1.9 相反定理の応用
等価定理
まず，自由空間中に電磁流源 $\VEC{J}_i$，$\VEC{M}_i$ だけがある場合を考え，これによって生じる電磁界を $\VEC{E}_i$，$\VEC{H}_i$ とする．
自由空間中に電磁流源 $\VEC{J}_i$，$\VEC{M}_i$がある場合
次に，散乱体（領域$V$，面$S$）をおくと，散乱電磁界$\VEC{E}_s$，$\VEC{H}_s$が生じる．その結果得られる全電磁界を$\VEC{E}$，$\VEC{H}$とおくと，
\begin{gather}
\VEC{E} = \VEC{E}_i + \VEC{E}_s
\\
\VEC{H} = \VEC{H}_i + \VEC{H}_s
\end{gather}
由空間中に電磁流源$\VEC{J}_i$，$\VEC{M}_i$，散乱体がある場合
いま，散乱体の表面における電磁界$\VEC{E}$，$\VEC{H}$（on $S$）より
等価面電磁流源$\VEC{J}_s$，$\VEC{M}_s$を，
\begin{gather}
\VEC{J}_s = \VEC{n} \times \VEC{H}
\\
\VEC{M}_s = -\VEC{n} \times \VEC{E}
\end{gather}
で定義し，
散乱体のかわりに等価面電磁流$\VEC{J}_s$，$\VEC{M}_s$をおく（等価定理）．
散乱体のかわりに等価面電磁流$\VEC{J}_s$，$\VEC{M}_s$（等価定理）をおいた場合
そして，電磁流源$\VEC{J}_i$，$\VEC{M}_i$はそのままで，取り除いた散乱体の領域（$V$内部）の電磁界をゼロ，面$S$上には等価面電磁流源$\VEC{J}_s$，$\VEC{M}_s$をおくと，領域$V$の外側領域の電磁界は$\VEC{E}$，$\VEC{H}$となる．
これは，散乱体がある場合の問題を，電磁流源の問題に置き換えて扱おうというものである．
自由空間中に電磁流源$\VEC{J}_i$，$\VEC{M}_i$，散乱体のかわりにおいた等価面電磁流$\VEC{J}_s$，$\VEC{M}_s$がある場合
電磁流源がある場合の相反定理
さて，$\VEC{J}_i$，$\VEC{M}_i$，$\VEC{J}_s$，$\VEC{M}_s$によって生じる電磁界$\VEC{E}$，$\VEC{H}$とは独立に，
電磁流源$\VEC{J}_m$，$\VEC{M}_m$ によって生じる電磁界を$\VEC{E}_m$，$\VEC{H}_m$とする．ただし，$\VEC{J}_m$，$\VEC{M}_m$は領域$V$の内部にあたる領域にのみ分布しているものとする．これに相反定理を適用すると，
\begin{gather}
\iiint \left( \VEC{E} \cdot \VEC{J}_m - \VEC{H} \cdot \VEC{M}_m \right) dV
%\nonumber \\ \hspace{5mm}
= \iiint \left\{ \VEC{E}_m \cdot \left( \VEC{J}_i + \VEC{J}_s \right)
- \VEC{H}_m \cdot \left( \VEC{M}_i + \VEC{M}_s \right) \right\} dV
\end{gather}
自由空間中の領域$V$（散乱体の領域）に$\VEC{J}_m$，$\VEC{M}_m$（テストソース）をおいた場合
積分範囲は最初，全空間と考えてもよい．領域$V$では電磁界$\VEC{E}$，$\VEC{H}$がゼロ，一方外側には電磁流源$\VEC{J}_m$，$\VEC{M}_m$をおいていないため，上式の左辺はゼロである．よって，
\begin{gather}
\iiint \left\{ \VEC{E}_m \cdot \left( \VEC{J}_i + \VEC{J}_s \right)
- \VEC{H}_m \cdot \left( \VEC{M}_i + \VEC{M}_s \right) \right\} dV = 0
\end{gather}
電磁流源の分布している領域に積分範囲をとり，リアクションの形に変形すると，
\begin{gather}
\iiint _{V_i} \left( \VEC{E}_m \cdot \VEC{J}_i - \VEC{H}_m \cdot \VEC{M}_i \right) dV
+ \oiint _S \left( \VEC{E}_m \cdot \VEC{J}_s - \VEC{H}_m \cdot \VEC{M}_s \right) dS = 0
\end{gather}
あるいは，
\begin{gather}
[i,m]+[s,m] = 0
\end{gather}
一部，左辺に移項して，
\begin{gather}
- \iiint _{V_i} \left( \VEC{E}_m \cdot \VEC{J}_i - \VEC{H}_m \cdot \VEC{M}_i \right) dV
= \oiint _S \left( \VEC{E}_m \cdot \VEC{J}_s - \VEC{H}_m \cdot \VEC{M}_s \right) dS
\end{gather}
上式左辺は，与えられる電磁流源$\VEC{J}_i$，$\VEC{M}_i$（既知の励振条件）を含む積分，右辺は，散乱体表面の電磁流$\VEC{J}_s$，$\VEC{M}_s$（未知数）を含む積分である．
モーメント法では，左辺が励振項，右辺がインピーダンスマトリクスを含む計算に各々対応し，
$\VEC{E}_m$，$\VEC{H}_m$は試行関数に対応する．
磁流がない場合
磁流がない場合（$\VEC{M}_i =0$），$\VEC{M}_m = 0$とおいて，
\begin{gather}
\iiint _{V_i} \VEC{E}_m \cdot \VEC{J}_i dV + \oiint _S \VEC{E}_m \cdot \VEC{J}_s dS = 0
\end{gather}
ここで，$\VEC{J} = \VEC{J}_i + \VEC{J}_s$とおくと，
\begin{gather}
\iiint \VEC{E}_m \cdot \VEC{J} dV = 0
\end{gather}
これに相反定理を適用すると，次式が得られる．
\begin{gather}
\iiint \VEC{E}_m \cdot \VEC{J} dV = \iiint \VEC{E} \cdot \VEC{J}_m dV = 0
\end{gather}