相反定理の応用

1.9　相反定理の応用

等価定理

　まず，自由空間中に電磁流源

J_{i}

，

M_{i}

だけがある場合を考え，これによって生じる電磁界を

E_{i}

，

H_{i}

とする．

次に，散乱体（領域

V

，面

S

）をおくと，散乱電磁界

E_{s}

，

H_{s}

が生じる．その結果得られる全電磁界を

E

，

H

とおくと，

\begin{matrix} (1) & E = E_{i} + E_{s} \\ (2) & H = H_{i} + H_{s} \end{matrix}

いま，散乱体の表面における電磁界

E

，

H

（on

S

）より等価面電磁流源

J_{s}

，

M_{s}

を，

\begin{matrix} (3) & J_{s} = n \times H \\ (4) & M_{s} = - n \times E \end{matrix}

で定義し，散乱体のかわりに等価面電磁流

J_{s}

，

M_{s}

をおく（等価定理）．

散乱体のかわりに等価面電磁流 $J_{s}$ ， $M_{s}$ （等価定理）をおいた場合

そして，電磁流源

J_{i}

，

M_{i}

はそのままで，取り除いた散乱体の領域（

V

内部）の電磁界をゼロ，面

S

上には等価面電磁流源

J_{s}

，

M_{s}

をおくと，領域

V

の外側領域の電磁界は

E

，

H

となる．これは，散乱体がある場合の問題を，電磁流源の問題に置き換えて扱おうというものである．

自由空間中に電磁流源 $J_{i}$ ， $M_{i}$ ，散乱体のかわりにおいた等価面電磁流 $J_{s}$ ， $M_{s}$ がある場合

電磁流源がある場合の相反定理

　さて，

J_{i}

，

M_{i}

，

J_{s}

，

M_{s}

によって生じる電磁界

E

，

H

とは独立に，電磁流源

J_{m}

，

M_{m}

によって生じる電磁界を

E_{m}

，

H_{m}

とする．ただし，

J_{m}

，

M_{m}

は領域

V

の内部にあたる領域にのみ分布しているものとする．これに相反定理を適用すると，

\begin{matrix} (5) & ∭ (E \cdot J_{m} - H \cdot M_{m}) d V = ∭ {E_{m} \cdot (J_{i} + J_{s}) - H_{m} \cdot (M_{i} + M_{s})} d V \end{matrix}

自由空間中の領域 $V$ （散乱体の領域）に $J_{m}$ ， $M_{m}$ （テストソース）をおいた場合

積分範囲は最初，全空間と考えてもよい．領域

V

では電磁界

E

，

H

がゼロ，一方外側には電磁流源

J_{m}

，

M_{m}

をおいていないため，上式の左辺はゼロである．よって，

\begin{matrix} (6) & ∭ {E_{m} \cdot (J_{i} + J_{s}) - H_{m} \cdot (M_{i} + M_{s})} d V = 0 \end{matrix}

電磁流源の分布している領域に積分範囲をとり，リアクションの形に変形すると，

\begin{matrix} (7) & ∭_{V_{i}} (E_{m} \cdot J_{i} - H_{m} \cdot M_{i}) d V + \underset{S}{◯ \int \int} (E_{m} \cdot J_{s} - H_{m} \cdot M_{s}) d S = 0 \end{matrix}

あるいは，

\begin{matrix} (8) & [i, m] + [s, m] = 0 \end{matrix}

一部，左辺に移項して，

\begin{matrix} (9) & - ∭_{V_{i}} (E_{m} \cdot J_{i} - H_{m} \cdot M_{i}) d V = \underset{S}{◯ \int \int} (E_{m} \cdot J_{s} - H_{m} \cdot M_{s}) d S \end{matrix}

上式左辺は，与えられる電磁流源

J_{i}

，

M_{i}

（既知の励振条件）を含む積分，右辺は，散乱体表面の電磁流

J_{s}

，

M_{s}

（未知数）を含む積分である．モーメント法では，左辺が励振項，右辺がインピーダンスマトリクスを含む計算に各々対応し，

E_{m}

，

H_{m}

は試行関数に対応する．

磁流がない場合

　磁流がない場合（

M_{i} = 0

），

M_{m} = 0

とおいて，

\begin{matrix} (10) & ∭_{V_{i}} E_{m} \cdot J_{i} d V + \underset{S}{◯ \int \int} E_{m} \cdot J_{s} d S = 0 \end{matrix}

ここで，

J = J_{i} + J_{s}

とおくと，

\begin{matrix} (11) & ∭ E_{m} \cdot J d V = 0 \end{matrix}

これに相反定理を適用すると，次式が得られる．

\begin{matrix} (12) & ∭ E_{m} \cdot J d V = ∭ E \cdot J_{m} d V = 0 \end{matrix}

1.9 相反定理の応用

等価定理

電磁流源がある場合の相反定理

磁流がない場合

1.9　相反定理の応用