1.6 ポクリントンの積分方程式
電磁流源がある場合のMaxwellの方程式は，
\begin{align}
&\nabla \times \VEC{E}
= -j \omega \mu \VEC{H} - \VEC{K}
\\
&\nabla \times \VEC{H}
= j \omega \epsilon \VEC{E} + \VEC{J}
\end{align}
磁気的ベクトルポテンシャル $\VEC{A}$ とそのスカラーポテンシャル $V$，
電気的ベクトルポテンシャル $\VEC{F}$ とそのスカラーポテンシャル $U$ を用いて，電界
$\VEC{E}$ および磁界 $\VEC{H}$ は，
\begin{eqnarray}
\VEC{E} &=& -j\omega \VEC{A} - \nabla V - \frac{1}{\epsilon} \nabla \times \VEC{F}
\label{eq:E}
\\
\VEC{H} &=& -j\omega \VEC{F} - \nabla U + \frac{1}{\mu} \nabla \times \VEC{A}
\label{eq:H}
\end{eqnarray}
ここで，ローレンツ・ゲージ（Lorenz gauge）（ローレンツの条件）は，
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \VEC{A} &=& -j \omega \mu \epsilon V
\\
\nabla \cdot \VEC{F} &=& -j \omega \mu \epsilon U
\end{eqnarray}
いま，$\mu = \mu_0$，磁荷 $m$，磁流 $\VEC{K}$ がない場合（$m=0$，$\VEC{K}=0$），
$\VEC{F}=0$，$U = 0$．また，直線状の線状導体の散乱問題を考え，電流
$\VEC{J}$ は $z$ 方向成分のみをもつとすると，
$\VEC{J} = J \VEC{a}_z$．これより，磁気的ベクトルポテンシャルも$z$成分のみで，
$\VEC{A} = A_z \VEC{a}_z$ となる．よって，式\eqref{eq:E}より電界 $\VEC{E}$ は，
\begin{gather}
\VEC{E} = -j\omega (A_z \VEC{a}_z) - \nabla V
\end{gather}
電界の $z$ 成分 $E_z$ は，
\begin{eqnarray}
E_z &=& \VEC{E} \cdot \VEC{a}_z
\nonumber \\
&=& -j\omega (A_z \VEC{a}_z) \cdot \VEC{a}_z - (\nabla V) \cdot \VEC{a}_z
\nonumber \\
&=& -j\omega A_z - \frac{\partial V}{\partial z}
\label{eq:Ez}
\end{eqnarray}
一方，
\begin{eqnarray}
&&\nabla \cdot \VEC{A}
\nonumber \\
&=& \nabla \cdot (A_z \VEC{a}_z)
\nonumber \\
&=& (\nabla A_z) \cdot \VEC{a}_z
\nonumber \\
&=& \frac{\partial A_z}{\partial z}
= -j \omega \mu \epsilon V
\end{eqnarray}
上式を $z$ で微分すると，
\begin{align}
&\frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}
= -j \omega \mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial z}
\nonumber \\
&\therefore \frac{\partial V}{\partial z}
= -\frac{1}{j \omega \mu \epsilon} \frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}
\end{align}
これを，式\eqref{eq:Ez}に代入すると，
\begin{eqnarray}
E_z &=& -j\omega A_z + \frac{1}{j \omega \epsilon \mu} \frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{j \omega \epsilon \mu} \left( \omega^2 \epsilon \mu A_z + \frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} \right)
\end{eqnarray}
ここで，$k^2 = \omega^2 \epsilon \mu$ とおき，
\begin{gather}
E_z = \frac{1}{j \omega \epsilon \mu} \left( \frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} + k^2 A_z \right)
\label{eq:Ez_Az}
\end{gather}
磁気的ベクトルポテンシャル $\VEC{A}$ の積分形より，$d\VEC{A}$ は，
\begin{gather}
d\VEC{A}(\VEC{r}) = \mu G(\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{J}(\VEC{r}') dv'
\end{gather}
電流 $\VEC{J}$ は $z$ 成分 $J$ のみゆえ，
\begin{gather}
dA_z(\VEC{r}) = \mu G(\VEC{r},\VEC{r}') J(\VEC{r}') dv'
\end{gather}
式\eqref{eq:Ez_Az}より，
\begin{eqnarray}
dE_z
&=& \frac{1}{j \omega \epsilon \mu} \left\{ \frac{\partial^2}{\partial z^2} (\mu G J dv') + k^2 (\mu G J dv') \right\}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{j \omega \epsilon} \left( \frac{\partial^2G}{\partial z^2} + k^2G \right) J dv'
\end{eqnarray}
体積積分して，
\begin{gather}
E_z = \frac{1}{j \omega \epsilon} \iiint \left( \frac{\partial^2G}{\partial z^2} + k^2G \right) J dv'
\end{gather}
ここで，観測点を $z$ 軸上にとると位置ベクトル $\VEC{r}$ は，
\begin{gather}
\VEC{r} = z \VEC{a}_z
\end{gather}
また，半径 $a$ の円筒側面に電流源があるとき，その位置ベクトル $\VEC{r}'$ は，
\begin{gather}
\VEC{r}' = a \VEC{a}_\rho + z' \VEC{a}_z
\end{gather}
この2点間の距離 $R$ は，
\begin{eqnarray}
R = \left| \VEC{r}-\VEC{r}' \right|
= \left| -a\VEC{a}_\rho + (z-z') \VEC{a}_z \right|
= \sqrt{a^2 + (z-z')^2}
\end{eqnarray}
円筒座標系 $(\rho, \phi, z)$ において $\rho=a$ の円筒側面（円筒の長さは $L$）にのみ面電流が軸方向に流れているとき，面積分となって，
\begin{eqnarray}
E_z &=& \frac{1}{j \omega \epsilon} \iint \left( \frac{\partial^2G}{\partial z^2} + k^2G \right) J dS'
\nonumber \\
&=& \frac{1}{j \omega \epsilon} \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \int_0^{2\pi}
\left( \frac{\partial^2G}{\partial z^2} + k^2G \right) J a d\phi dz'
\nonumber \\
&=& \frac{a}{j \omega \epsilon} \int_0^{2\pi} d\phi
\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left( \frac{\partial^2G}{\partial z^2} + k^2G \right) Jdz'
\nonumber \\
&=& \frac{2\pi a}{j \omega \epsilon}
\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left( \frac{\partial^2G}{\partial z^2} + k^2G \right) Jdz'
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
J = \frac{I}{2\pi a}
\end{gather}
とおくと，
\begin{gather}
E_z(z) = \frac{1}{j \omega \epsilon}
\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left( \frac{\partial^2G(z,z')}{\partial z^2} + k^2G(z,z') \right) I(z') dz'
\end{gather}
円筒は完全導体とすると，電界の接線成分はゼロゆえ，円筒側面上の入射波
$\VEC{E}_{\mathrm{inc}}$ と散乱波
$\VEC{E}_{\mathrm{scattering}}$ のベクトル和の接線成分が次のようにゼロになる．
\begin{gather}
\left( \VEC{E}_{\mathrm{inc}} + \VEC{E}_{\mathrm{scattering}} \right) _{\mathrm{tan}}= 0
\end{gather}
散乱波の $z$ 成分が $E_z$ ゆえ，入射波の $z$ 成分を $E_z^{\mathrm{inc}}$ とすると，次式が成り立つ．
\begin{gather}
E_z^{\mathrm{inc}}(z) = -\frac{1}{j \omega \epsilon}
\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left( \frac{\partial^2G(z,z')}{\partial z^2} + k^2G(z,z') \right) I(z') dz'
\end{gather}
これをポクリントンの積分方程式（Pocklington's integral equation）$^\dagger$という．
$\dagger$ G. A. Thiele, “Wire antennas,”
in Computer Techniques for Electromagnetics, Chapter 2, R. Mittra, Ed., Permagon (1973).
【問題】ポクリントンの積分方程式の被積分関数について，自由空間のグリーン関数の微分を実行せよ．
略解
\begin{gather}
\frac{\partial^2G(z,z')}{\partial z^2} + k^2G(z,z')
= \frac{e^{-jkR}}{R^5} \left\{ (1+jkR)(2R^2-3a^2)+(kRa)^2 \right\}
\end{gather}
ここで，
\begin{gather}
R = \sqrt{a^2 + (z-z')^2}
\end{gather}