1.1 電磁波超入門
磁気的ベクトルポテンシャル
電流 $\VEC{J}$ を考え，磁気的ベクトルポテンシャル（magnetic vector potential）
$\VEC{A}$
を定義すると，次式が成り立つ（$k$ は波数）．
\begin{gather}
(\nabla ^2 + k^2) \VEC{A} = -\mu \VEC{J}
\end{gather}
これより，磁界 $\VEC{H}$ および電界 $\VEC{E}$ は，
\begin{eqnarray}
\VEC{H} &=& \frac{1}{\mu} \nabla \times \VEC{A}
\\
\VEC{E} &=& -j \omega \left( \VEC{A} + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \VEC{A} \right)
\end{eqnarray}
双対性
磁流 $\VEC{M}$ を考えると，電気的ベクトルポテンシャル（electric vector potential）
$\VEC{F}$ が定義できる．上式に対して次の双対性（concept of duality）
\begin{align}
&\VEC{A} \to \VEC{F}
\nonumber \\
&\VEC{J} \to \VEC{M}
\nonumber \\
&\VEC{E} \to \VEC{H}
\nonumber \\
&\VEC{H} \to -\VEC{E}
\nonumber \\
&\epsilon \to \mu
\nonumber \\
&\mu \to \epsilon
\nonumber
\end{align}
を適用すれば，次式が得られる．
\begin{gather}
(\nabla ^2 + k^2) \VEC{F} = -\epsilon \VEC{M}
\end{gather}
また，
\begin{eqnarray}
\VEC{E} &=& - \frac{1}{\epsilon} \nabla \times \VEC{F}
\\
\VEC{H} &=& -j \omega \left( \VEC{F} + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \VEC{F} \right)
\end{eqnarray}
平面波
電磁流源がない場合，ベクトルポテンシャルを $\psi (\VEC{r}) \VEC{u}_z$ とおくと，
\begin{gather}
\Big( \nabla ^{2} +k^{2} \Big) \psi (\VEC{r})=0
\end{gather}
直角座標系 $(x,y,z)$ を考え，変数分離形
\begin{gather}
\psi (\VEC{r}) \equiv X(x) Y(y) Z(z)
\end{gather}
とすると，
\begin{gather}
\left( \frac {d^2}{d x^2} + k^2_x \right) X(x) = 0
\\
\left( \frac {d^2}{d y^2} + k^2_y \right) Y(y) = 0
\\
\left( \frac {d^2}{d z^2} + k^2_z \right) Z(z) = 0
\end{gather}
ただし，
\begin{gather}
k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2
\end{gather}
よって，$X(x)$ の解としては $e^{\pm jk_x x}$，$Y(y)$ は $e^{\pm jk_y y}$，
$Z(x)$ は $e^{\pm jk_z z}$ を考えればよい．
したがって，
$\pm \VEC{u}_r$ 方向に伝搬する平面波は，
\begin{eqnarray}
\psi (\VEC{r})
&=& e^{\mp jk_x x} e^{\mp jk_y y} e^{\mp jk_z z}
\nonumber \\
&=& e^{\mp j\VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho}} e^{\mp jk_z z}
\nonumber \\
&=& e^{\mp j\VEC{k} \cdot \VEC{r}}
\nonumber \\
&=& e^{\mp jk\VEC{u}_r \cdot \VEC{r}}
\end{eqnarray}
ここで，$\VEC{k}$ は波数ベクトル，$\VEC{r}$ は位置ベクトルを示し，
\begin{eqnarray}
\VEC{k}
&=& k \VEC{u}_r
\nonumber \\
&=& k_t \VEC{u}_t + k_z \VEC{u}_z
\nonumber \\
&=& k_x \VEC{u}_x + k_y \VEC{u}_y + k_z \VEC{u}_z
\\
\VEC{r}
&=& \VECi{\rho} + z \VEC{u}_z
\nonumber \\
&=& x \VEC{u}_x + y \VEC{u}_y + z \VEC{u}_z
\end{eqnarray}