4.7 曲線テーパ構造に対するガウスの発散定理
3次元のガウスの発散定理の応用
任意のベクトル\(\VEC{A}\) に対して通常の3次元のガウスの発散定理を表すと，
\begin{gather}
\iiint _V \nabla \cdot \VEC{A} \ dV
= \iint _S \VEC{A} \cdot \VEC{n} \ dS
\label{eq:ap-mhap-3}
\end{gather}
ただし，\(\VEC{n}\)は閉曲面\(S\)の外向き単位法線ベクトルである．いま，図のように，管軸は直線にとり\(z\)軸と一致させ，面\(S_1\)，\(S_2\)は管軸に直交する断面にとり，面\(S_3\)を管壁にとる．
単位ベクトルの定義
このような座標系においては，式\eqref{eq:ap-mhap-3}の右辺は次のようになる．
\begin{align}
&\iint _{S_1 + S_2 + S_3} \VEC{A} \cdot \VEC{n} \ dS
\nonumber \\
&= - \iint _{S_1} \VEC{A} \cdot \VEC{a}_zdS
+ \iint _{S_2} \VEC{A} \cdot \VEC{a}_zdS
+ \iint _{S_3} \VEC{A} \cdot \VEC{\nu} dS_3
\label{eq:ap-mhap-3-right}
\end{align}
ただし，\(\VEC{\nu}\) は\(S_3\)の単位法線ベクトルを示す．
一方，\(\VEC{\nu}\) に直交する単位ベクトルを\(\VEC{\nu}_z\)，面\(S_1\)と\(S_2\)との間において管軸方向に沿う単位ベクトルを\(\VEC{a}_z\)，これに直交する導波菅断面上の管壁（閉曲線\(C\)）の外向き単位法線ベクトルを\(\VEC{a}_n\)とおき，管壁の局所的な傾きを\(\vartheta\) とすると，次のようになる．
\begin{gather}
\VEC{a}_z \cdot \VEC{\nu} _z
= \VEC{a}_n \cdot \VEC{\nu} = \cos \vartheta
\end{gather}
さらに，
\begin{align}
&dS_3 = \frac{dz}{\cos \vartheta} d\sigma
\\
&dV = dS dz
\end{align}
したがって，式\eqref{eq:ap-mhap-3}は次のようになる．
\begin{align}
&\int \left( \iint_S \nabla \cdot \VEC{A} \ dS \right) dz
\nonumber \\
&= - \iint _{S_1} \VEC{A} \cdot \VEC{a}_z dS
+ \iint _{S_2} \VEC{A} \cdot \VEC{a}_z dS
+ \int \left( \oint_\sigma \frac{\VEC{A} \cdot \VEC{\nu}}{\cos \vartheta}
d\sigma \right) dz
\end{align}
\(z \to 0\) のとき，上式右辺の第１項と第２項はキャンセルして，
次式が得られる．
\begin{gather}
\iint_S \nabla \cdot \VEC{A} \ dS
= \oint_\sigma \frac{\VEC{A} \cdot \VEC{\nu}}{\cos \vartheta} d\sigma
\label{eq:ap-mhap-5}
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
A_z &=& \VEC{A} \cdot \VEC{a}_z
\\
\VEC{A}_t &=& \VEC{A} - A_z \VEC{a}_z
\\
\VEC{\nu} &=& (\VEC{\nu} \cdot \VEC{a}_n ) \VEC{a}_n + (\VEC{\nu} \cdot \VEC{a}_z )\VEC{a}_z
\nonumber \\
&=& \cos \vartheta \VEC{a}_n - \sin \vartheta \VEC{a}_z
\end{eqnarray}
とおき，
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \VEC{A}
&=& \nabla_t \cdot \VEC{A}_t + \frac{\partial A_z }{\partial z}
\\
\frac{\VEC{A} \cdot \VEC{\nu}}{\cos \vartheta}
&=& \frac{\VEC{A} \cdot (\cos \vartheta \VEC{a}_n - \sin \vartheta \VEC{a}_z)}{\cos \vartheta}
\nonumber \\
&=& \VEC{A}_t \cdot \VEC{a}_n - \tan \vartheta A_z
\end{eqnarray}
より式\eqref{eq:ap-mhap-5}は次のようになる．
\begin{gather}
\iint_S \nabla_t \cdot \VEC{A}_t dS
+ \iint_S \frac{\partial A_z }{\partial z} dS
= \oint_\sigma \VEC{A}_t \cdot \VEC{a}_n d\sigma
- \oint_\sigma \tan \vartheta A_z d\sigma
\label{eq:ap-mhap-final}
\end{gather}
上式において，
\(\VEC{A}\)が\(\VEC{a}_z\)(管軸方向)成分をもたない場合，
\(\VEC{A} \cdot \VEC{a}_z=A_z=0\) より，
\begin{gather}
\iint_S \nabla_t \cdot \VEC{A}_t dS
= \oint_\sigma \VEC{A}_t \cdot \VEC{a}_n d\sigma
\end{gather}
これは，2次元のガウスの発散定理と一致する．
テーパ構造における面積分と周回積分の関係
一方，\(\VEC{A}\)が\(\VEC{a}_z\)（管軸方向）成分\(A_z\)のみ（\(\VEC{A}_t = 0\)）の場合を考えると，
\begin{gather}
\iint_S \frac{\partial A_z}{\partial z} dS
= - \oint_\sigma \tan \vartheta A_z d\sigma
\end{gather}
導波管のモード関数\(\VEC{e}_n\)，\(\VEC{e}_l\) の内積を
\(A_z = \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}_l\) とおくと，
\begin{align}
&\iint_S \frac{\partial }{\partial z} (\VEC{e}_n \cdot \VEC{e}_l) dS
= - \oint_\sigma \tan \vartheta (\VEC{e}_n \cdot \VEC{e}_l) d\sigma
\\
&\therefore
\iint_S \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \cdot \VEC{e}_l dS
+ \iint_S \VEC{e}_n \cdot \frac{\partial \VEC{e}_l}{\partial z} dS
= - \oint_\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}_l \ d\sigma
\end{align}
\(n = l\) のときは次のようになる．
\begin{gather}
2 \iint_S \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \cdot \VEC{e}_n dS
= - \oint_\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}_n \ d\sigma
\label{eq:dedzetan}
\end{gather}