電流 $\VEC{J}$ を考え，磁気的ベクトルポテンシャル（magnetic vector potential）$\VEC{A} \equiv \nabla \times \VEC{B}$ を定義すると，次式が成り立つ（$\VEC{B}$は磁束密度，$k$ は波数）．
\begin{equation} (\nabla^2 + k^2) \VEC{A} = -\mu \VEC{J} \end{equation}
$\VEC{B} = \mu \VEC{H}$より，磁界 $\VEC{H}$ および電界 $\VEC{E}$ は，
\begin{eqnarray} \VEC{H} &=& \frac{1}{\mu} \nabla \times \VEC{A}, \\ \VEC{E} &=& -j \omega \Bigl( \VEC{A} + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \VEC{A} \Bigr) \end{eqnarray}
磁流 $\VEC{M}$ を考えると，電気的ベクトルポテンシャル（electric vector potential）$\VEC{F}$ が定義できる． 上式に対して次の双対性（concept of duality）を適用すれば，
\begin{align} \VEC{A} &\to \VEC{F}, \nonumber \\ \VEC{J} &\to \VEC{M}, \nonumber \\ \VEC{E} &\to \VEC{H}, \nonumber \\ \VEC{H} &\to -\VEC{E}, \nonumber \\ \epsilon &\to \mu, \nonumber \\ \mu &\to \epsilon. \nonumber \end{align}
を適用すれば，次式が得られる．
\begin{equation} (\nabla^2 + k^2) \VEC{F} = -\epsilon \VEC{M} \end{equation}
また，
\begin{eqnarray} \VEC{E} &=& - \frac{1}{\epsilon} \nabla \times \VEC{F}, \\ \VEC{H} &=& -j \omega \Bigl( \VEC{F} + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \VEC{F} \Bigr) \end{eqnarray}
電磁流源がない場合，ベクトルポテンシャルを $\psi (\VEC{r})\,\VEC{u}_z$ とおくと，
\begin{equation} \Bigl( \nabla^2 + k^2 \Bigr) \psi (\VEC{r}) = 0. \end{equation}
直角座標系 $(x,y,z)$ を考え，変数分離形
\begin{equation} \psi (\VEC{r}) = X(x)\, Y(y)\, Z(z) \end{equation}
とすると，
\begin{eqnarray} \frac{d^2X}{dx^2} + k_x^2\, X(x) &=& 0, \\ \frac{d^2Y}{dy^2} + k_y^2\, Y(y) &=& 0, \\ \frac{d^2Z}{dz^2} + k_z^2\, Z(z) &=& 0. \end{eqnarray}
ただし，
\begin{equation} k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2. \end{equation}
よって，$X(x)$ の解としては $e^{\pm jk_x x}$，$Y(y)$ は $e^{\pm jk_y y}$，$Z(z)$ は $e^{\pm jk_z z}$ を考えればよい．
したがって，$\pm \VEC{u}_r$ 方向に伝搬する平面波は，
\begin{eqnarray} \psi (\VEC{r}) &=& e^{\mp jk_x x}\, e^{\mp jk_y y}\, e^{\mp jk_z z} \nonumber \\ &=& e^{\mp j\VEC{k}_t \cdot \VECi{\rho}}\, e^{\mp jk_z z} \nonumber \\ &=& e^{\mp j\VEC{k} \cdot \VEC{r}} \nonumber \\ &=& e^{\mp jk\VEC{u}_r \cdot \VEC{r}}. \end{eqnarray}
ここで，$\VEC{k}$ は波数ベクトル，$\VEC{r}$ は位置ベクトルを示し，
\begin{eqnarray} \VEC{k} &=& k\,\VEC{u}_r, \nonumber \\ &=& k_t\,\VEC{u}_t + k_z\,\VEC{u}_z, \nonumber \\ &=& k_x\,\VEC{u}_x + k_y\,\VEC{u}_y + k_z\,\VEC{u}_z, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \VEC{r} &=& \VECi{\rho} + z\,\VEC{u}_z, \nonumber \\ &=& x\,\VEC{u}_x + y\,\VEC{u}_y + z\,\VEC{u}_z. \end{eqnarray}