1.11 電磁界の積分表示式について
ベクトルポテンシャルを基にした電磁界の積分表示式の導出
ベクトルポテンシャル $\VEC{A}$ を用いると電界 $\VEC{E}$ は次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{E}(\VEC{r})
= -j \omega \left( \VEC{A}(\VEC{r}) + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \VEC{A}(\VEC{r}) \right)
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
\VEC{A}(\VEC{r}) = \mu \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J}(\VEC{r}') dV'
\end{gather}
これより，$\VEC{A}$ を消去すると，
\begin{gather}
\VEC{E}(\VEC{r})
= -j \omega \mu \left( \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J}(\VEC{r}') dV'
+ \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J}(\VEC{r}') dV' \right)
\end{gather}
積分表示式の変形
上式の第2項の積分を $\VEC{I}_2(\VEC{r})$ とおき，若干の変形を行う．
\begin{gather}
\VEC{I}_2(\VEC{r}) \equiv \nabla \nabla \cdot \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J}(\VEC{r}') dV'
= \nabla \iiint _V \nabla \cdot \big( G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J}(\VEC{r}') \big) dV'
\end{gather}
ベクトル公式より，
\begin{gather}
\nabla \cdot \big( G \VEC{J} \big) = \VEC{J} \cdot \nabla G + G \big( \nabla \cdot \VEC{J} \big)
\end{gather}
上式の $\nabla $ は $\VEC{r}$ に関する微分であるため，第2項はゼロである．よって，
\begin{gather}
\VEC{I}_2(\VEC{r}) = \nabla \iiint _V \VEC{J}(\VEC{r}') \cdot \nabla G(\VEC{r},\VEC{r}') dV'
\end{gather}
グリーン関数の対称性を考慮すると，
\begin{gather}
\nabla G(\VEC{r},\VEC{r}') = -\nabla ' G(\VEC{r},\VEC{r}')
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
\VEC{I}_2(\VEC{r}) = -\nabla \iiint _V \VEC{J}(\VEC{r}') \cdot \nabla ' G(\VEC{r},\VEC{r}') dV'
\end{gather}
また，ベクトル公式より，
\begin{gather}
\nabla ' \cdot \big( G \VEC{J} \big) = \VEC{J} \cdot \nabla ' G + G \big( \nabla ' \cdot \VEC{J} \big)
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
\VEC{I}_2(\VEC{r})
&=& -\nabla \iiint _V \Big\{ \nabla '\cdot \big( G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J}(\VEC{r}') \big)
- G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') \Big\} dV'
\nonumber \\
&=& -\nabla \oiint _S G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J}(\VEC{r}') \cdot d\VEC{S}'
+ \nabla \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') dV'
\end{eqnarray}
電流源 $\VEC{J}$ は領域 $V$ 内部にあり面 $S$ 上には存在しないため，上式の第1項はゼロ．さらに，
\begin{eqnarray}
\VEC{I}_2(\VEC{r})
&=& \nabla \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') dV'
\nonumber \\
&=& \iiint _V \big( \nabla G(\VEC{r},\VEC{r}') \big) \big( \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') \big) dV'
\nonumber \\
&=& - \iiint _V \big( \nabla ' G(\VEC{r},\VEC{r}') \big) \big( \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') \big) dV'
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
\nabla ' \big( G \nabla ' \cdot \VEC{J} \big)
= \big( \nabla ' G \big) \big( \nabla ' \cdot \VEC{J} \big) + G \nabla ' \big( \nabla ' \cdot \VEC{J} \big)
\end{gather}
より，
\begin{gather}
\VEC{I}_2(\VEC{r})
= \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ' \big( \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') \big) dV'
- \iiint _V \nabla ' \big( G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') \big) dV'
\end{gather}
いま，任意の定ベクトルを $\VEC{a}$ とおくと，発散定理は，
\begin{gather}
\iiint _V \nabla \cdot \big( f\VEC{a} \big) dV = \oiint _S f \VEC{a} \cdot d\VEC{S} \nonumber \\
\VEC{a} \cdot \iiint _V \nabla f \ dV = \VEC{a} \cdot \oiint _S f \ d\VEC{S}
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
\iiint _V \nabla f \ dV = \oiint _S f \ d\VEC{S}
\end{gather}
が得られ，これを用いると，
\begin{gather}
\VEC{I}_2(\VEC{r})
= \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ' \big( \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') \big) dV'
- \oiint _S G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') d\VEC{S}'
\end{gather}
電流源 $\VEC{J}$ は領域 $V$ 内部にあって，面 $S$ 上には存在しないため，上式の第2項はゼロである．したがって，
\begin{gather}
\VEC{I}_2(\VEC{r})
= \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ' \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') dV'
\end{gather}
これより，電界 $\VEC{E}$ は，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}(\VEC{r})
&=& -j \omega \mu \left( \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J}(\VEC{r}') dV' \right.
\nonumber \\
&&\left. + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J}(\VEC{r}') dV' \right)
\nonumber \\
&=& -j \omega \mu \left( \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J}(\VEC{r}') dV' \right.
\nonumber \\
&&\left. + \frac{1}{k^2} \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ' \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') dV' \right)
\end{eqnarray}
これは，グリーンの第二定理を基にした電磁界の積分表示式と一致する．