4.8 伝送方程式のまとめ
伝送方程式は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\frac{dV^{\TM}_l}{dz}
&=& - Z^{\TM}_l I^{\TM}_l
- \sum _n T^{\mathrm{TM:TM}}_{V,ln} V^{\TM}_n
- \sum _n T^{\mathrm{TM:TE}}_{V,ln} V^{\TE}_n
\\
\frac{dI^{\TM}_l}{dz}
&=& - Y V^{\TM}_l
- \sum _n T^{\mathrm{TM:TM}}_{I,ln} I^{\TM}_n
\\
\frac{dV^{\TE}_l}{dz}
&=& - Z I^{\TE}_l
- \sum _n T^{\mathrm{TE:TE}}_{V,ln} V^{\TE}_n
\\
\frac{dI^{\TE}_l}{dz}
&=& - Y^{\TE}_l V_l^{\TE}
- \sum _n T^{\mathrm{TE:TE}}_{I,ln} I^{\TE}_n
- \sum _n T^{\mathrm{TE:TM}}_{I,ln} I^{\TM}_n
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{align}
&Z \equiv j \omega \mu , \ \ \ \ \
Y \equiv j \omega \epsilon
\\
&Z^{\TM}_l
\equiv - \frac{(\beta ^{\TM}_l)^2 }{j \omega \epsilon}, \ \ \ \ \
Y^{\TE}_l
\equiv - \frac{(\beta ^{\TE}_l)^2 }{j \omega \mu}
\\
&T_{V,ln} \equiv
\iint \frac{\partial \VEC{e}_{n} }{\partial z} \cdot \VEC{e}_{l} dS
+ \oint_\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_{n} \cdot \VEC{e}_{l} d\sigma
\\
&T_{I,ln}
\equiv \iint \frac{\partial \VEC{h}_{n} }{\partial z} \cdot \VEC{h}_{l} dS
= \iint \frac{\partial \VEC{e}_{n} }{\partial z} \cdot \VEC{e}_{l} dS
\end{align}
曲線テーパ構造に対してガウスの発散定理を適用して求めた式
\begin{gather}
\iint_S \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \cdot \VEC{e}_l dS
+ \iint_S \VEC{e}_n \cdot \frac{\partial \VEC{e}_l}{\partial z} dS
= - \oint_\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}_l \ d\sigma
\label{eq:a-5}
\end{gather}
より，伝送方程式の係数\(T_{V,ln}\)は，次のように変形できる．
\begin{gather}
T_{V,ln}
= \iint \frac{\partial \VEC{e}_{n} }{\partial z} \cdot \VEC{e}_{l} dS
+ \oint_\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_{n} \cdot \VEC{e}_{l} d\sigma
= -\iint \VEC{e}_{n} \cdot \frac{\partial \VEC{e}_l}{\partial z} dS
\end{gather}
\(n\)と\(l\)を入れ換えると，
\begin{gather}
T_{V,nl}
= -\iint \VEC{e}_{l} \cdot \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} dS
= -\iint \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \cdot \VEC{e}_{l} dS
= -T_{I,ln}
\end{gather}
さらに\(n\)と\(l\)を入れ換えて，
\begin{gather}
T_{V,ln}
= -\iint \VEC{e}_{n} \cdot \frac{\partial \VEC{e}_l}{\partial z} dS
= -\iint \frac{\partial \VEC{e}_l}{\partial z} \cdot \VEC{e}_{n} dS
= -T_{I,nl}
\end{gather}