1.12 モード関数の直交性
ローレンツの相反定理
誘電率
$\DYAi{\epsilon}$，および透磁率
$\DYAi{\mu}$
が対称ダイアディクスで与えられる場合について，ローレンツの相反定理を導出する．いま，閉じた面
$S$
で囲まれた領域
$V$
に電磁流源が存在するときの電磁界を考える．そこで，領域
$V$
に電流源
$\VEC{J}_a$，および等価磁流源
$\VEC{M}_a$
があるとき，電磁界を
$\VEC{E}_a$, $\VEC{H}_a$
とすると， Maxwellの方程式より，
\begin{gather}
\nabla \times \VEC{H}_a = j\omega \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a + \VEC{J}_a \label{Ha}
\\
-\nabla \times \VEC{E}_a = j\omega \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a + \VEC{M}_a \label{Ea}
\end{gather}
また，領域
$V$
に電流源
$\VEC{J}_b$，等価磁流源$\VEC{M}_b$
があるときの電磁界を
$\VEC{E}_b$, $\VEC{H}_b$
とすると，Maxwellの方程式より，
\begin{gather}
\nabla \times \VEC{H}_b = j\omega \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_b + \VEC{J}_b \label{Hb} \\
-\nabla \times \VEC{E}_b = j\omega \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_b + \VEC{M}_b \label{Eb}
\end{gather}
電界
$\VEC{E}_b$
と式\eqref{Ha}のスカラ積，磁界
$\VEC{H}_a$
と式\eqref{Eb}のスカラ積は各々，次のようになる．
これより，
$\VEC{E}_b$
と式\eqref{Ha}のスカラ積，および
$\VEC{H}_a$
と式\eqref{Eb}のスカラ積を求めると，
\begin{align}
&\VEC{E}_b \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_a )
= j\omega \VEC{E}_b \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
+ \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a
\\
&\VEC{H}_a \cdot ( -\nabla \times \VEC{E}_b )
= j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_b
+ \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b
\end{align}
両者の和を求めると，
\begin{align}
&\VEC{E}_b \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_a ) -\VEC{H}_a \cdot ( \nabla \times \VEC{E}_b )
\nonumber \\
&= j\omega \VEC{E}_b \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
+ \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a
+ j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_b + \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b
\label{eq:ebepea}
\end{align}
ベクトル公式
$\nabla \cdot ( \VEC{A} \times \VEC{B} )
= \VEC{B} \cdot ( \nabla \times \VEC{A} ) -\VEC{A} \cdot ( \nabla \times \VEC{B} ) $
を用いて変形すると，
\begin{align}
&\nabla \cdot ( \VEC{H}_a \times \VEC{E}_b )
= -\nabla \cdot ( \VEC{E}_b \times \VEC{H}_a )
\nonumber \\
&= j\omega \VEC{E}_b \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
+ j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_b
+ \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a + \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b \label{HaEb}
\end{align}
同様に電界
$\VEC{E}_a$
と式\eqref{Hb}のスカラ積，磁界
$\VEC{H}_b$
と式\eqref{Ea}のスカラ積を求めると，
\begin{align}
&\VEC{E}_a \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_b )
= j\omega \VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_b
+ \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b
\\
&\VEC{H}_b \cdot ( -\nabla \times \VEC{E}_a )
= j\omega \VEC{H}_b \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a
+ \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a
\end{align}
両者の和を求め，ベクトル公式を用いると，
\begin{align}
&\VEC{E}_a \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_b ) -\VEC{H}_b \cdot ( \nabla \times \VEC{E}_a )
\nonumber \\
&= \nabla \cdot ( \VEC{H}_b \times \VEC{E}_a )
= -\nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b )
\nonumber \\
&= j\omega \VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_b
+ j\omega \VEC{H}_b \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a
+ \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b
+ \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a \label{HbEa}
\end{align}
ここで，
$\DYAi{\epsilon}$，$\DYAi{\mu}$
は対称ダイアディクスであるから，次式が成り立つ．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_b
&=& \VEC{E}_b \cdot \DYAi{\epsilon}_t \cdot \VEC{E}_a
\nonumber \\
&=& \VEC{E}_b \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_b
&=& \VEC{H}_b \cdot \DYAi{\mu}_t \cdot \VEC{H}_a
\nonumber \\
&=& \VEC{H}_b \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a
\end{eqnarray}
式\eqref{HaEb}$-$式\eqref{HbEa}を求め，上式を用いると，
\begin{align}
&\nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b - \VEC{E}_b \times \VEC{H}_a )
\nonumber \\
&= \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a + \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b
- \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b - \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a
\label{eq:Lorentz1}
\end{align}
これが，対称ダイアディクス
$\DYAi{\epsilon}$，$\DYAi{\mu}$
の媒質におけるローレンツの相反定理（Lorentz reciprocity theorem）である．さらに，式\eqref{eq:Lorentz1}を全ての電磁流源を含む領域
$V$
にわたって体積積分すると，
\begin{align}
&\iiint _V \nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b - \VEC{E}_b \times \VEC{H}_a ) dV
\nonumber \\
&= \iiint _V \left( \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a + \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b
- \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b - \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a \right) dV
\end{align}
発散定理を用いて体積積分を面積分に変換し，積分形式のローレンツの相反定理は，
\begin{align}
&\oiint _S ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b - \VEC{E}_b \times \VEC{H}_a ) \cdot d\VEC{S}
\nonumber \\
&= \iiint _V \left( \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a + \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b
- \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b - \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a \right) dV
\label{eq:Lorentz2}
\end{align}
モードの直交性の導出
電磁流源のない（$\VEC{J}_a = \VEC{J}_b = \VEC{M}_a = \VEC{M}_b = 0$）点では，
ローレンツの相反定理の式\eqref{eq:Lorentz1}の右辺はゼロとなり，
\begin{gather}
\nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b - \VEC{E}_b \times \VEC{H}_a ) = 0
\label{eq:Lorentz0}
\end{gather}
いま，円柱座標系
$(\VECi{\rho}, z)$
において $z$ 軸方向の伝搬定数 $\gamma_n$ の伝送波を考えると，電磁界は因子
$e^{\mp \gamma_n z}$
を含み
（$\VEC{r} = \VECi{\rho} + z \VEC{a}_z$），
\begin{align}
&\VEC{E}_a(\VECi{\rho},z)
\equiv \VEC{E}_n
\equiv \VECc{E}_{n}(\VECi{\rho}) e^{\mp \gamma_n z}
\\
&\VEC{H}_a(\VECi{\rho},z)
\equiv \VEC{H}_n
\equiv \pm \VECc{H}_n(\VECi{\rho}) e^{\mp \gamma_n z}
\end{align}
とおいて$n$次モード$\VECc{E}_n(\VECi{\rho})$，$\VECc{H}_n(\VECi{\rho})$を考え，また，
\begin{align}
&\VEC{E}_b(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{E}_m
\equiv \VECc{E}_m(\VECi{\rho}) e^{\mp \gamma_m z}
\\
&\VEC{H}_b(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{H}_m
\equiv \pm \VECc{H}_m(\VECi{\rho}) e^{\mp \gamma_m z}
\end{align}
とおいて$m$次モード
$\VECc{E}_m(\VECi{\rho})$，$\VECc{H}_m(\VECi{\rho})$
を考える（$n \neq m$）．ただし，
$\gamma _n$，$\gamma_m$
は，$n$ 次，$m$ 次モードの $\pm z$方向の伝搬定数を各々示す．これを用いて式\eqref{eq:Lorentz0}を求めると，
\begin{align}
&\nabla \cdot ( \VEC{E}_n \times \VEC{H}_m - \VEC{E}_m \times \VEC{H}_n ) = 0
\nonumber \\
&\left(\nabla_t + \VEC{a}_z \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot
\Big\{ \VECc{E}_n e^{\mp \gamma_n z} \times
(\pm \VECc{H}_m e^{\mp \gamma_m z}) - \VECc{E}_m e^{\mp \gamma_m z} \times
(\pm \VECc{H}_n e^{\mp \gamma_n z}) \Big\} = 0
\nonumber \\
&\nabla_t \cdot ( \VEC{E}_n \times \VEC{H}_m - \VEC{E}_m \times \VEC{H}_n )
\mp (\gamma_n + \gamma_m) \VEC{a}_z \cdot ( \VEC{E}_n \times \VEC{H}_m - \VEC{E}_m \times \VEC{H}_n ) =0
\nonumber \\
&\Big\{ \nabla_t \cdot ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n )
- (\gamma_n + \gamma_m) \VEC{a}_z \cdot ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n ) \Big\} e^{\mp (\gamma_n + \gamma_m)z} =0
\end{align}
上式第2項では，$\VEC{a}_z$
とのスカラ積を求めているので，電磁界の$z$成分は不要で，%次式が成り立つ．
\begin{align}
&\nabla_t \cdot ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n )
\nonumber \\
&- (\gamma_n + \gamma_m) \VEC{a}_z \cdot ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) =0
\end{align}
ここで，横断面内電磁界
$\VECc{E}_{t,n}$, $\VECc{E}_{t,n}$
は，
\begin{eqnarray}
\VECc{E}_n(\VECi{\rho}) &=& \VECc{E}_{t,n} + E_{z,n} \VEC{a}_z
\\
\VECc{H}_n(\VECi{\rho}) &=& \VECc{H}_{t,n} + H_{z,n} \VEC{a}_z
\end{eqnarray}
および
$\VECc{H}_{t,n}$, $\VECc{H}_{t,m}$
は，
\begin{eqnarray}
\VECc{E}_m(\VECi{\rho}) &=& \VECc{E}_{t,m} + E_{z,m} \VEC{a}_z
\\
\VECc{H}_m(\VECi{\rho}) &=& \VECc{H}_{t,m} + H_{z,m} \VEC{a}_z
\end{eqnarray}
導波路断面$S$で面積分すると，
\begin{align}
&\iint _S \nabla_t \cdot ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n ) dS
\nonumber \\
&= (\gamma_n + \gamma_m) \iint _S ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\end{align}
2次元の発散定理を用いると，
\begin{align}
&\oint _C ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n ) \cdot \VEC{n} d\sigma
\nonumber \\
&= (\gamma_n + \gamma_m) \iint _S ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\end{align}
導波路の管壁が完全導体の場合，
$\VEC{n} \times \VECc{E}_n = 0$
および
$\VEC{n} \times \VECc{E}_m = 0$
ゆえ，上式の周回積分はゼロである．また，導波路の管壁が完全導体ではないとき，管壁がインピーダンス境界として
$\VECc{E}_t = Z_s (\VEC{n} \times \VECc{H})$
で表される場合，これを考慮して計算すると，同様に周回積分はゼロとなる．よって，
\begin{gather}
(\gamma_n + \gamma_m) \iint _S ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS = 0
\label{eq:gnpgm}
\end{gather}
また，電磁界
$\VEC{E}_b$，$\VEC{H}_b$
として，
\begin{align}
&\VEC{E}_b(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{E}_m
\equiv \VECc{E}_m(\VECi{\rho}) e^{\pm \gamma_m z}
\\
&\VEC{H}_b(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{H}_m
\equiv \mp \VECc{H}_m(\VECi{\rho}) e^{\pm \gamma_m z}
\end{align}
を考えると，式\eqref{eq:Lorentz0}は次のようになる．
\begin{gather}
\left(\nabla_t + \VEC{a}_z \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot
\Big\{ \VECc{E}_n e^{\mp \gamma_n z} \times
(\mp \VECc{H}_m e^{\pm \gamma_m z}) - \VECc{E}_m e^{\pm \gamma_m z} \times
(\pm \VECc{H}_n e^{\mp \gamma_n z}) \Big\} = 0
\end{gather}
これより，
\begin{align}
&\nabla_t \cdot ( \VEC{E}_n \times \VEC{H}_m - \VEC{E}_m \times \VEC{H}_n )
\mp (\gamma_n - \gamma_m) \VEC{a}_z \cdot ( -\VEC{E}_n \times \VEC{H}_m - \VEC{E}_m \times \VEC{H}_n ) =0
\nonumber \\
&\nabla_t \cdot ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n )
= (\gamma_n - \gamma_m) \VEC{a}_z \cdot ( -\VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} )
\label{eq:Lorentz01}
\end{align}
同様にして，導波路断面$S$で面積分して，2次元の発散定理を用いると，
\begin{align}
&\iint _S \nabla_t \cdot ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n ) dS
\nonumber \\
&= \oint _C ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n ) \cdot \VEC{n} d\sigma
\nonumber \\
&= (\gamma_n - \gamma_m) \iint _S ( -\VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\end{align}
導波管断面の管壁に沿う周回積分はゼロゆえ，
\begin{gather}
(\gamma_n - \gamma_m) \iint _S( -\VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS = 0
\label{eq:gnmgm}
\end{gather}
式\eqref{eq:gnpgm}と式\eqref{eq:gnmgm}を連立させると，次のようなモードの直交性を表す式が得られる．
\begin{gather}
\iint _S \left( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} \right) \cdot \VEC{a}_z dS = 0
\\
\iint _S \left( \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} \right) \cdot \VEC{a}_z dS = 0
\end{gather}
なお，積分範囲を導波管断面の一部（面$s$，周回積分路$c$）とする場合は，周回積分はゼロにならないので，
\begin{align}
&\oint _c ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n ) \cdot \VEC{n} d\sigma
\nonumber \\
&= (\gamma_n + \gamma_m) \iint _s ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&= (\gamma_n - \gamma_m) \iint _s ( -\VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\neq 0
\end{align}
この場合は，次のような関係が得られる．
\begin{gather}
\gamma_n \iint _s ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} ) \cdot \VEC{a}_z dS
= \gamma_m \iint _s ( \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\end{gather}