1.13 モード電圧・電流によるインピーダンス行列

無損失な場合

 先と同様に $\DYAi{\epsilon}_t = \DYAi{\epsilon}$,$\DYAi{\mu}_t = \DYAi{\mu}$ で,さらに媒質が無損失な場合 ($\DYAi{\epsilon}^* = \DYAi{\epsilon}$, $\DYAi{\mu}^* = \DYAi{\mu}$) を考える.電磁流源がない場合 ($\VEC{J}_a = \VEC{J}_b = \VEC{M}_a = \VEC{M}_b = 0$), Maxwellの方程式の複素共役は, \begin{align} &\big( \nabla \times \VEC{H}_b \big)^* = \big( j\omega \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_b \big)^* \\ &\big( -\nabla \times \VEC{E}_b \big)^* = \big( j\omega \DYAi{\mu}^* \cdot \VEC{H}_b \big)^* \end{align} ただし,$( \ )^*$は共役複素数を示す. これを基にして次のような電磁界を考える. \begin{align} &\nabla \times \VEC{H}_a = j\omega \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a \\ &-\nabla \times \VEC{E}_a = j\omega \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a \end{align} \begin{align} &\nabla \times \VEC{H}_b^* = -j\omega \DYAi{\epsilon}^* \cdot \VEC{E}_b^* \\ &-\nabla \times \VEC{E}_b^* = -j\omega \DYAi{\mu}^* \cdot \VEC{H}_b^* \end{align} これより,$\VEC{E}_b^*$ のスカラ積,および $\VEC{H}_a$ のスカラ積は各々次のようになる. \begin{align} &\VEC{E}_b^* \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_a ) = j\omega \VEC{E}_b^* \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a \\ &\VEC{H}_a \cdot ( -\nabla \times \VEC{E}_b^* ) = -j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu}^* \cdot \VEC{H}_b^* \end{align} 両者の和をとると, \begin{align} &\VEC{E}_b^* \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_a ) -\VEC{H}_a \cdot ( \nabla \times \VEC{E}_b^* ) \nonumber \\ &= j\omega \VEC{E}_b^* \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a - j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu}^* \cdot \VEC{H}_b^* \end{align} ベクトル公式より, \begin{eqnarray} \nabla \cdot ( \VEC{H}_a \times \VEC{E}_b^* ) &=& -\nabla \cdot ( \VEC{E}_b^* \times \VEC{H}_a ) \nonumber \\ &=& j\omega \VEC{E}_b^* \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a - j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu}^* \cdot \VEC{H}_b^* \label{eq:ast1} \end{eqnarray} 同様にして, $\VEC{E}_a$ のスカラ積,および $\VEC{H}_b^*$ のスカラ積を求めると, \begin{gather} \VEC{E}_a \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_b^* ) = -j\omega \VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon}^* \cdot \VEC{E}_b^* \\ \VEC{H}_b^* \cdot ( -\nabla \times \VEC{E}_a ) = j\omega \VEC{H}_b^* \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a \end{gather} 両者の和をとり,ベクトル公式を用いると, \begin{align} &\VEC{E}_a \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_b^* ) -\VEC{H}_b^* \cdot ( \nabla \times \VEC{E}_a ) \nonumber \\ &= \nabla \cdot ( \VEC{H}_b^* \times \VEC{E}_a ) = -\nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b^* ) \nonumber \\ &= -j\omega \VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon}^* \cdot \VEC{E}_b^* + j\omega \VEC{H}_b^* \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a \label{eq:ast2} \end{align} 式\eqref{eq:ast1}および式\eqref{eq:ast2}より, \begin{align} &-\nabla \cdot ( \VEC{E}_b^* \times \VEC{H}_a ) -\nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b^* ) \nonumber \\ &= j\omega \VEC{E}_b^* \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a - j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu}^* \cdot \VEC{H}_b^* -j\omega \VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon}^* \cdot \VEC{E}_b^* + j\omega \VEC{H}_b^* \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a \end{align} ここで, $\DYAi{\epsilon}^*_t = \DYAi{\epsilon}$, $\DYAi{\mu}^*_t = \DYAi{\mu}$ ゆえ, \begin{eqnarray} \VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon}^* \cdot \VEC{E}_b^* &=& \VEC{E}_b^* \cdot \DYAi{\epsilon}_t^* \cdot \VEC{E}_a \nonumber \\ &=& \VEC{E}_b^* \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_b^* &=& \VEC{H}_b^* \cdot \DYAi{\mu}_t^* \cdot \VEC{H}_a \nonumber \\ &=& \VEC{H}_b^* \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a \end{eqnarray} これより,次式が得られる. \begin{gather} \nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b^* + \VEC{E}_b^* \times \VEC{H}_a ) = 0 \label{eq:Lorentz_lossless0} \end{gather} また,積分形式では, \begin{gather} \oiint _S ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b^* + \VEC{E}_b^* \times \VEC{H}_a ) \cdot d\VEC{S} = 0 \label{eq:Lorentz_lossless} \end{gather} これらの式は, $\DYAi{\epsilon}_t = \DYAi{\epsilon} = \DYAi{\epsilon}^*$, $\DYAi{\mu}_t = \DYAi{\mu} = \DYAi{\mu}^*$の媒質において 電磁流源がない場合にローレンツの相反定理を応用した例である.同様にして,円柱座標系 $(\VECi{\rho}, z)$ において次のような電磁界の複素共役を考える. \begin{align} &\VEC{E}_b^*(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{E}_m^* \equiv \VECc{E}_m^*(\VECi{\rho}) e^{\mp \gamma_m^* z} \\ &\VEC{H}_b^*(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{H}_m^* \equiv \pm \VECc{H}_m^*(\VECi{\rho}) e^{\mp \gamma_m^* z} \end{align} ここで, \begin{align} &\VECc{E}_m^*(\VECi{\rho}) = \VECc{E}_{t,m}^* + E_{z,m}^* \VEC{a}_z \\ &\VECc{H}_m^*(\VECi{\rho}) = \VECc{H}_{T,m}^* + H_{z,m}^* \VEC{a}_z \end{align} これより,式\eqref{eq:Lorentz_lossless0}は(導出省略), \begin{gather} (\gamma_n + \gamma_m^*) \iint _S ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m}^* + \VECc{E}_{t,m}^* \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS = 0 \end{gather} あるいは,次のような電磁界の複素共役を考えると, \begin{align} &\VEC{E}_b^*(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{E}_m^* \equiv \VECc{E}_m^*(\VECi{\rho}) e^{\pm \gamma_m^* z} \\ &\VEC{H}_b^*(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{H}_m^* \equiv \mp \VECc{H}_m^*(\VECi{\rho}) e^{\pm \gamma_m^* z} \end{align} 式\eqref{eq:Lorentz_lossless0}は次のようになる(導出省略). \begin{gather} (\gamma_n - \gamma_m^*) \iint _S ( -\VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m}^* + \VECc{E}_{t,m}^* \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS = 0 \end{gather} これらを連立させると,$m$次モードを複素共役とする直交性が得られる. \begin{gather} \iint _S \left( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m}^* \right) \cdot \VEC{a}_z dS = 0 \\ \iint _S \left( \VECc{E}_{t,m}^* \times \VECc{H}_{t,n} \right) \cdot \VEC{a}_z dS = 0 \end{gather}

相反回路

 対称ダイアディクス$\DYAi{\epsilon}$,$\DYAi{\mu}$の媒質において, 面$S$に囲まれた領域$V$に電磁流源がない場合, 積分形式のローレンツの相反定理は次のようになる. \begin{gather} \oiint _S ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b - \VEC{E}_b \times \VEC{H}_a ) \cdot d\VEC{S} =0 \label{eq:Lorentz00} \end{gather} いま,単一モードの多端子対回路網を考え, 異なる2つの励振条件において, 端子面の横断面内電磁界を次にように定義する. \begin{gather} \VEC{E}_a \Big| _{S_i} \equiv \check{V}_a^{(i)} \VECc{E}_t^{(i)} \\ \VEC{H}_a \Big| _{S_i} \equiv \check{I}_a^{(i)} \VECc{H}_t^{(i)} \end{gather} \begin{gather} \VEC{E}_b \Big| _{S_i} \equiv \check{V}_b^{(i)} \VECc{E}_t^{(i)} \\ \VEC{H}_b \Big| _{S_i} \equiv \check{I}_b^{(i)} \VECc{H}_t^{(i)} \end{gather} ただし,$S_i$は端子 #$i$における断面を示す.これより,式\eqref{eq:Lorentz00}は, \begin{gather} \sum_{i} \iint _{S_i} \left( \check{V}_a^{(i)} \VECc{E}_t^{(i)} \times \check{I}_b^{(i)} \VECc{H}_t^{(i)} - \check{V}_b^{(i)} \VECc{E}_t^{(i)} \times \check{I}_a^{(i)} \VECc{H}_t^{(i)} \right) \cdot d\VEC{S} =0 \end{gather} 整理して, \begin{gather} \sum_{i} (\check{V}_a^{(i)} \check{I}_b^{(i)} - \check{V}_b^{(i)} \check{I}_a^{(i)} ) \iint _{S_i} ( \VECc{E}_t^{(i)} \times \VECc{H}_t^{(i)} ) \cdot d\VEC{S} =0 \label{eq:vaib} \end{gather} ここで,次の列ベクトル \begin{gather} \check{\VECi{V}}^a \equiv \begin{pmatrix} \check{V}_a^{(1)} \\ \check{V}_a^{(2)} \\ \vdots \end{pmatrix}, \ \ \ \ \check{\VECi{I}}^b \equiv \begin{pmatrix} \check{I}_b^{(1)} \\ \check{I}_b^{(2)} \\ \vdots \end{pmatrix}, \ \ \ \ \check{\VECi{V}}^b \equiv \begin{pmatrix} \check{V}_b^{(1)} \\ \check{V}_b^{(2)} \\ \vdots \end{pmatrix}, \ \ \ \ \check{\VECi{I}}^a \equiv \begin{pmatrix} \check{I}_a^{(1)} \\ \check{I}_a^{(2)} \\ \vdots \end{pmatrix} \end{gather} および対角行列 \begin{gather} \big[ Q \big] \equiv \begin{pmatrix} Q^{(1)} & 0 & \cdots \\ 0 & Q^{(2)} & \cdots & \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ Q^{(i)} \equiv \int _{S_i} ( \VECc{E}_t^{(i)} \times \VECc{H}_t^{(i)} ) \cdot d\VEC{S} \end{gather} を定義して,式\eqref{eq:vaib}を表すと ($\check{\VECi{V}}^a_T$,$\check{\VECi{I}}^a_T$ は, $\check{\VECi{V}}^a$,$\check{\VECi{I}}^a$の転置), \begin{gather} \check{\VECi{V}}^a_T \big[ Q \big] \check{\VECi{I}}^b - \check{\VECi{I}}^a_T \big[ Q \big] \check{\VECi{V}}^b = 0 \label{eq:ibtqva} \end{gather} このとき,インピーダンス行列 $\big[ \check{\VECi{Z}} \big]$(行列要素は$\check{Z}_{ij}$) が $\check{\VECi{V}} = \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \check{\VECi{I}}$ で定義されているとき, \begin{align} &\check{\VECi{V}}^a = \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \check{\VECi{I}}^a \\ &\check{\VECi{V}}^a_T = \left( \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \check{\VECi{I}}^a \right)_T = \check{\VECi{I}}^a_T \big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T \\ &\check{\VECi{V}}^b = \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \check{\VECi{I}}^b \end{align} ただし,$\big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T $は$\big[ \check{\VECi{Z}} \big]$の転置を示す. これより,式\eqref{eq:ibtqva}を変形して, \begin{align} &\check{\VECi{I}}^a_T \big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T \big[ Q \big] \check{\VECi{I}}^b - \check{\VECi{I}}^a_T \big[ Q \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \check{\VECi{I}}^b = 0 \nonumber \\ &\check{\VECi{I}}^a_T \Big( \big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T \big[ Q \big] - \big[ Q \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \Big) \check{\VECi{I}}^b = 0 \label{eq:iatib} \end{align} $\check{\VECi{I}}^a_T \neq 0$,$\check{\VECi{I}}^b \neq 0$ゆえ, \begin{gather} \big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T \big[ Q \big] - \big[ Q \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] = 0 \end{gather} ここで,対角行列を次にようにおく. \begin{gather} \big[ \sqrt{Q} \big] = \begin{pmatrix} \sqrt{Q^{(1)}} & 0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{Q^{(2)}} & \cdots & \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{pmatrix} \end{gather} \begin{gather} \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{Q^{(1)}} & 0 & \cdots \\ 0 & 1/\sqrt{Q^{(2)}} & \cdots & \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{pmatrix} \end{gather} これより, \begin{gather} \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} \left\{ \big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T \big[ Q \big] - \big[ Q \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \right\} \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} = 0 \nonumber \\ \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} \big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T \big[ \sqrt{Q} \big] - \big[ \sqrt{Q} \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} = 0 \nonumber \\ \left( \big[ \sqrt{Q} \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} \right)_T = \big[ \sqrt{Q} \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} \end{gather} よって,対称な行列 $\big[ \VECi{Z} \big]$ が次のように定義できる. \begin{gather} \big[ \VECi{Z} \big] \equiv \big[ \sqrt{Q} \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} = \big[ \VECi{Z} \big]_T \end{gather} 逆は, \begin{gather} \big[ \check{\VECi{Z}} \big] = \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} \big[ \VECi{Z} \big] \big[ \sqrt{Q} \big] \end{gather} これを用いるとインピーダンス行列に関する式は, \begin{align} &\check{\VECi{V}} = \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \check{\VECi{I}} = \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} \big[ \VECi{Z} \big] \big[ \sqrt{Q} \big] \check{\VECi{I}} \nonumber \\ &\big[ \sqrt{Q} \big] \check{\VECi{V}} = \big[ \VECi{Z} \big] \big[ \sqrt{Q} \big] \check{\VECi{I}} \end{align} そこで,対称行列で表されるインピーダンス行列 $\big[ \VECi{Z} \big]$ より, \begin{gather} \VECi{V} \equiv \big[ \sqrt{Q} \big] \check{\VECi{V}} \\ \VECi{I} \equiv \big[ \sqrt{Q} \big] \check{\VECi{I}} \label{eq:vqviqi} \end{gather} を定義する.よって, \begin{gather} \VECi{V} = \big[ \VECi{Z} \big] \VECi{I} \\ \big[ \VECi{Z} \big]_T = \big[ \VECi{Z} \big] \end{gather} ここで, \begin{align} &\VECi{V} = \begin{pmatrix} V^{(1)} \\ V^{(2)} \\ \vdots \end{pmatrix} \\ &\big[ \VECi{Z} \big] = \begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} & \cdots \\ Z_{21} & Z_{22} & \cdots & \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{pmatrix} \\ &\VECi{I} = \begin{pmatrix} I^{(1)} \\ I^{(2)} \\ \vdots \end{pmatrix} \end{align} これより,式\eqref{eq:ibtqva}は次のようになる. \begin{gather} \VECi{V}^a_T \ \VECi{I}^b - \VECi{I}^a_T \ \VECi{V}^b = 0 \label{eq:vatib} \end{gather} もう一度,対称行列となることを確認すると, $\VECi{V} = \big[ \VECi{Z} \big] \VECi{I}$より, \begin{gather} \left( \big[ \VECi{Z} \big] \VECi{I}^a \right)_T \ \VECi{I}^b - \VECi{I}^a_T \left( \big[ \VECi{Z} \big] \VECi{I}^b \right) = \VECi{I}^a_T \Big( \big[ \VECi{Z} \big]_T - \big[ \VECi{Z} \big] \Big) \VECi{I}^b = 0 \end{gather} \begin{gather} \therefore \big[ \VECi{Z} \big]_T = \big[ \VECi{Z} \big] \end{gather}