両辺を$x$で不定積分すると， \begin{align} &\int -\frac{d^2f}{dx^2} dx = \int (1+4x^2) dx \nonumber \\ &\therefore -\frac{df}{dx} = x + \frac{4}{3} x^3 + C_1 \end{align} ただし，$C_1$は積分定数を示す． さらに，上式の両辺を$x$で不定積分すると， \begin{align} &\int -\frac{df}{dx} dx = \int \left( x + \frac{4}{3} x^3 + C_1 \right) dx \nonumber \\ &\therefore f(x) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{3} - C_1 x - C_2 \end{align} ただし，$C_1$は積分定数を示す．$C_1$，$C_2$は境界条件より決定され， \begin{align} &f(0) = -C_2 = 0 \\ &f(1) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - C_1 = 0 \end{align} これより， \begin{align} &C_1 = -\frac{5}{6} \\ &C_2 = 0 \end{align} よって， \begin{gather} f(x) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{3} + \frac{5}{6} x \end{gather} 略解(b) まず，境界条件を満足する基底関数$f_n$ \begin{gather} f_n = x-x^{n+1} \end{gather} を考え，解くべき未知関数$f$の近似値を次のように展開して表す． \begin{gather} \bar{f} = \sum_{n=1}^N a_n f_n = \sum_{n=1}^N a_n (x-x^{n+1}) \end{gather} ガラーキン法より，試行関数$w_m$は， \begin{gather} w_m = f_m = x-x^{m+1} = x(1-x^m) \end{gather} よって，ガラーキン法を用いたマトリクス方程式は， \begin{gather} [Z] \VECi{a} = \VECi{b} \end{gather} ここで，$[Z]$は$N \times N$正方行列で， \begin{eqnarray} [Z] &=& \begin{pmatrix} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1N} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2N} \\ \vdots & \vdots & & \\ z_{N1} & z_{N2} & \cdots & z_{NN} \\ \end{pmatrix} \nonumber \\ &=& \begin{pmatrix} \langle f_1, Lf_1 \rangle & \langle f_1, Lf_2 \rangle & \cdots & \langle f_1, Lf_N \rangle \\ \langle f_2, Lf_1 \rangle & \langle f_2, Lf_2 \rangle & \cdots & \langle f_2, Lf_N \rangle \\ \vdots & \vdots & & \\ \langle f_N, Lf_1 \rangle & \langle f_N, Lf_2 \rangle & \cdots & \langle f_N, Lf_N \rangle \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray} また，列ベクトル$\VECi{a}$，$\VECi{b}$は， \begin{gather} g(x) = 1+4x^2 \end{gather} とおくと， \begin{gather} \VECi{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ \VECi{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle f_1, g \rangle \\ \langle f_2, g \rangle \\ \vdots \\ \langle f_N, g \rangle \end{pmatrix} \end{gather} これより，行列$[Z]$の要素$z_{mn}$は， \begin{gather} z_{mn} = \langle f_m, Lf_n \rangle = \int_0^1 f_m \left( -\frac{d^2f_n}{dx^2} \right) dx \end{gather} ここで， \begin{align} &f_m = x-x^{m+1} \\ &\frac{df_n}{dx} = \frac{d}{dx} \left( x-x^{n+1} \right) = 1-(n+1) x^n \\ &\frac{d^2f_n}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left\{ 1-(n+1)x^n \right\} = -n(n+1)x^{n-1} \end{align} より， \begin{eqnarray} z_{mn} &=& \int_0^1 \left( x-x^{m+1} \right) n(n+1)x^{n-1} dx \nonumber \\ &=& n(n+1) \int_0^1 \left( x^n-x^{m+n} \right) dx \nonumber \\ &=& n(n+1) \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{m+n+1}}{m+n+1} \right]_0^1 \nonumber \\ &=& n(n+1) \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{m+n+1} \right) \nonumber \\ &=& \frac{mn}{m+n+1} \end{eqnarray} また，列ベクトルの要素$b_m$は， \begin{eqnarray} b_m &=& \langle f_m, g \rangle \nonumber \\ &=& \int_0^1 f_m g dx \nonumber \\ &=& \int_0^1 \left( x-x^{m+1} \right) \left( 1+4x^2 \right) dx \nonumber \\ &=& \int_0^1 \left( x + 4x^3 - x^{n+1} - 4 x^{m+3} \right) dx \nonumber \\ &=& \left[ \frac{x^2}{2} + x^4 - \frac{x^{m+2}}{m+2} - \frac{4x^{m+4}}{m+4} \right]_0^1 \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} +1 - \frac{1}{m+2} - \frac{4}{m+4} \nonumber \\ &=& \frac{m(3m+8)}{2(m+2)(m+4)} \end{eqnarray}