1.8 無限空間おける相反定理
ローレンツの相反定理
ローレンツの相反定理（Lorentz reciprocity theorem）の積分形より，
\begin{eqnarray}
&&\oiint _S ( \VEC{H}_a \times \VEC{E}_b - \VEC{H}_b \times \VEC{E}_a ) \cdot d\VEC{S}
\nonumber \\
&=& \iiint _V \left( \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a + \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b
- \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b - \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a \right) dV
\end{eqnarray}
領域 $V$ の表面 $S$ を電磁流源に対して遠方領域にとると，電界と磁界の関係は，
\begin{gather}
\VEC{H} = \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu}} \left( \VEC{s} \times \VEC{E} \right)
\end{gather}
で表されるから，面積分の被積分関数は，面 $S$ 上では次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{H}_a \times \VEC{E}_b - \VEC{H}_b \times \VEC{E}_a s
= \VEC{E}_a \times \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu}} \left( \VEC{s} \times \VEC{E}_b \right)
- \VEC{E}_b \times \sqrt{\frac{\epsilon }{\mu}} \left( \VEC{s} \times \VEC{E}_a \right)
\end{gather}
ここで，ベクトル公式
\begin{gather}
\VEC{a} \times ( \VEC{b} \times \VEC{c} )
= \VEC{b} ( \VEC{a} \cdot \VEC{c} ) - \VEC{c} ( \VEC{a} \cdot \VEC{b} )
\end{gather}
より，
\begin{eqnarray}
&&\VEC{E}_a \times \left( \VEC{s} \times \VEC{E}_b \right)
- \VEC{E}_b \times \left( \VEC{s} \times \VEC{E}_a \right)
\nonumber \\
&=& \VEC{s} ( \VEC{E}_a \cdot \VEC{E}_b ) - \VEC{E}_b ( \VEC{E}_a \cdot \VEC{s} )
- \VEC{s} ( \VEC{E}_b \cdot \VEC{E}_a ) + \VEC{E}_a ( \VEC{E}_b \cdot \VEC{s} )
\nonumber \\
&=& - \VEC{E}_b ( \VEC{E}_a \cdot \VEC{s} ) + \VEC{E}_a ( \VEC{E}_b \cdot \VEC{s} )
\nonumber \\
&=& 0
\end{eqnarray}
上式の最後の項では，$\VEC{E}_a$ および $\VEC{E}_b$ が $\VEC{s}$ に直交していることを用いている．よって，
\begin{gather}
\VEC{H}_a \times \VEC{E}_b - \VEC{H}_b \times \VEC{E}_a = 0 \ \ \ \ \ (\mbox{on} \ \ S)
\end{gather}
面積分して，
\begin{gather}
\oiint _S ( \VEC{H}_a \times \VEC{E}_b - \VEC{H}_b \times \VEC{E}_a ) \cdot d\VEC{S} = 0
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
\iiint _V \left( \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a + \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b
- \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b - \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a \right) dV = 0
\end{gather}
したがって，次式が得られる．
\begin{gather}
\iiint _V \left( \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b - \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b \right) dV
= \iiint _V \left( \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a - \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a \right) dV
\end{gather}
リアクション
上式左辺は，電磁界 $a$ の電磁流源に関する電磁界 $b$ のリアクション（reaction）と呼ばれ，次のように $[a ,b]$ によって表される．
\begin{gather}
[a,b]=\iiint _V \left( \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a - \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a \right) dV
\end{gather}
ただし，積分範囲 $V$ は $a$ の電磁流源を含む任意の領域を示し，この電磁流源の分布する領域
$V_a$ のみとしてもよい．同様にして，系 $b$ の電磁流源に関する電磁界 $a$ のリアクション $[b ,a]$ は，
\begin{gather}
[b,a]=\iiint _V \left( \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b - \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b \right) dV
\end{gather}
先に得られた結果より，両リアクションは等しい．
\begin{gather}
[b,a]=[a,b]
\end{gather}
このとき，積分範囲は電磁流源を含んでいればよいので，$V$ のかわりに $V_a + V_b$ としてもよい．