1.7 ハレンの積分方程式
十分細い円柱状完全導体（長さ $L$，半径 $a$）を1点給電（デルタギャップ間の電位 $V_0$）したダイポールアンテナの電流分布 $I_z(z)$ を求める方法として，
ハレンの積分方程式（Hallen's integral equation）があり，給電点を $z=0$ として中央給電（デルタギャップ間の電位 $V_0$）した場合，次のようになる．
\begin{gather}
\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} I_z (z') G_0(z',z) dz'
= C \cos kz -\frac{jV_0}{2\eta} \sin k |z|
\end{gather}
ただし，$\mu _0$ は自由空間の透磁率，
$G_0$ は自由空間の３次元グリーン関数，
$k$ は波数，
$\eta$ は自由空間の波動インピーダンスを示し，電流
$I_z$ は $z$ 軸方向に流れているものとする．
ハレンの積分方程式の導出
ハレンの積分方程式を導出しよう．まず，ベクトルポテンシャル $\VEC{A}$ は，
\begin{gather}
\VEC{A} = \mu_0 \iiint _V \VEC{J}(\VEC{r}') G_0(\VEC{r},\VEC{r}') dV'
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
G_0(\VEC{r},\VEC{r}') = \frac{e^{-jk |\VEC{r}-\VEC{r}'|}}{4\pi | \VEC{r}-\VEC{r}'|}
= \frac{e^{-jkR}}{4\pi R}
\end{gather}
ただし，$\VEC{J}$ は電流源，$G_0$ は自由空間の３次元グリーン関数，$\VEC{r}'$ は電流源の位置ベクトル，$\VEC{r}$ は観測点
$(\rho ,\phi, z)$ の位置ベクトルを示す．いま，円柱導体は十分細く，電流
$I_z$ が $z$ 軸方向のみに流れているものと考え，電流源 $\VEC{J}$ を次のようにおく．
\begin{gather}
\VEC{J} (\VEC{r}')= \frac{I_z(z')}{2\pi a} \VEC{u}_z
\end{gather}
ただし，$a$ は円筒の半径，$\VEC{u}_z$ は $z$ 軸方向の単位ベクトルを示す．これより，ベクトルポテンシャル
$\VEC{A}$ の $z$ 成分 $A_z$ の式を考えればよいことになり，
\begin{eqnarray}
A_z (\VEC{r})
&=& \mu _0 \int _{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \int _0^{2\pi}
\frac{I_z(z')}{2\pi a} \frac{e^{-jkR}}{4\pi R} a d\phi ' dz'
\nonumber \\
&=& \frac{\mu _0}{2\pi} \int _0^{2\pi} d\phi' \int _{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} I_z G_0 dz'
\nonumber \\
&=& \mu _0 \int _{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} I_z(z') G_0(R) dz'
\end{eqnarray}
ここで，位置ベクトルおよび座標成分のプライムは，電流源の位置に関する変数を示すものである．このとき，観測点の位置ベクトル $\VEC{r}$ は，
\begin{gather}
\VEC{r} = \rho \VEC{u}_\rho + z \VEC{u}_z
\end{gather}
一方，電流は円筒面上ではなく，$z$ 軸上を流れているものと近似すると，位置ベクトル $\VEC{r}'$ は，次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{r}' \simeq z' \VEC{u}_z
\end{gather}
これより，
\begin{align}
&\VEC{r} - \VEC{r}' \simeq \rho \VEC{u}_\rho + (z-z') \VEC{u}_z
\\
&|\VEC{r} - \VEC{r}' | \simeq \sqrt{\rho ^2 + (z-z')^2 } \equiv R
\end{align}
散乱電界 $\VEC{E}_s$ は，ベクトルポテンシャル $\VEC{A}=A_z (\rho,z) \VEC{u}_z$ より次のようになる．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_s
&=& -j\omega \left( A_z \VEC{u}_z + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot ( A_z \VEC{u}_z ) \right)
\nonumber \\
&=& -j\omega \left( A_z \VEC{u}_z + \frac{1}{k^2} \nabla \frac{\partial A_z}{\partial z} \right)
\end{eqnarray}
電界の $z$ 成分は，
\begin{gather}
\VEC{E}_s \cdot \VEC{u}_z = -j\omega \left( A_z + \frac{1}{k^2} \frac{\partial ^2A_z}{\partial z^2} \right)
\end{gather}
いま，ギャップ間隔 $\Delta z$ に電圧 $V_0$ が印加されているとすると，
電界 $E_i$（$z$ 成分）は，
\begin{gather}
E_i = \left\{
\begin {array}{cl}
\displaystyle{\frac{V_0}{\Delta z}} & (\mbox{給電ギャップ間}) \\
0 & (\mbox{otherwise})
\end{array} \right.
\end{gather}
境界条件より，円柱導体表面で全電界がゼロとなるので，
\begin{gather}
\VEC{E}_s \cdot \VEC{u}_z + E_i = 0 \ \ \ (\mbox{at} \ \ \rho = a)
\end{gather}
を解けばよい．
そこで，$z=0$ の給電点以外について考えると，
\begin{gather}
j\omega \left( A_z + \frac{1}{k^2} \frac{\partial ^2A_z}{\partial z^2} \right) = 0
\ \ \ \ \ (\mbox{給電ギャップ以外})
\end{gather}
これより，
- $z \gt 0$ のとき，$A_z = C_1 \cos k z + D_1 \sin k z$
- $z \lt 0$ のとき，$A_z = C_2 \cos k z + D_2 \sin k z$
ただし，$C_1$，$C_2$，$D_1$，$D_2$は未知係数である．まず，$A_z$が$z=0$で連続となるためには $C_1 = C_2$．また，$A_z$が$z$に関して対称であるためには $D_1 = -D_2$．よって，
- $z \gt 0$ のとき，$A_z = C_1 \cos k z + D_1 \sin k z$
- $z \lt 0$ のとき，$A_z = C_1 \cos k z - D_1 \sin k z$
これを
\begin{gather}
j\omega \left( A_z + \frac{1}{k^2} \frac{\partial ^2A_z}{\partial z^2} \right) = \frac{V_0}{\Delta z}
\ \ \ \ \ (\mbox{給電ギャップ間})
\end{gather}
に代入して，$z_0=0$ 近傍で積分すると$(1 \gg 2\delta \simeq \Delta z)$，
\begin{align}
&\int _{0-\delta}^{0+\delta} j\omega \left( A_z + \frac{1}{k^2} \frac{\partial ^2A_z}{\partial z^2} \right) dz
= \int _{0-\delta}^{0+\delta} \frac{V_0}{\Delta z} dz
\nonumber \\
&j\omega \int _{0-\delta}^{0+\delta} A_z dz
+ \frac{j\omega}{k^2} \left[ \frac{\partial A_z}{\partial z} \right] _{0-\delta}^{0+\delta}
= V_0
\end{align}
上式の左辺の第1項はゼロゆえ，
\begin{gather}
\frac{j\omega}{k^2} \Big( \frac{\partial A_z}{\partial z} \Big|_{z=0+\delta}
- \frac{\partial A_z}{\partial z} \Big|_{z=0-\delta} \Big) = V_0
\end{gather}
つまり，$A_z$ の導関数の不連続性が給電点の電位差に対応していることになる．
\begin{eqnarray}
\frac{k^2}{j\omega } V_0
&=& \Big[ -C_1 k \sin kz + D_1 k \cos kz \Big]_{z=0+\delta}
\nonumber \\
&&- \Big[ -C_1 k \sin kz - D_1 k \cos kz \Big]_{z=0-\delta}
\nonumber \\
&\simeq& D_1 k + D_1 k = 2 D_1 k
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
D_1 = \frac{V_0 k}{j2\omega}
= -j\frac{V_0}{2} \sqrt{\epsilon_0 \mu_0}
= -j V_0 \frac{\mu_0}{2 \eta}
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
k = \omega \sqrt{\epsilon _0 \mu _0}, \ \ \ \ \
\eta = \sqrt{\frac{\mu _0}{\epsilon _0}}
\end{gather}
したがって，ベクトルポテンシャル $A_z$ は，
\begin{eqnarray}
A_z
&=& \mu _0 \int _{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} I_z(z') G_0(R) dz'
\nonumber \\
&=& C_1 \cos k z + D_1 \sin k |z|
\nonumber \\
&=& C_1 \cos k z -j V_0 \frac{\mu_0}{2 \eta} \sin k |z|
\end{eqnarray}
両辺を $\mu_0$ で割って，$C\equiv C_1/\mu_0$ とおくと，次のハレンの積分方程式が得られる．
\begin{gather}
\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} I_z (z') G_0(z',z) dz'
= C \cos kz -\frac{jV_0}{2\eta} \sin k |z|
\end{gather}
これは，給電点を有する直線状のアンテナに対して定式化した初期の積分方程式の例である．導体線路の先端で電流がゼロになる条件を用いれば未知係数
$C$ を決定でき，未知電流
$I_z$ を解く問題となり，後述するモーメント法を用いて数値的に求めることができる．