1.4 自由空間のスカラー・グリーン関数
単位電流源
最も基本的な波源の一つである微少単位電流源を取り上げ，それによる放射を考える．いま，電流の向きに沿う単位ベクトルを
$\VEC{u}$ とすると，この単位電流源 $\VEC{J}$ は次式で表現できる．
\begin{gather}
\VEC{J} = \VEC{u} \delta (\VEC{r} - \VEC{r}')
\end{gather}
ただし，$\VEC{r}'$ は電流源のある点の位置ベクトル，$\VEC{r}$ は観測点の位置ベクトル，$\delta$
はディラック（Dirac）のデルタ関数（delta function）を示す．これより，非同次ベクトルヘルムホルツ方程式は，
\begin{gather}
(\nabla ^2 + k^2 ) \VEC{A} = -\mu \VEC{u} \delta (\VEC{r} - \VEC{r}')
\end{gather}
簡単のため，電流源を原点におくと $\VEC{r}'=0$，電流の向きを$z$軸方向にとると
$\VEC{u} = \VEC{u}_z$（$\VEC{u}_z$
は $z$ 軸方向の単位ベクトル）となり，電流源は
$\VEC{u}_z \delta (\VEC{r})$
で表される．ベクトルポテンシャル $\VEC{A}$ の $z$ 成分を $A_z$ とおくと，
\begin{gather}
(\nabla ^2 + k^2 ) A_z = -\mu \delta (\VEC{r})
\end{gather}
上式のスカラーの方程式においては，対称性を考慮すると $A_z$ は $r$ のみの関数と考えてよい．そこで，球座標系
$(r, \theta ,\phi )$ を考え，
\begin{eqnarray}
\nabla ^2 A_z &=& \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}
\left( r^2 \frac{\partial A_z}{\partial r} \right)
+ \frac{1}{r^2 \sin \theta } \frac{\partial }{\partial \theta }
\left( \sin \theta \frac{\partial A_z}{\partial \theta} \right)
\nonumber \\
&&+ \frac{1}{r^2 \sin ^2 \theta } \frac{\partial ^2 A_z}{\partial \phi ^2}
\end{eqnarray}
$\displaystyle{\frac{\partial}{\partial \theta} = 0}$，
$\displaystyle{\frac{\partial}{\partial \phi} = 0}$より，
\begin{gather}
\frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}
\left( r^2 \frac{\partial A_z}{\partial r} \right)
+ k^2 A_z = -\mu \delta (\VEC{r})
\end{gather}
球波動関数
この方程式の右辺を $0$ とおいた同次方程式
\begin{gather}
\frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}
\left( r^2 \frac{\partial A_z}{\partial r} \right)
+ k^2 A_z = 0
\end{gather}
は$0$ 次の球ベッセル関数を解にもつ微分方程式である．
\begin{gather}
j_0 ( k_0 r ) = \sqrt{\frac{\pi}{2k_0 r}} J_{\frac{1}{2}} (k_0 r)
\ \ \ \ \ \ (\mbox{0次の第1種球ベッセル関数}) \\
n_0 ( k_0 r ) = \sqrt{\frac{\pi}{2k_0 r}} N_{\frac{1}{2}} (k_0 r)
\ \ \ \ \ \ (\mbox{0次の第2種球ベッセル関数})
\end{gather}
あるいは，
\begin{gather}
k_0^{(1)} ( k_0 r ) = \sqrt{\frac{\pi}{2k_0 r}} H_{\frac{1}{2}}^{(1)} (k_0 r)
\ \ \ \ \ \ (\mbox{0次の第1種球ハンケル関数}) \\
k_0^{(2)} ( k_0 r ) = \sqrt{\frac{\pi}{2k_0 r}} H_{\frac{1}{2}}^{(2)} (k_0 r)
\ \ \ \ \ \ (\mbox{0次の第2種球ハンケル関数})
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
k_0^{(1)} ( k_0 r ) = j_0 (k_0 r ) +j n_0 (k_0 r)
\\
k_0^{(2)} ( k_0 r ) = j_0 (k_0 r ) -j n_0 (k_0 r)
\end{gather}
より，いずれか一方の組を解としてとればよい．これは球波動関数ともいう．ただし，
- $J_{\frac{1}{2}} (k_0 r) : \frac{1}{2}\mbox{次の第1種ベッセル関数}$
- $N_{\frac{1}{2}} (k_0 r) : \frac{1}{2}\mbox{次の第2種ベッセル関数またはノイマン関数}$
- $H_{\frac{1}{2}}^{(1)} (k_0 r) : \frac{1}{2}\mbox{次の第1種ハンケル関数}$
- $H_{\frac{1}{2}}^{(2)} (k_0 r) : \frac{1}{2}\mbox{次の第2種ハンケル関数}$
これらの関数には次のような関係がある．
\begin{gather}
H_{\frac{1}{2}}^{(1)} (k_0 r)
=J_{\frac{1}{2}} (k_0 r) +j N_{\frac{1}{2}} (k_0 r)
\\
H_{\frac{1}{2}}^{(2)} (k_0 r)
=J_{\frac{1}{2}} (k_0 r) -j N_{\frac{1}{2}} (k_0 r)
\end{gather}
さらに，ベッセル関数の公式$^\dagger$より，
\begin{gather}
J_{\frac{1}{2}} (k_0 r) = \sqrt{\frac{2}{\pi k_0 r}} \sin k_0 r
\\
N_{\frac{1}{2}} (k_0 r) = -\sqrt{\frac{2}{\pi k_0 r}} \cos k_0 r
\\
H_{\frac{1}{2}}^{(1)} (k_0 r) = -j \sqrt{\frac{2}{\pi k_0 r}} e^{jk_0 r}
\\
H_{\frac{1}{2}}^{(2)} (k_0 r) = j \sqrt{\frac{2}{\pi k_0 r}} e^{-jk_0 r}
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
j_0 (k_0 r)
&=& \sqrt{\frac{\pi}{2k_0 r}} J_{\frac{1}{2}} (k_0 r)
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\pi}{2k_0 r}} \sqrt{\frac{2}{\pi k_0 r}} \sin k_0 r
\nonumber \\
&=& \frac{\sin k_0 r}{k_0 r}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
n_0 (k_0 r)
&=& \sqrt{\frac{\pi}{2k_0 r}} N_{\frac{1}{2}} (k_0 r)
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\pi}{2k_0 r}}
\left( -\sqrt{\frac{2}{\pi k_0 r}} \cos k_0 r \right)
\nonumber \\
&=& -\frac{\cos k_0 r}{k_0 r}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
k_0^{(1)} (k_0 r)
&=& \sqrt{\frac{\pi}{2k_0 r}} H_{\frac{1}{2}}^{(1)} (k_0 r)
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\pi}{2k_0 r}}
\left( -j\sqrt{\frac{2}{\pi k_0 r}} e^{jk_0 r} \right)
\nonumber \\
&=& -j\frac{e^{jk_0 r}}{k_0 r}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
k_0^{(2)} (k_0 r)
&=& \sqrt{\frac{\pi}{2k_0 r}} H_{\frac{1}{2}}^{(2)} (k_0 r)
\nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\pi}{2k_0 r}}
j\sqrt{\frac{2}{\pi k_0 r}} e^{jk_0 r}
\nonumber \\
&=& j\frac{e^{-jk_0 r}}{k_0 r}
\end{eqnarray}
いま，$+r$ 方向に伝搬する波を考えると，この同次方程式の解としては0次の第2種球ハンケル関数
$\displaystyle{k_0^{(2)} (k r) = j\frac{e^{-jk r}}{k r}}$
をとればよい．
単位電流源によるベクトルポテンシャル
非同次スカラーヘルムホルツ方程式の両辺を体積積分すると，
\begin{gather}
\iiint _V ( \nabla \cdot \nabla A_z + k^2 A_z ) dv
= \iiint _V \{ -\mu \delta (\VEC{r}) \} dv
\label{eq:iiintAz}
\end{gather}
ここで，式\eqref{eq:iiintAz}の左辺第1項を，ガウスの発散定理
\begin{gather}
\iiint _V \nabla \cdot \VEC{a} dv = \oiint _S \VEC{a} \cdot d\VEC{S}
\end{gather}
より面積分で表し，式\eqref{eq:iiintAz}の右辺はデルタ関数の性質
\begin{gather}
\iiint _V \delta (\VEC{r}) dv = 1
\end{gather}
より，
\begin{gather}
\oiint _S \nabla A_z \cdot d\VEC{S} + k^2 \iiint _V A_z dv = -\mu
\end{gather}
$V \to 0$ を考えると，
\begin{gather}
\lim _{V \to 0} \oiint _S \nabla A_z \cdot d\VEC{S}
+ \lim _{V \to 0} k^2 \iiint _V A_z dv = -\mu
\end{gather}
いま，$A_z \sim 1/r$ より上式の第2項はゼロになる．また，面積分を球面にとると，面積要素
$d\VEC{S} = \VEC{n} dS = \VEC{u}_r r^2 \sin \theta d\theta d\phi$
より，
\begin{gather}
\lim _{V \to 0} \oiint _S ( \nabla A_z \cdot \VEC{u}_r ) r^2 \sin \theta d\theta d\phi
= -\mu
\end{gather}
上式を計算するために，未定係数を $C$ とおくと $A_z$ は次のようになる．
\begin{gather}
A_z = C k_0^{(2)} (k r) = C j\frac{e^{-jk r}}{k r}
\end{gather}
これより，$\nabla A_z \cdot \VEC{u}_r$ は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\nabla A_z \cdot \VEC{u}_r
&=& \frac{\partial A_z}{\partial r}
= \frac{jC}{k} \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right)
\nonumber \\
&=& \frac{jC}{k} \left( -jk \frac{e^{-jkr}}{r} - \frac{e^{-jkr}}{r^2} \right)
\nonumber \\
&=& C \frac{e^{-jkr}}{r^2} \left( r-\frac{j}{k} \right)
\end{eqnarray}
そして，積分を実行して，未定係数 $C$ を求めると，次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&\lim _{V \to 0} \oiint _S ( \nabla A_z \cdot \VEC{u}_r ) r^2 \sin \theta d\theta d\phi
\nonumber \\
&=& \lim _{V \to 0} \oiint _S C \frac{e^{-jkr}}{r^2} \left( r-\frac{j}{k} \right)
r^2 \sin \theta d\theta d\phi
\nonumber \\
&=& \lim _{V \to 0} C e^{-jkr} \left( r-\frac{j}{k} \right)
\oiint _S \sin \theta d\theta d\phi
\nonumber \\
&=& \lim _{V \to 0} C e^{-jkr} \left( r-\frac{j}{k} \right) 4 \pi
\nonumber \\
&=& C \left( -\frac{j}{k} \right) 4\pi
= -\mu
\end{eqnarray}
よって，未定係数 $C$ は次のようになる．
\begin{gather}
C = -j \frac{k\mu}{4\pi}
\end{gather}
したがって，$A_z$ は，
\begin{eqnarray}
A_z
&=& C j\frac{e^{-jk r}}{k r}
= \left( -j \frac{k \mu}{4\pi} \right) j\frac{e^{-jk r}}{k r}
\nonumber \\
&=& \frac{\mu e^{-jk r}}{4\pi r}
\end{eqnarray}
ベクトルポテンシャル $\VEC{A}$ は，
\begin{gather}
\VEC{A} = A_z \VEC{u}_z
= \frac{\mu e^{-jkr}}{4\pi r} \VEC{u}_z
\end{gather}
よって，電流の向きに沿う単位ベクトル $\VEC{u}$，電流源のある点の位置ベクトルを
$\VEC{r}'$，観測点の位置ベクトルを
$\VEC{r}$ とおき，一般的な形で $\VEC{A}$ を表すと，
\begin{gather}
\VEC{A} = \frac{\mu \VEC{u}}{4\pi | \VEC{r}-\VEC{r}'|} e^{-jk |\VEC{r}-\VEC{r}'|}
\end{gather}
これより，3次元自由空間のスカラー・グリーン関数 $G_0$ は，波源の位置ベクトルを
$\VEC{r}'$，観測点を $\VEC{r}$ とすると，次のようになる．
\begin{gather}
G_0(\VEC{r},\VEC{r}') = \frac{e^{-jk |\VEC{r}-\VEC{r}'|}}{4\pi | \VEC{r}-\VEC{r}'|}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
(\nabla ^2 + k^2 ) G_0(\VEC{r},\VEC{r}') = - \delta (\VEC{r},\VEC{r}')
\end{gather}
任意電流分布によるベクトルポテンシャル
任意の電流 $\VEC{J}$ によるベクトルポテンシャル $\VEC{A}$ は，
\begin{gather}
(\nabla ^2 + k^2 ) \VEC{A} = - \mu \VEC{J}
\end{gather}
によって与えられ，グリーン関数$G_0$を用いれば，次のようにしてベクトルポテンシャル
$\VEC{A}$ を求めることができる．
\begin{gather}
\VEC{A}(\VEC{r}) = \mu \iiint \VEC{J}(\VEC{r}') G_0(\VEC{r},\VEC{r}') dV'
\end{gather}
なお，
\begin{gather}
G_0(\VEC{r},\VEC{r}') = \frac{e^{-jk |\VEC{r}-\VEC{r}'|}}{4\pi | \VEC{r}-\VEC{r}'|}
= \frac{e^{-jk |\VEC{r}'-\VEC{r}|}}{4\pi | \VEC{r}'-\VEC{r}|}
= G_0(\VEC{r}',\VEC{r})
\end{gather}
が成り立ち，これはグリーン関数の対称性の一例である．
$\dagger$ 森口繁一，宇田川銈久，一松信，"岩波 数学公式 II," 岩波書店 (1960).