1.10 グリーンの第二定理を基にした電磁界の積分表示式の導出
グリーンの定理
スカラー $\Phi$，ベクトル $\VEC{a}$ について，次のようなベクトルの発散に関する関係式がある．
\begin{gather}
\nabla \cdot ( \Phi \VEC{a} ) = ( \nabla \Phi ) \cdot \VEC{a} + \Phi \nabla \cdot \VEC{a}
\end{gather}
いま，ベクトル $\VEC{a}$ の代わりに $\nabla \Psi$ を考えると，
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot ( \Phi \nabla \Psi )
&=& (\nabla \Phi ) \cdot ( \nabla \Psi ) + \Phi \nabla \cdot (\nabla \Psi )
\nonumber \\
&=& (\nabla \Phi ) \cdot ( \nabla \Psi ) + \Phi \nabla ^2 \Psi
\end{eqnarray}
上式の両辺を体積積分すると次のようになる．
\begin{gather}
\iiint _V \nabla \cdot ( \Phi \nabla \Psi ) \ dV
= \iiint _V \left( \Phi \nabla ^2 \Psi + \nabla \Phi \cdot \nabla \Psi \right) \ dV
\end{gather}
ガウスの発散定理を用いて上式の左辺を面積分で表すと，
\begin{gather}
\oiint _S ( \Phi \nabla \Psi ) \cdot \VEC{n} \ dS
= \iiint _V \left( \Phi \nabla ^2 \Psi + \nabla \Phi \cdot \nabla \Psi \right) \ dV
\end{gather}
上式の左辺の被積分関数は（$\nabla _t$は２次元の$\nabla$），
\begin{gather}
( \Phi \nabla \Psi ) \cdot \VEC{n} = \Phi ( \nabla \Psi ) \cdot \VEC{n}
= \Phi \left( \nabla _t \Psi + \frac{\partial \Psi}{\partial n} \ \VEC{n} \right) \cdot \VEC{n}
= \Phi \ \frac{\partial \Psi}{\partial n}
\end{gather}
と変形できるので，次式が得られる（右辺と左辺は交換している）．
\begin{gather}
\iiint _V \left( \Phi \nabla ^2 \Psi + \nabla \Phi \cdot \nabla \Psi \right) \ dV
= \oiint _S \Phi \ \frac{\partial \Psi}{\partial n} \ dS
\end{gather}
これをグリーンの第一定理という．この式の
$\Phi$ と
$\Psi$ を交換すると，
\begin{gather}
\iiint _V \left( \Psi \nabla ^2 \Phi + \nabla \Psi \cdot \nabla \Phi \right) \ dV
= \oiint _S \Psi \ \frac{\partial \Phi}{\partial n} \ dS
\end{gather}
となり，両者を辺々引くと，次式が得られる．
\begin{gather}
\iiint _V \left( \Phi \nabla ^2 \Psi - \Psi \nabla ^2 \Phi \right) \ dV
= \oiint _S \left( \Phi \ \frac{\partial \Psi}{\partial n}
- \Psi \ \frac{\partial \Phi}{\partial n} \right) \ dS
\end{gather}
これはグリーンの第二定理である．
電流源による電磁界の積分表示式
電流源 $\VEC{J}$ および電荷 $\rho$ に対するMaxwellの方程式は，
\begin{align}
&\nabla \times \VEC{E} = - j\omega \mu \VEC{H} \label{eq:mmax1} \\
&\nabla \times \VEC{H} = \VEC{J} + j\omega \epsilon \VEC{E} \label{eq:mmax2} \\
&\nabla \cdot \VEC{H} = 0 \label{eq:mmax3} \\
&\nabla \cdot \VEC{E} = \frac{\rho}{\epsilon} \label{eq:mmax4} \\
&\nabla \cdot \VEC{J} = - j\omega \rho \label{eq:ccotn-j}
\end{align}
式\eqref{eq:mmax1}において回転を求め，式\eqref{eq:mmax2}を代入すると，
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \VEC{E} = - j\omega \mu \nabla \times \VEC{H}
= - j\omega \mu ( \VEC{J} + j\omega \epsilon \VEC{E} )
\end{gather}
ここで，ベクトル公式
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \VEC{a} = \nabla (\nabla \cdot \VEC{a})- \nabla ^2 \VEC{a}
\end{gather}
を用いると，
\begin{gather}
\nabla (\nabla \cdot \VEC{E})- \nabla ^2 \VEC{E}
= - j\omega \mu \VEC{J} + k^2 \VEC{E}
\end{gather}
式\eqref{eq:mmax4}のガウスの定理より，
\begin{gather}
\nabla \left( \frac{\rho}{\epsilon} \right) - \nabla ^2 \VEC{E}
= - j\omega \mu \VEC{J} + k^2 \VEC{E}
\end{gather}
さらに，連続の式\eqref{eq:ccotn-j}より，
\begin{gather}
\nabla \left( \frac{\nabla \cdot \VEC{J}}{-j\omega \epsilon} \right) - \nabla ^2 \VEC{E}
= - j\omega \mu \VEC{J} + k^2 \VEC{E}
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
\nabla ^2 \VEC{E} + k^2 \VEC{E}
&=& j\omega \mu \VEC{J} - \frac{1}{j\omega \epsilon} \nabla ( \nabla \cdot \VEC{J} )
\nonumber \\
&=& j\omega \mu \left( \VEC{J} +\frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \VEC{J} \right)
\end{eqnarray}
いま，
\begin{eqnarray}
\VEC{E} &=& E_x \VEC{u}_x + E_y \VEC{u}_y + E_z \VEC{u}_z
\\
\VEC{J} &=& J_x \VEC{u}_x + J_y \VEC{u}_y + J_z \VEC{u}_z
\end{eqnarray}
とおき，$x$成分について表すと，
\begin{gather}
\nabla ^2 E_x + k^2 E_x
= j\omega \mu \left( J_x +\frac{1}{k^2} \frac{\partial }{\partial x} (\nabla \cdot \VEC{J}) \right)
\label{eq:Exk2Ex}
\end{gather}
一方，次式で定義されるグリーン関数 $G(\VEC{r},\VEC{r}')$ を考える．
\begin{gather}
\nabla ^2 G(\VEC{r},\VEC{r}') + k^2 G(\VEC{r},\VEC{r}') = -\delta (\VEC{r}-\VEC{r}')
\label{eq:Gk2G}
\end{gather}
グリーンの第二定理より，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \Big( G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ^2 E_x (\VEC{r}) - E_x (\VEC{r}) \nabla ^2 G(\VEC{r},\VEC{r}') \Big) dV
\nonumber \\
&=& \oiint _S \left( G(\VEC{r},\VEC{r}') \frac{\partial E_x (\VEC{r})}{\partial n}
- E_x (\VEC{r}) \frac{\partial G(\VEC{r},\VEC{r}')}{\partial n} \right) dS
\end{eqnarray}
上式左辺に式\eqref{eq:Exk2Ex}および式\eqref{eq:Gk2G}を代入する．そして，積分領域を十分大きくとると，右辺の面$S$での被積分関数はゼロになるので，
\begin{eqnarray}
&&\iiint _V \Big[ G(\VEC{r},\VEC{r}')
\left\{ j\omega \mu \left( J_x (\VEC{r})
+\frac{1}{k^2} \frac{\partial }{\partial x} \big( \nabla \cdot \VEC{J}(\VEC{r}) \big) \right)
- k^2 E_x(\VEC{r}) \right\}
\nonumber \\
&&- E_x (\VEC{r}) \Big( -\delta (\VEC{r}-\VEC{r}') - k^2 G(\VEC{r},\VEC{r}') \Big) \Big] dV
= 0
\end{eqnarray}
よって，デルタ関数の性質より，
\begin{gather}
E_x (\VEC{r}')
= -j\omega \mu \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}')
\left( J_x (\VEC{r}) +\frac{1}{k^2} \frac{\partial }{\partial x} \big( \nabla \cdot \VEC{J}(\VEC{r}) \big) \right) dV
\end{gather}
さらに，グリーン関数の対称性
\begin{gather}
G(\VEC{r},\VEC{r}') = G(\VEC{r}',\VEC{r})
\end{gather}
を用い，また，$\VEC{r}$，$\VEC{r}'$ を入れ換えると，次式を得る．
\begin{gather}
E_x (\VEC{r})
= -j\omega \mu \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}')
\left( J_x (\VEC{r}') +\frac{1}{k^2} \frac{\partial }{\partial x'} \big( \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') \big) \right) dV'
\end{gather}
同様にして，$y$ 成分，$z$ 成分の式が得られ，
\begin{gather}
E_y (\VEC{r})
= -j\omega \mu \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}')
\left( J_y (\VEC{r}') +\frac{1}{k^2} \frac{\partial }{\partial y'} \big( \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') \big) \right) dV'
\\
E_z (\VEC{r})
= -j\omega \mu \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}')
\left( J_z (\VEC{r}') +\frac{1}{k^2} \frac{\partial }{\partial z'} \big( \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') \big) \right) dV'
\end{gather}
したがって，ベクトル表示は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E} (\VEC{r})
&=& -j\omega \mu \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}')
\left( \VEC{J} (\VEC{r}') +\frac{1}{k^2} \nabla ' \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') \right) dV'
\nonumber \\
&=& -j\omega \mu \left( \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J} (\VEC{r}') dV' \right.
\nonumber \\
&&\left. + \frac{1}{k^2} \iiint _V G(\VEC{r},\VEC{r}') \nabla ' \nabla ' \cdot \VEC{J}(\VEC{r}') dV' \right)
\end{eqnarray}