1.5 体積等価定理
等価電磁流源
線形，等方性の媒質（誘電率 $\epsilon$，透磁率 $\mu$）において，Maxwellの方程式は，
\begin{align}
&\nabla \times \VEC{E} = -j \omega \mu \VEC{H}
\label{eq:nablaE}
\\
&\nabla \times \VEC{H} = \VEC{J} + j \omega \epsilon \VEC{E}
\label{eq:nablaH}
\end{align}
同じ電流源 $\VEC{J}$ を，自由空間（誘電率 $\epsilon_0$，透磁率 $\mu_0$）においたとき，Maxwellの方程式は，
\begin{align}
&\nabla \times \VEC{E}_0 = -j \omega \mu_0 \VEC{H}_0
\label{eq:nablaE0}
\\
&\nabla \times \VEC{H}_0 = \VEC{J} + j \omega \epsilon_0 \VEC{E}_0
\label{eq:nablaH0}
\end{align}
いま，両者の電磁界の差（散乱波）を，
\begin{eqnarray}
\VEC{E}^s &\equiv& \VEC{E} - \VEC{E}_0
\\
\VEC{H}^s &\equiv& \VEC{H} - \VEC{H}_0
\end{eqnarray}
とおいて，式\eqref{eq:nablaE}$-$式\eqref{eq:nablaE0}より，
\begin{align}
&\nabla \times \VEC{E} - \nabla \times \VEC{E}_0
= -j \omega \mu \VEC{H} + j \omega \mu_0 \VEC{H}_0
\nonumber \\
&\nabla \times (\VEC{E} - \VEC{E}_0 )
= -j \omega \mu_0 (\VEC{H} - \VEC{H}_0 ) + j \omega \mu_0 \VEC{H} - j \omega \mu \VEC{H}
\nonumber \\
&\therefore
\nabla \times \VEC{E}^{s}
= -j \omega \mu_0 \VEC{H}^{s} - j \omega (\mu - \mu_0) \VEC{H}
\end{align}
同様にして，式\eqref{eq:nablaH}$-$式\eqref{eq:nablaH0}より，
\begin{align}
&\nabla \times \VEC{H} - \nabla \times \VEC{H}_0
= j \omega \epsilon \VEC{E} - j \omega \epsilon_0 \VEC{E}_0
\nonumber \\
&\nabla \times (\VEC{H} - \VEC{H}_0 )
= j \omega \epsilon_0 (\VEC{E} - \VEC{E}_0 ) - j \omega \epsilon_0 \VEC{E} + j \omega \epsilon \VEC{E}
\nonumber \\
&\therefore
\nabla \times \VEC{H}^{s}
= j \omega \epsilon_0 \VEC{E}^{s} + j \omega (\epsilon - \epsilon_0) \VEC{E}
\end{align}
得られた式を，
\begin{align}
&\nabla \times \VEC{E}^{s}
= -j \omega \mu_0 \VEC{H}^{s} - \VEC{K}_{eq}
\\
&\nabla \times \VEC{H}^{s}
= j \omega \epsilon_0 \VEC{E}^{s} + \VEC{J}_{eq}
\end{align}
とおくと，媒質の違いによって生じている散乱波を，自由空間中の体積等価波源（polarization currentsともいう）によって生じる式として表すことができ，
$\VEC{K}_{eq}$ は等価磁流源（equivalent magnetic current），
$\VEC{J}_{eq}$ は等価電流源（equivalent electric current）を示し，
\begin{eqnarray}
\VEC{K}_{eq} &=& j \omega (\mu - \mu_0) \VEC{H}
\\
\VEC{J}_{eq} &=& j \omega (\epsilon - \epsilon_0) \VEC{E}
\end{eqnarray}
これを体積等価定理（volume equivalent theorem）$^\dagger$という．
$\dagger$ G. A. Thiele, “Wire antennas,”
in Computer Techniques for Electromagnetics, Chapter 2, R. Mittra, Ed., Permagon (1973).
良導体
誘電率が
\begin{gather}
\epsilon = \epsilon' - j\frac{\sigma}{\omega}
\end{gather}
のとき，等価電流源 $\VEC{J}_{eq}$ は，
\begin{eqnarray}
\VEC{J}_{eq}
&=& j \omega (\epsilon - \epsilon_0) \VEC{E}
\nonumber \\
&=& j \omega \left( \epsilon' - j\frac{\sigma}{\omega} - \epsilon_0 \right) \VEC{E}
\nonumber \\
&=& \left\{ \sigma + j \omega (\epsilon' - \epsilon_0) \right\} \VEC{E}
\end{eqnarray}
複素誘電率の虚部が十分小さい場合，
\begin{gather}
\VEC{J}_{eq} \simeq \sigma \VEC{E}
\end{gather}
強磁性体でなければ，$\mu \simeq \mu_0$ ゆえ，
\begin{gather}
\VEC{K}_{eq} \simeq 0
\end{gather}
良導体（good conductor）はたいていこのような特性となる．