6.7 関連する不定積分
置換積分 $t = x+\sqrt{x^2+a^2}$
次の不定積分を導出，確認しよう．
\begin{gather}
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln \left| x+\sqrt{x^2+a^2} \right|
\end{gather}
まず，$t = x+\sqrt{x^2+a^2}$とおくと，
\begin{eqnarray}
\frac{dt}{dx} = 1+\frac{1}{2} \left( x^2+a^2 \right)^{-\frac{1}{2}} 2 x
&=& 1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}
\nonumber \\
&=& \frac{\sqrt{x^2+a^2}+x}{\sqrt{x^2+a^2}}
\nonumber \\
&=& \frac{t}{\sqrt{x^2+a^2}}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{gather}
\frac{dt}{t} = \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}
\end{gather}
よって，次のように不定積分が行える．
\begin{eqnarray}
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}
&=& \int \frac{dt}{t}
\nonumber \\
&=& \ln |t|
\nonumber \\
&=& \ln \left| x+\sqrt{x^2+a^2} \right|
\end{eqnarray}
逆に，右辺を$x$で微分すると，
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx} \left[ \ln \left| x+\sqrt{x^2+a^2} \right| \right]
&=& \frac{dt}{dx} \frac{t}{dt}\left( \ln |t| \right)
\nonumber \\
&=& \frac{t}{\sqrt{x^2+a^2}} \frac{1}{t}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}
\end{eqnarray}