1.11 補足
ローレンツの相反定理
誘電率
$\DYAi{\epsilon}$，および透磁率
$\DYAi{\mu}$
が対称ダイアディクスで与えられる場合について，ローレンツの相反定理を導出する．いま，閉じた面
$S$
で囲まれた領域
$V$
に電磁流源が存在するときの電磁界を考える．そこで，領域
$V$
に電流源
$\VEC{J}_a$，および等価磁流源
$\VEC{M}_a$
があるとき，電磁界を
$\VEC{E}_a$, $\VEC{H}_a$
とすると， Maxwellの方程式より，
\begin{gather}
\nabla \times \VEC{H}_a = j\omega \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a + \VEC{J}_a \label{Ha}
\\
-\nabla \times \VEC{E}_a = j\omega \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a + \VEC{M}_a \label{Ea}
\end{gather}
また，領域
$V$
に電流源
$\VEC{J}_b$，等価磁流源$\VEC{M}_b$
があるときの電磁界を
$\VEC{E}_b$, $\VEC{H}_b$
とすると，Maxwellの方程式より，
\begin{gather}
\nabla \times \VEC{H}_b = j\omega \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_b + \VEC{J}_b \label{Hb} \\
-\nabla \times \VEC{E}_b = j\omega \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_b + \VEC{M}_b \label{Eb}
\end{gather}
電界
$\VEC{E}_b$
と式\eqref{Ha}のスカラ積，磁界
$\VEC{H}_a$
と式\eqref{Eb}のスカラ積は各々，次のようになる．
これより，
$\VEC{E}_b$
と式\eqref{Ha}のスカラ積，および
$\VEC{H}_a$
と式\eqref{Eb}のスカラ積を求めると，
\begin{align}
&\VEC{E}_b \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_a )
= j\omega \VEC{E}_b \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
+ \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a
\\
&\VEC{H}_a \cdot ( -\nabla \times \VEC{E}_b )
= j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_b
+ \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b
\end{align}
両者の和を求めると，
\begin{align}
&\VEC{E}_b \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_a ) -\VEC{H}_a \cdot ( \nabla \times \VEC{E}_b )
\nonumber \\
&= j\omega \VEC{E}_b \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
+ \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a
+ j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_b + \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b
\label{eq:ebepea}
\end{align}
ベクトル公式
$\nabla \cdot ( \VEC{A} \times \VEC{B} )
= \VEC{B} \cdot ( \nabla \times \VEC{A} ) -\VEC{A} \cdot ( \nabla \times \VEC{B} ) $
を用いて変形すると，
\begin{align}
&\nabla \cdot ( \VEC{H}_a \times \VEC{E}_b )
= -\nabla \cdot ( \VEC{E}_b \times \VEC{H}_a )
\nonumber \\
&= j\omega \VEC{E}_b \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
+ j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_b
+ \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a + \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b \label{HaEb}
\end{align}
同様に電界
$\VEC{E}_a$
と式\eqref{Hb}のスカラ積，磁界
$\VEC{H}_b$
と式\eqref{Ea}のスカラ積を求めると，
\begin{align}
&\VEC{E}_a \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_b )
= j\omega \VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_b
+ \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b
\\
&\VEC{H}_b \cdot ( -\nabla \times \VEC{E}_a )
= j\omega \VEC{H}_b \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a
+ \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a
\end{align}
両者の和を求め，ベクトル公式を用いると，
\begin{align}
&\VEC{E}_a \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_b ) -\VEC{H}_b \cdot ( \nabla \times \VEC{E}_a )
\nonumber \\
&= \nabla \cdot ( \VEC{H}_b \times \VEC{E}_a )
= -\nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b )
\nonumber \\
&= j\omega \VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_b
+ j\omega \VEC{H}_b \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a
+ \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b
+ \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a \label{HbEa}
\end{align}
ここで，
$\DYAi{\epsilon}$，$\DYAi{\mu}$
は対称ダイアディクスであるから，次式が成り立つ．
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_b
&=& \VEC{E}_b \cdot \DYAi{\epsilon}_t \cdot \VEC{E}_a
\nonumber \\
&=& \VEC{E}_b \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_b
&=& \VEC{H}_b \cdot \DYAi{\mu}_t \cdot \VEC{H}_a
\nonumber \\
&=& \VEC{H}_b \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a
\end{eqnarray}
式\eqref{HaEb}$-$式\eqref{HbEa}を求め，上式を用いると，
\begin{align}
&\nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b - \VEC{E}_b \times \VEC{H}_a )
\nonumber \\
&= \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a + \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b
- \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b - \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a
\label{eq:Lorentz1}
\end{align}
これが，対称ダイアディクス
$\DYAi{\epsilon}$，$\DYAi{\mu}$
の媒質におけるローレンツの相反定理（Lorentz reciprocity theorem）である．さらに，式\eqref{eq:Lorentz1}を全ての電磁流源を含む領域
$V$
にわたって体積積分すると，
\begin{align}
&\iiint _V \nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b - \VEC{E}_b \times \VEC{H}_a ) dV
\nonumber \\
&= \iiint _V \left( \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a + \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b
- \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b - \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a \right) dV
\end{align}
発散定理を用いて体積積分を面積分に変換し，積分形式のローレンツの相反定理は，
\begin{align}
&\oiint _S ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b - \VEC{E}_b \times \VEC{H}_a ) \cdot d\VEC{S}
\nonumber \\
&= \iiint _V \left( \VEC{E}_b \cdot \VEC{J}_a + \VEC{H}_a \cdot \VEC{M}_b
- \VEC{E}_a \cdot \VEC{J}_b - \VEC{H}_b \cdot \VEC{M}_a \right) dV
\label{eq:Lorentz2}
\end{align}
モードの直交性について
電磁流源のない（$\VEC{J}_a = \VEC{J}_b = \VEC{M}_a = \VEC{M}_b = 0$）点では，
ローレンツの相反定理の式\eqref{eq:Lorentz1}の右辺はゼロとなり，
\begin{gather}
\nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b - \VEC{E}_b \times \VEC{H}_a ) = 0
\label{eq:Lorentz0}
\end{gather}
いま，円柱座標系
$(\VECi{\rho}, z)$
において $z$ 軸方向の伝搬定数 $\gamma_n$ の伝送波を考えると，電磁界は因子
$e^{\mp \gamma_n z}$
を含み
（$\VEC{r} = \VECi{\rho} + z \VEC{a}_z$），
\begin{align}
&\VEC{E}_a(\VECi{\rho},z)
\equiv \VEC{E}_n
\equiv \VECc{E}_{n}(\VECi{\rho}) e^{\mp \gamma_n z}
\\
&\VEC{H}_a(\VECi{\rho},z)
\equiv \VEC{H}_n
\equiv \pm \VECc{H}_n(\VECi{\rho}) e^{\mp \gamma_n z}
\end{align}
とおいて$n$次モード$\VECc{E}_n(\VECi{\rho})$，$\VECc{H}_n(\VECi{\rho})$を考え，また，
\begin{align}
&\VEC{E}_b(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{E}_m
\equiv \VECc{E}_m(\VECi{\rho}) e^{\mp \gamma_m z}
\\
&\VEC{H}_b(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{H}_m
\equiv \pm \VECc{H}_m(\VECi{\rho}) e^{\mp \gamma_m z}
\end{align}
とおいて$m$次モード
$\VECc{E}_m(\VECi{\rho})$，$\VECc{H}_m(\VECi{\rho})$
を考える（$n \neq m$）．ただし，
$\gamma _n$，$\gamma_m$
は，$n$ 次，$m$ 次モードの $\pm z$方向の伝搬定数を各々示す．これを用いて式\eqref{eq:Lorentz0}を求めると，
\begin{align}
&\nabla \cdot ( \VEC{E}_n \times \VEC{H}_m - \VEC{E}_m \times \VEC{H}_n ) = 0
\nonumber \\
&\left(\nabla_t + \VEC{a}_z \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot
\Big\{ \VECc{E}_n e^{\mp \gamma_n z} \times
(\pm \VECc{H}_m e^{\mp \gamma_m z}) - \VECc{E}_m e^{\mp \gamma_m z} \times
(\pm \VECc{H}_n e^{\mp \gamma_n z}) \Big\} = 0
\nonumber \\
&\nabla_t \cdot ( \VEC{E}_n \times \VEC{H}_m - \VEC{E}_m \times \VEC{H}_n )
\mp (\gamma_n + \gamma_m) \VEC{a}_z \cdot ( \VEC{E}_n \times \VEC{H}_m - \VEC{E}_m \times \VEC{H}_n ) =0
\nonumber \\
&\Big\{ \nabla_t \cdot ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n )
- (\gamma_n + \gamma_m) \VEC{a}_z \cdot ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n ) \Big\} e^{\mp (\gamma_n + \gamma_m)z} =0
\end{align}
上式第2項では，$\VEC{a}_z$
とのスカラ積を求めているので，電磁界の$z$成分は不要で，%次式が成り立つ．
\begin{align}
&\nabla_t \cdot ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n )
\nonumber \\
&- (\gamma_n + \gamma_m) \VEC{a}_z \cdot ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) =0
\end{align}
ここで，横断面内電磁界
$\VECc{E}_{t,n}$, $\VECc{E}_{t,n}$
は，
\begin{eqnarray}
\VECc{E}_n(\VECi{\rho}) &=& \VECc{E}_{t,n} + E_{z,n} \VEC{a}_z
\\
\VECc{H}_n(\VECi{\rho}) &=& \VECc{H}_{t,n} + H_{z,n} \VEC{a}_z
\end{eqnarray}
および
$\VECc{H}_{t,n}$, $\VECc{H}_{t,m}$
は，
\begin{eqnarray}
\VECc{E}_m(\VECi{\rho}) &=& \VECc{E}_{t,m} + E_{z,m} \VEC{a}_z
\\
\VECc{H}_m(\VECi{\rho}) &=& \VECc{H}_{t,m} + H_{z,m} \VEC{a}_z
\end{eqnarray}
導波路断面$S$で面積分すると，
\begin{align}
&\iint _S \nabla_t \cdot ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n ) dS
\nonumber \\
&= (\gamma_n + \gamma_m) \iint _S ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\end{align}
2次元の発散定理を用いると，
\begin{align}
&\oint _C ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n ) \cdot \VEC{n} d\sigma
\nonumber \\
&= (\gamma_n + \gamma_m) \iint _S ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\end{align}
導波路の管壁が完全導体の場合，
$\VEC{n} \times \VECc{E}_n = 0$
および
$\VEC{n} \times \VECc{E}_m = 0$
ゆえ，上式の周回積分はゼロである．また，導波路の管壁が完全導体ではないとき，管壁がインピーダンス境界として
$\VECc{E}_t = Z_s (\VEC{n} \times \VECc{H})$
で表される場合，これを考慮して計算すると，同様に周回積分はゼロとなる．よって，
\begin{gather}
(\gamma_n + \gamma_m) \iint _S ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS = 0
\label{eq:gnpgm}
\end{gather}
また，電磁界
$\VEC{E}_b$，$\VEC{H}_b$
として，
\begin{align}
&\VEC{E}_b(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{E}_m
\equiv \VECc{E}_m(\VECi{\rho}) e^{\pm \gamma_m z}
\\
&\VEC{H}_b(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{H}_m
\equiv \mp \VECc{H}_m(\VECi{\rho}) e^{\pm \gamma_m z}
\end{align}
を考えると，式\eqref{eq:Lorentz0}は次のようになる．
\begin{gather}
\left(\nabla_t + \VEC{a}_z \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot
\Big\{ \VECc{E}_n e^{\mp \gamma_n z} \times
(\mp \VECc{H}_m e^{\pm \gamma_m z}) - \VECc{E}_m e^{\pm \gamma_m z} \times
(\pm \VECc{H}_n e^{\mp \gamma_n z}) \Big\} = 0
\end{gather}
これより，
\begin{align}
&\nabla_t \cdot ( \VEC{E}_n \times \VEC{H}_m - \VEC{E}_m \times \VEC{H}_n )
\mp (\gamma_n - \gamma_m) \VEC{a}_z \cdot ( -\VEC{E}_n \times \VEC{H}_m - \VEC{E}_m \times \VEC{H}_n ) =0
\nonumber \\
&\nabla_t \cdot ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n )
= (\gamma_n - \gamma_m) \VEC{a}_z \cdot ( -\VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} )
\label{eq:Lorentz01}
\end{align}
同様にして，導波路断面$S$で面積分して，2次元の発散定理を用いると，
\begin{align}
&\iint _S \nabla_t \cdot ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n ) dS
\nonumber \\
&= \oint _C ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n ) \cdot \VEC{n} d\sigma
\nonumber \\
&= (\gamma_n - \gamma_m) \iint _S ( -\VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\end{align}
導波管断面の管壁に沿う周回積分はゼロゆえ，
\begin{gather}
(\gamma_n - \gamma_m) \iint _S( -\VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS = 0
\label{eq:gnmgm}
\end{gather}
式\eqref{eq:gnpgm}と式\eqref{eq:gnmgm}を連立させると，次のようなモードの直交性を表す式が得られる．
\begin{gather}
\iint _S \left( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} \right) \cdot \VEC{a}_z dS = 0
\\
\iint _S \left( \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} \right) \cdot \VEC{a}_z dS = 0
\end{gather}
なお，積分範囲を導波管断面の一部（面$s$，周回積分路$c$）とする場合は，周回積分はゼロにならないので，
\begin{align}
&\oint _c ( \VECc{E}_n \times \VECc{H}_m - \VECc{E}_m \times \VECc{H}_n ) \cdot \VEC{n} d\sigma
\nonumber \\
&= (\gamma_n + \gamma_m) \iint _s ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&= (\gamma_n - \gamma_m) \iint _s ( -\VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} - \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\neq 0
\end{align}
この場合は，次のような関係が得られる．
\begin{gather}
\gamma_n \iint _s ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m} ) \cdot \VEC{a}_z dS
= \gamma_m \iint _s ( \VECc{E}_{t,m} \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS
\end{gather}
無損失な場合
先と同様に
$\DYAi{\epsilon}_t = \DYAi{\epsilon}$，$\DYAi{\mu}_t = \DYAi{\mu}$
で，さらに媒質が無損失な場合
（$\DYAi{\epsilon}^* = \DYAi{\epsilon}$, $\DYAi{\mu}^* = \DYAi{\mu}$）
を考える．電磁流源がない場合
（$\VEC{J}_a = \VEC{J}_b = \VEC{M}_a = \VEC{M}_b = 0$），
Maxwellの方程式の複素共役は，
\begin{align}
&\big( \nabla \times \VEC{H}_b \big)^*
= \big( j\omega \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_b \big)^*
\\
&\big( -\nabla \times \VEC{E}_b \big)^*
= \big( j\omega \DYAi{\mu}^* \cdot \VEC{H}_b \big)^*
\end{align}
ただし，$( \ )^*$は共役複素数を示す．
これを基にして次のような電磁界を考える．
\begin{align}
&\nabla \times \VEC{H}_a = j\omega \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
\\
&-\nabla \times \VEC{E}_a = j\omega \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a
\end{align}
\begin{align}
&\nabla \times \VEC{H}_b^*
= -j\omega \DYAi{\epsilon}^* \cdot \VEC{E}_b^*
\\
&-\nabla \times \VEC{E}_b^*
= -j\omega \DYAi{\mu}^* \cdot \VEC{H}_b^*
\end{align}
これより，$\VEC{E}_b^*$
のスカラ積，および
$\VEC{H}_a$
のスカラ積は各々次のようになる．
\begin{align}
&\VEC{E}_b^* \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_a )
= j\omega \VEC{E}_b^* \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
\\
&\VEC{H}_a \cdot ( -\nabla \times \VEC{E}_b^* )
= -j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu}^* \cdot \VEC{H}_b^*
\end{align}
両者の和をとると，
\begin{align}
&\VEC{E}_b^* \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_a ) -\VEC{H}_a \cdot ( \nabla \times \VEC{E}_b^* )
\nonumber \\
&= j\omega \VEC{E}_b^* \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
- j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu}^* \cdot \VEC{H}_b^*
\end{align}
ベクトル公式より，
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot ( \VEC{H}_a \times \VEC{E}_b^* )
&=& -\nabla \cdot ( \VEC{E}_b^* \times \VEC{H}_a )
\nonumber \\
&=& j\omega \VEC{E}_b^* \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
- j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu}^* \cdot \VEC{H}_b^*
\label{eq:ast1}
\end{eqnarray}
同様にして，
$\VEC{E}_a$
のスカラ積，および
$\VEC{H}_b^*$
のスカラ積を求めると，
\begin{gather}
\VEC{E}_a \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_b^* )
= -j\omega \VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon}^* \cdot \VEC{E}_b^*
\\
\VEC{H}_b^* \cdot ( -\nabla \times \VEC{E}_a )
= j\omega \VEC{H}_b^* \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a
\end{gather}
両者の和をとり，ベクトル公式を用いると，
\begin{align}
&\VEC{E}_a \cdot ( \nabla \times \VEC{H}_b^* )
-\VEC{H}_b^* \cdot ( \nabla \times \VEC{E}_a )
\nonumber \\
&= \nabla \cdot ( \VEC{H}_b^* \times \VEC{E}_a )
= -\nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b^* )
\nonumber \\
&= -j\omega \VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon}^* \cdot \VEC{E}_b^*
+ j\omega \VEC{H}_b^* \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a
\label{eq:ast2}
\end{align}
式\eqref{eq:ast1}および式\eqref{eq:ast2}より，
\begin{align}
&-\nabla \cdot ( \VEC{E}_b^* \times \VEC{H}_a )
-\nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b^* )
\nonumber \\
&= j\omega \VEC{E}_b^* \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
- j\omega \VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu}^* \cdot \VEC{H}_b^*
-j\omega \VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon}^* \cdot \VEC{E}_b^*
+ j\omega \VEC{H}_b^* \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a
\end{align}
ここで，
$\DYAi{\epsilon}^*_t = \DYAi{\epsilon}$，
$\DYAi{\mu}^*_t = \DYAi{\mu}$
ゆえ，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}_a \cdot \DYAi{\epsilon}^* \cdot \VEC{E}_b^*
&=& \VEC{E}_b^* \cdot \DYAi{\epsilon}_t^* \cdot \VEC{E}_a
\nonumber \\
&=& \VEC{E}_b^* \cdot \DYAi{\epsilon} \cdot \VEC{E}_a
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\VEC{H}_a \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_b^*
&=& \VEC{H}_b^* \cdot \DYAi{\mu}_t^* \cdot \VEC{H}_a
\nonumber \\
&=& \VEC{H}_b^* \cdot \DYAi{\mu} \cdot \VEC{H}_a
\end{eqnarray}
これより，次式が得られる．
\begin{gather}
\nabla \cdot ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b^* + \VEC{E}_b^* \times \VEC{H}_a )
= 0
\label{eq:Lorentz_lossless0}
\end{gather}
また，積分形式では，
\begin{gather}
\oiint _S ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b^* + \VEC{E}_b^* \times \VEC{H}_a ) \cdot d\VEC{S} = 0
\label{eq:Lorentz_lossless}
\end{gather}
これらの式は，
$\DYAi{\epsilon}_t = \DYAi{\epsilon} = \DYAi{\epsilon}^*$,
$\DYAi{\mu}_t = \DYAi{\mu} = \DYAi{\mu}^*$の媒質において
電磁流源がない場合にローレンツの相反定理を応用した例である．同様にして，円柱座標系
$(\VECi{\rho}, z)$
において次のような電磁界の複素共役を考える．
\begin{align}
&\VEC{E}_b^*(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{E}_m^*
\equiv \VECc{E}_m^*(\VECi{\rho}) e^{\mp \gamma_m^* z}
\\
&\VEC{H}_b^*(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{H}_m^*
\equiv \pm \VECc{H}_m^*(\VECi{\rho}) e^{\mp \gamma_m^* z}
\end{align}
ここで，
\begin{align}
&\VECc{E}_m^*(\VECi{\rho}) = \VECc{E}_{t,m}^* + E_{z,m}^* \VEC{a}_z
\\
&\VECc{H}_m^*(\VECi{\rho}) = \VECc{H}_{T,m}^* + H_{z,m}^* \VEC{a}_z
\end{align}
これより，式\eqref{eq:Lorentz_lossless0}は（導出省略），
\begin{gather}
(\gamma_n + \gamma_m^*) \iint _S ( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m}^*
+ \VECc{E}_{t,m}^* \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS = 0
\end{gather}
あるいは，次のような電磁界の複素共役を考えると，
\begin{align}
&\VEC{E}_b^*(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{E}_m^*
\equiv \VECc{E}_m^*(\VECi{\rho}) e^{\pm \gamma_m^* z}
\\
&\VEC{H}_b^*(\VECi{\rho},z) \equiv \VEC{H}_m^*
\equiv \mp \VECc{H}_m^*(\VECi{\rho}) e^{\pm \gamma_m^* z}
\end{align}
式\eqref{eq:Lorentz_lossless0}は次のようになる（導出省略）．
\begin{gather}
(\gamma_n - \gamma_m^*) \iint _S ( -\VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m}^*
+ \VECc{E}_{t,m}^* \times \VECc{H}_{t,n} ) \cdot \VEC{a}_z dS = 0
\end{gather}
これらを連立させると，$m$次モードを複素共役とする直交性が得られる．
\begin{gather}
\iint _S \left( \VECc{E}_{t,n} \times \VECc{H}_{t,m}^* \right) \cdot \VEC{a}_z dS = 0
\\
\iint _S \left( \VECc{E}_{t,m}^* \times \VECc{H}_{t,n} \right) \cdot \VEC{a}_z dS = 0
\end{gather}
相反回路
対称ダイアディクス$\DYAi{\epsilon}$，$\DYAi{\mu}$の媒質において，
面$S$に囲まれた領域$V$に電磁流源がない場合，
式\eqref{eq:Lorentz2}の積分形式のローレンツの相反定理は次のようになる．
\begin{gather}
\oiint _S ( \VEC{E}_a \times \VEC{H}_b
- \VEC{E}_b \times \VEC{H}_a ) \cdot d\VEC{S} =0
\label{eq:Lorentz00}
\end{gather}
いま，単一モードの多端子対回路網を考え，
異なる2つの励振条件において，
端子面の横断面内電磁界を次にように定義する．
\begin{gather}
\VEC{E}_a \Big| _{S_i} \equiv \check{V}_a^{(i)} \VECc{E}_t^{(i)}
\\
\VEC{H}_a \Big| _{S_i} \equiv \check{I}_a^{(i)} \VECc{H}_t^{(i)}
\end{gather}
\begin{gather}
\VEC{E}_b \Big| _{S_i} \equiv \check{V}_b^{(i)} \VECc{E}_t^{(i)}
\\
\VEC{H}_b \Big| _{S_i} \equiv \check{I}_b^{(i)} \VECc{H}_t^{(i)}
\end{gather}
ただし，$S_i$は端子 #$i$における断面を示す．これより，式\eqref{eq:Lorentz00}は，
\begin{gather}
\sum_{i} \iint _{S_i} \left( \check{V}_a^{(i)} \VECc{E}_t^{(i)} \times \check{I}_b^{(i)} \VECc{H}_t^{(i)}
- \check{V}_b^{(i)} \VECc{E}_t^{(i)} \times \check{I}_a^{(i)} \VECc{H}_t^{(i)} \right) \cdot d\VEC{S} =0
\end{gather}
整理して，
\begin{gather}
\sum_{i} (\check{V}_a^{(i)} \check{I}_b^{(i)} - \check{V}_b^{(i)} \check{I}_a^{(i)} )
\iint _{S_i} ( \VECc{E}_t^{(i)} \times \VECc{H}_t^{(i)} ) \cdot d\VEC{S} =0
\label{eq:vaib}
\end{gather}
ここで，次の列ベクトル
\begin{gather}
\check{\VECi{V}}^a \equiv
\begin{pmatrix}
\check{V}_a^{(1)} \\ \check{V}_a^{(2)} \\ \vdots
\end{pmatrix}, \ \ \ \
\check{\VECi{I}}^b \equiv
\begin{pmatrix}
\check{I}_b^{(1)} \\ \check{I}_b^{(2)} \\ \vdots
\end{pmatrix}, \ \ \ \
\check{\VECi{V}}^b \equiv
\begin{pmatrix}
\check{V}_b^{(1)} \\ \check{V}_b^{(2)} \\ \vdots
\end{pmatrix}, \ \ \ \
\check{\VECi{I}}^a \equiv
\begin{pmatrix}
\check{I}_a^{(1)} \\ \check{I}_a^{(2)} \\ \vdots
\end{pmatrix}
\end{gather}
および対角行列
\begin{gather}
\big[ Q \big] \equiv
\begin{pmatrix}
Q^{(1)} & 0 & \cdots \\
0 & Q^{(2)} & \cdots & \\
\vdots & \vdots & \ddots \\
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
Q^{(i)} \equiv
\int _{S_i} ( \VECc{E}_t^{(i)} \times \VECc{H}_t^{(i)} ) \cdot d\VEC{S}
\end{gather}
を定義して，式\eqref{eq:vaib}を表すと
（$\check{\VECi{V}}^a_T$，$\check{\VECi{I}}^a_T$
は，
$\check{\VECi{V}}^a$，$\check{\VECi{I}}^a$の転置），
\begin{gather}
\check{\VECi{V}}^a_T \big[ Q \big] \check{\VECi{I}}^b
- \check{\VECi{I}}^a_T \big[ Q \big] \check{\VECi{V}}^b = 0
\label{eq:ibtqva}
\end{gather}
このとき，インピーダンス行列
$\big[ \check{\VECi{Z}} \big]$（行列要素は$\check{Z}_{ij}$）
が
$\check{\VECi{V}} = \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \check{\VECi{I}}$
で定義されているとき，
\begin{align}
&\check{\VECi{V}}^a = \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \check{\VECi{I}}^a
\\
&\check{\VECi{V}}^a_T = \left( \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \check{\VECi{I}}^a \right)_T
= \check{\VECi{I}}^a_T \big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T
\\
&\check{\VECi{V}}^b = \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \check{\VECi{I}}^b
\end{align}
ただし，$\big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T $は$\big[ \check{\VECi{Z}} \big]$の転置を示す.
これより，式\eqref{eq:ibtqva}を変形して，
\begin{align}
&\check{\VECi{I}}^a_T \big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T \big[ Q \big] \check{\VECi{I}}^b
- \check{\VECi{I}}^a_T \big[ Q \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \check{\VECi{I}}^b = 0
\nonumber \\
&\check{\VECi{I}}^a_T \Big( \big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T \big[ Q \big]
- \big[ Q \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \Big) \check{\VECi{I}}^b = 0
\label{eq:iatib}
\end{align}
$\check{\VECi{I}}^a_T \neq 0$，$\check{\VECi{I}}^b \neq 0$ゆえ，
\begin{gather}
\big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T \big[ Q \big]
- \big[ Q \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] = 0
\end{gather}
ここで，対角行列を次にようにおく．
\begin{gather}
\big[ \sqrt{Q} \big] =
\begin{pmatrix}
\sqrt{Q^{(1)}} & 0 & \cdots \\
0 & \sqrt{Q^{(2)}} & \cdots & \\
\vdots & \vdots & \ddots \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
\begin{gather}
\big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} =
\begin{pmatrix}
1/\sqrt{Q^{(1)}} & 0 & \cdots \\
0 & 1/\sqrt{Q^{(2)}} & \cdots & \\
\vdots & \vdots & \ddots \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
これより，
\begin{gather}
\big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} \left\{ \big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T \big[ Q \big]
- \big[ Q \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \right\} \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} = 0
\nonumber \\
\big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} \big[ \check{\VECi{Z}} \big]_T \big[ \sqrt{Q} \big]
- \big[ \sqrt{Q} \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} = 0
\nonumber \\
\left( \big[ \sqrt{Q} \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} \right)_T
= \big[ \sqrt{Q} \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1}
\end{gather}
よって，対称な行列
$\big[ \VECi{Z} \big]$
が次のように定義できる．
\begin{gather}
\big[ \VECi{Z} \big]
\equiv \big[ \sqrt{Q} \big] \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1}
= \big[ \VECi{Z} \big]_T
\end{gather}
逆は，
\begin{gather}
\big[ \check{\VECi{Z}} \big]
= \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} \big[ \VECi{Z} \big] \big[ \sqrt{Q} \big]
\end{gather}
これを用いるとインピーダンス行列に関する式は，
\begin{align}
&\check{\VECi{V}} = \big[ \check{\VECi{Z}} \big] \check{\VECi{I}}
= \big[ \sqrt{Q} \big]^{-1} \big[ \VECi{Z} \big] \big[ \sqrt{Q} \big] \check{\VECi{I}}
\nonumber \\
&\big[ \sqrt{Q} \big] \check{\VECi{V}}
= \big[ \VECi{Z} \big] \big[ \sqrt{Q} \big] \check{\VECi{I}}
\end{align}
そこで，対称行列で表されるインピーダンス行列
$\big[ \VECi{Z} \big]$
より，
\begin{gather}
\VECi{V} \equiv \big[ \sqrt{Q} \big] \check{\VECi{V}}
\\
\VECi{I} \equiv \big[ \sqrt{Q} \big] \check{\VECi{I}}
\label{eq:vqviqi}
\end{gather}
を定義する．よって，
\begin{gather}
\VECi{V} = \big[ \VECi{Z} \big] \VECi{I}
\\
\big[ \VECi{Z} \big]_T = \big[ \VECi{Z} \big]
\end{gather}
ここで，
\begin{align}
&\VECi{V} =
\begin{pmatrix}
V^{(1)} \\ V^{(2)} \\ \vdots
\end{pmatrix}
\\
&\big[ \VECi{Z} \big] =
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} & \cdots \\
Z_{21} & Z_{22} & \cdots & \\
\vdots & \vdots & \ddots \\
\end{pmatrix}
\\
&\VECi{I} =
\begin{pmatrix}
I^{(1)} \\ I^{(2)} \\ \vdots
\end{pmatrix}
\end{align}
これより，式\eqref{eq:ibtqva}は次のようになる．
\begin{gather}
\VECi{V}^a_T \ \VECi{I}^b - \VECi{I}^a_T \ \VECi{V}^b = 0
\label{eq:vatib}
\end{gather}
もう一度，対称行列となることを確認すると，
$\VECi{V} = \big[ \VECi{Z} \big] \VECi{I}$より，
\begin{gather}
\left( \big[ \VECi{Z} \big] \VECi{I}^a \right)_T \ \VECi{I}^b
- \VECi{I}^a_T \left( \big[ \VECi{Z} \big] \VECi{I}^b \right)
= \VECi{I}^a_T
\Big( \big[ \VECi{Z} \big]_T - \big[ \VECi{Z} \big] \Big)
\VECi{I}^b = 0
\end{gather}
\begin{gather}
\therefore
\big[ \VECi{Z} \big]_T = \big[ \VECi{Z} \big]
\end{gather}