1.3 ポアソンの方程式とグリーン関数
静電場のスカラポテンシャル
スカラポテンシャルを
$\Phi$，電荷密度を
$\rho$，誘電率を
$\epsilon$ とすると，ポアソン（Poisson）の方程式は，
\begin{gather}
\nabla ^2 \Phi = -\frac{\rho}{\epsilon}
\label{eq:poisson}
\end{gather}
で与えられ，観測点$(x,y,z)$における $\Phi$ は次のようになる．
\begin{gather}
\Phi (x,y,z) = \iiint _V \frac{\rho (x_0,y_0,z_0) }{4\pi \epsilon R} dV_0
\label{eq:Phi}
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
R = | \VEC{r} - \VEC{r}_0 |
= \sqrt{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 }
\end{gather}
ここで，$\VEC{r}_0$ および $(x_0,y_0,z_0)$ は電荷のある点の位置ベクトルおよび座標，
$\VEC{r}$ および $(x,y,z)$ は観測点の位置ベクトルおよび座標を示し，領域$V$に電荷が分布しているものとする．
電気磁気学の静電界では，式\eqref{eq:poisson}の $\Phi$ のかわりに電位 $V$ を用いていた．そして，無限遠での電位はゼロである．
ディラックのデルタ関数
電荷密度$\rho$のかわりに，点 $(x_0',y_0',z_0')$ にだけ点電荷をおいた場合を考えてみる．この場合，ポアソンの式の右辺は，
$\rho / \epsilon$
のかわりにディラック（Dirac）のデルタ関数（delta function）で表すことができる．まず，１次元のデルタ関数について，変数を$x$としたとき次のような関係式がある．
\begin{align}
&\delta (x-x') = {0 \ \ (x \neq x') \choose \infty \ \ (x=x')}
= \frac{1}{\pi} \lim_{a \to \infty} \frac{\sin a(x-x')}{x-x'}
\\
&\int _{-\infty} ^\infty \delta (x-x') dx = 1
\end{align}
このとき，次式が成り立つ．
\begin{gather}
\int _{-\infty} ^\infty f(x) \delta (x-x') dx = f(x')
\end{gather}
これを直角座標系において３次元に拡張すると，
\begin{gather}
\delta (x-x') \delta (y-y') \delta (z-z')
\nonumber
\end{gather}
となる．
式\eqref{eq:Phi}において，
\begin{gather}
\frac{\rho (x_0,y_0,z_0)}{\epsilon} = \delta (x_0-x_0') \delta (y_0-y_0') \delta (z_0-z_0')
\end{gather}
とすると，
\begin{gather}
\Phi = \iiint _V \frac{\delta (x_0-x_0') \delta (y_0-y_0') \delta (z_0-z_0')}{4\pi R} dV_0
\end{gather}
ただし，領域Vは点電荷のある範囲である．
グリーン関数
直角座標成分の3重積分より，
\begin{gather}
\Phi
= \frac{1}{4\pi} \int _{l_z} \int _{l_y} \int _{l_x} \frac{\delta (x_0-x_0') \delta (y_0-y_0') \delta (z_0-z_0')}{
\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}} dx_0 dy_0 dz_0
\end{gather}
ただし，$l_x$，$l_y$，$l_z$ は直角座標系 $(x_0,y_0,z_0)$ の積分路を各示す．デルタ関数の性質より，
\begin{gather}
\int _{l_x} f(x_0) \delta (x_0 -x_0') dx_0 = f(x_0')
\end{gather}
が成り立つので，$\Phi$ は次のようになる．
\begin{gather}
\Phi
= \frac{1}{4\pi} \int _{l_z} \int _{l_y} \frac{ \delta (y_0-y_0') \delta (z_0-z_0')}{
\sqrt{(x-x_0')^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}} dy_0 dz_0
\end{gather}
同様にして，$y_0$ に関する積分も，デルタ関数の性質
\begin{gather}
\int _{l_y} f(y_0) \delta (y_0 -y_0') dy_0 = f(y_0')
\end{gather}
より，
\begin{gather}
\Phi
= \frac{1}{4\pi} \int _{l_z} \frac{ \delta (z_0-z_0')}{
\sqrt{(x-x_0')^2 + (y-y_0')^2 + (z-z_0)^2}} dz_0
\end{gather}
さらに，$z_0$ に関する積分も，デルタ関数の性質
\begin{gather}
\int _{l_z} f(z_0) \delta (z_0 -z_0') dz_0 = f(z_0')
\end{gather}
より，
\begin{gather}
\Phi
= \frac{1}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{(x-x_0')^2 + (y-y_0')^2 + (z-z_0')^2}}
= \frac{1}{4\pi R'}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
R' = | \VEC{r} - \VEC{r}_0' |
= \sqrt{ (x-x_0')^2 + (y-y_0')^2 + (z-z_0')^2 }
\end{gather}
この解がポアソンの方程式に対するグリーン関数（Green's function）$G$ である．いま，
$x_0'$，$y_0'$，$z_0'$ を，
$x_0$，$y_0$，$z_0$
に置き換え，
\begin{gather}
\nabla ^2 G (x,y,z | x_0,y_0,z_0) = - \delta (x-x_0) \delta (y-y_0) \delta (z-z_0)
\end{gather}
を満たすグリーン関数 $G$ は次のようになる．
\begin{gather}
G (x,y,z | x_0,y_0,z_0) = \frac{1}{4\pi R}
\end{gather}
このようにグリーン関数がわかれば，任意の電荷 $\rho (x_0, y_0, z_0 )$ による
$\Phi$ を次式によって求めることができる．
\begin{gather}
\Phi (x,y,z) = \frac{1}{\epsilon} \iiint _V G (x,y,z | x_0,y_0,z_0) \rho (x_0,y_0,z_0) dV_0
\end{gather}
位置ベクトル
\begin{eqnarray}
\VEC{r} &=& x \VEC{u}_x + y \VEC{u}_y + z \VEC{u}_z
\\
\VEC{r}_0 &=& x_0 \VEC{u}_x + y_0 \VEC{u}_y + z_0 \VEC{u}_z
\end{eqnarray}
を用いると，
\begin{gather}
\Phi (\VEC{r}) = \frac{1}{\epsilon} \iiint _V G (\VEC{r} , \VEC{r}_0 ) \rho (\VEC{r}_0) dV_0
\end{gather}