ポアソンの方程式とグリーン関数

1.3　ポアソンの方程式とグリーン関数

静電場のスカラポテンシャル

　スカラポテンシャルを

Φ

，電荷密度を

ρ

，誘電率を

ϵ

とすると，ポアソン（Poisson）の方程式は，

\begin{matrix} (1) & \nabla^{2} Φ = - \frac{ρ}{ϵ} \end{matrix}

で与えられ，観測点

(x, y, z)

における

Φ

は次のようになる．

\begin{matrix} (2) & Φ (x, y, z) = ∭_{V} \frac{ρ (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{4 π ϵ R} d V_{0} \end{matrix}

ただし，

\begin{matrix} (3) & R = | r - r_{0} | = \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2}} \end{matrix}

ここで，

r_{0}

および

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

は電荷のある点の位置ベクトルおよび座標，

r

および

(x, y, z)

は観測点の位置ベクトルおよび座標を示し，領域

V

に電荷が分布しているものとする．電気磁気学の静電界では，式

(1)

の

Φ

のかわりに電位

V

を用いていた．そして，無限遠での電位はゼロである．

ディラックのデルタ関数

　電荷密度

ρ

のかわりに，点

(x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'})

にだけ点電荷をおいた場合を考えてみる．この場合，ポアソンの式の右辺は，

ρ / ϵ

のかわりにディラック（Dirac）のデルタ関数（delta function）で表すことができる．まず，１次元のデルタ関数について，変数を

x

としたとき次のような関係式がある．

\begin{aligned} (4) & δ (x - x^{'}) = (\binom{0 (x \neq x^{'})}{\infty (x = x^{'})}) = \frac{1}{π} lim_{a \to \infty} \frac{\sin a (x - x^{'})}{x - x^{'}} \\ (5) & \int_{- \infty}^{\infty} δ (x - x^{'}) d x = 1 \end{aligned}

このとき，次式が成り立つ．

\begin{matrix} (6) & \int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x - x^{'}) d x = f (x^{'}) \end{matrix}

これを直角座標系において３次元に拡張すると，

\begin{matrix} δ (x - x^{'}) δ (y - y^{'}) δ (z - z^{'}) \end{matrix}

となる．式

(2)

において，

\begin{matrix} (7) & \frac{ρ (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{ϵ} = δ (x_{0} - x_{0}^{'}) δ (y_{0} - y_{0}^{'}) δ (z_{0} - z_{0}^{'}) \end{matrix}

とすると，

\begin{matrix} (8) & Φ = ∭_{V} \frac{δ (x_{0} - x_{0}^{'}) δ (y_{0} - y_{0}^{'}) δ (z_{0} - z_{0}^{'})}{4 π R} d V_{0} \end{matrix}

ただし，領域Vは点電荷のある範囲である．

グリーン関数

　直角座標成分の3重積分より，

\begin{matrix} (9) & Φ = \frac{1}{4 π} \int_{l_{z}} \int_{l_{y}} \int_{l_{x}} \frac{δ (x_{0} - x_{0}^{'}) δ (y_{0} - y_{0}^{'}) δ (z_{0} - z_{0}^{'})}{\sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2}}} d x_{0} d y_{0} d z_{0} \end{matrix}

ただし，

l_{x}

，

l_{y}

，

l_{z}

は直角座標系

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

の積分路を各示す．デルタ関数の性質より，

\begin{matrix} (10) & \int_{l_{x}} f (x_{0}) δ (x_{0} - x_{0}^{'}) d x_{0} = f (x_{0}^{'}) \end{matrix}

が成り立つので，

Φ

は次のようになる．

\begin{matrix} (11) & Φ = \frac{1}{4 π} \int_{l_{z}} \int_{l_{y}} \frac{δ (y_{0} - y_{0}^{'}) δ (z_{0} - z_{0}^{'})}{\sqrt{(x - x_{0}^{'})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2}}} d y_{0} d z_{0} \end{matrix}

同様にして，

y_{0}

に関する積分も，デルタ関数の性質

\begin{matrix} (12) & \int_{l_{y}} f (y_{0}) δ (y_{0} - y_{0}^{'}) d y_{0} = f (y_{0}^{'}) \end{matrix}

より，

\begin{matrix} (13) & Φ = \frac{1}{4 π} \int_{l_{z}} \frac{δ (z_{0} - z_{0}^{'})}{\sqrt{(x - x_{0}^{'})^{2} + (y - y_{0}^{'})^{2} + (z - z_{0})^{2}}} d z_{0} \end{matrix}

さらに，

z_{0}

に関する積分も，デルタ関数の性質

\begin{matrix} (14) & \int_{l_{z}} f (z_{0}) δ (z_{0} - z_{0}^{'}) d z_{0} = f (z_{0}^{'}) \end{matrix}

より，

\begin{matrix} (15) & Φ = \frac{1}{4 π} \frac{1}{\sqrt{(x - x_{0}^{'})^{2} + (y - y_{0}^{'})^{2} + (z - z_{0}^{'})^{2}}} = \frac{1}{4 π R^{'}} \end{matrix}

ここで，

\begin{matrix} (16) & R^{'} = | r - r_{0}^{'} | = \sqrt{(x - x_{0}^{'})^{2} + (y - y_{0}^{'})^{2} + (z - z_{0}^{'})^{2}} \end{matrix}

この解がポアソンの方程式に対するグリーン関数（Green's function）

G

である．いま，

x_{0}^{'}

，

y_{0}^{'}

，

z_{0}^{'}

を，

x_{0}

，

y_{0}

，

z_{0}

に置き換え，

\begin{matrix} (17) & \nabla^{2} G (x, y, z | x_{0}, y_{0}, z_{0}) = - δ (x - x_{0}) δ (y - y_{0}) δ (z - z_{0}) \end{matrix}

を満たすグリーン関数

G

は次のようになる．

\begin{matrix} (18) & G (x, y, z | x_{0}, y_{0}, z_{0}) = \frac{1}{4 π R} \end{matrix}

このようにグリーン関数がわかれば，任意の電荷

ρ (x_{0}, y_{0}, z_{0})

による

Φ

を次式によって求めることができる．

\begin{matrix} (19) & Φ (x, y, z) = \frac{1}{ϵ} ∭_{V} G (x, y, z | x_{0}, y_{0}, z_{0}) ρ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) d V_{0} \end{matrix}

位置ベクトル

\begin{array}{rcl} (20) & r & = & x u_{x} + y u_{y} + z u_{z} \\ (21) & r_{0} & = & x_{0} u_{x} + y_{0} u_{y} + z_{0} u_{z} \end{array}

を用いると，

\begin{matrix} (22) & Φ (r) = \frac{1}{ϵ} ∭_{V} G (r, r_{0}) ρ (r_{0}) d V_{0} \end{matrix}

1.3 ポアソンの方程式とグリーン関数

静電場のスカラポテンシャル

ディラックのデルタ関数

グリーン関数

1.3　ポアソンの方程式とグリーン関数