4.6 モード関数の積分（TE-TM）について
ストークスの定理による周回積分への変換
TEモードとTMモードの場合，
\begin{eqnarray}
\iint_{S_a} \VEC{e}_m^{\TE} \cdot \VEC{e}_n^{\TM} dS
&=& \iint_{S_a} \big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big)
\cdot \big( -\nabla_t \Psi_n^{\TM} \big) dS
\nonumber \\
&=& \iint_{S_a} \big( \nabla_t \Psi_n^{\TM} \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
\end{eqnarray}
ただし，\(S_a\)は管軸に直交する導波管断面全体あるいは一部の面を示す．ここで，\(\nabla \times (\nabla \varphi) = 0\) より，
\begin{eqnarray}
\nabla_t \times \big( \Psi_n^{\TM} \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big)
&=& \nabla_t \Psi_n^{\TM} \times \nabla_t \Psi_m^{\TE}
+ \Psi_n^{\TM} \nabla _t \times \nabla_t \Psi_m^{\TE}
\nonumber \\
&=& \nabla_t \Psi_n^{\TM} \times \nabla_t \Psi_m^{\TE}
\label{eq:te-tm-i1}
\end{eqnarray}
これを面積分して，
\begin{eqnarray}
&&\iint_{S_a} \Big\{ \nabla \times \big( \Psi_n^{\TM} \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \Big\} \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \iint_{S_a} \Big\{ \Big( \nabla _t + \frac{\partial}{\partial z} \VEC{a}_z \Big)
\times \big( \Psi_n^{\TM} \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \Big\} \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \iint_{S_a} \Big\{ \nabla_t \times \big( \Psi_n^{\TM} \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \Big\}
\cdot \VEC{a}_z dS
\label{eq:te-tm-i2}
\end{eqnarray}
ストークスの定理
\begin{gather}
\iint_{S_a} \Big\{ \nabla \times \big( \Psi_n^{\TM} \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \Big\} \cdot \VEC{a}_z dS
= \oint_{C_a} \Psi_n^{\TM} \nabla_t \Psi_m^{\TE} \cdot d\VEC{\sigma}
\end{gather}
より，
\begin{gather}
\iint_{S_a} \Big\{ \nabla_t \times \big( \Psi_n^{\TM} \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \Big\} \cdot \VEC{a}_z dS
= \oint_{C_a} \Psi_n^{\TM} \frac{\partial \Psi_m^{\TE}}{\partial \sigma} d\sigma
\label{eq:te-tm-i3}
\end{gather}
ただし，面\(S\)は\(\VEC{a}_z\)が法線方向となる平面，\(d\VEC{\sigma}\) は周回積分路のベクトル線要素，\(+\sigma\)方向は\(\VEC{a}_z\) に対して右ねじの方向である．よって，これらの結果より次式が得られる
\begin{eqnarray}
\iint_{S_a} \VEC{e}_m^{\TE} \cdot \VEC{e}_n^{\TM} dS
&=& \iint_{S_a} \big( \nabla_t \Psi_n^{\TM} \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \oint_{C_a} \Psi_n^{\TM} \frac{\partial \Psi_m^{\TE}}{\partial \sigma} d\sigma
\label{eq:Imn_one}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:te-tm-i1}, 式\eqref{eq:te-tm-i2}，式\eqref{eq:te-tm-i3}において，
\(\Psi_m^{\TE}\)と\(\Psi_n^{\TM}\)を交換して同様に求めると，
\begin{align}
&\iint_{S_a} \Big\{ \nabla_t \times \big( \Psi_m^{\TE} \nabla_t \Psi_n^{\TM} \big) \Big\} \cdot \VEC{a}_z dS
= \oint_{C_a} \Psi_m^{\TE} \frac{\partial \Psi_n^{\TM}}{\partial \sigma} d\sigma
\nonumber \\
&\iint_{S_a} \big( \nabla_t \Psi_m^{\TE} \times \nabla_t \Psi_n^{\TM} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
= \oint_{C_a} \Psi_m^{\TE} \frac{\partial \Psi_n^{\TM}}{\partial \sigma} d\sigma
\end{align}
よって，
\begin{eqnarray}
-\iint_{S_a} \VEC{e}_m^{\TE} \cdot \VEC{e}_n^{\TM} dS
&=& -\iint_{S_a} \big( \nabla_t \Psi_n^{\TM} \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& \oint_{C_a} \Psi_m^{\TE} \frac{\partial \Psi_n^{\TM}}{\partial \sigma} d\sigma
\end{eqnarray}
また，
\begin{eqnarray}
\iint_S \VEC{h}_m^{\TE} \cdot \VEC{h}_n^{\TM} \ dS
&=& \iint_S \big( -\nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \cdot
\big( -\VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_n^{\TM} \big) \cdot dS
\nonumber \\
&=& \iint_S \big( \nabla_t \Psi_m^{\TE} \times \nabla_t \Psi_n^{\TM} \big) \cdot \VEC{a}_z dS
\nonumber \\
&=& -\iint_S \VEC{e}_m^{\TE} \cdot \VEC{e}_n^{\TM} dS
\end{eqnarray}
まとめると，
\begin{eqnarray}
\iint_{S_a} \VEC{e}_m^{\TE} \cdot \VEC{e}_n^{\TM} \ dS
&=& -\iint_S \VEC{h}_m^{\TE} \cdot \VEC{h}_n^{\TM} \ dS
\nonumber \\
&=& \oint_{C_a} \frac{\partial \Psi_m^{\TE}}{\partial \sigma} \Psi_n^{\TM} d\sigma
\nonumber \\
&=& -\oint_{C_a} \Psi_m^{\TE} \frac{\partial \Psi_n^{\TM}}{\partial \sigma} d\sigma
\end{eqnarray}
積分範囲\(S_a\)が導波管の断面\(S\)と一致している場合，周回積分路\(C_a\)は導波管の管壁\(C\)ゆえ，
\(\Psi_n^{\TM}=0\) (on \(C\)) より上式はゼロとなる．これがTEモードとTMモードの直交性である．
\begin{gather}
\iint_{S} \VEC{e}_m^{\TE} \cdot \VEC{e}_n^{\TM} \ dS = 0
\end{gather}
ガウスの発散定理による周回積分への変換
ガウスの発散定理を用いた別の導出を示そう$^\dagger$．まず，ベクトル公式
\(\nabla \cdot (w \VEC{A}) = w \nabla \cdot \VEC{A} + \VEC{A} \cdot \nabla w\)
を変形して，
\begin{gather}
\VEC{A} \cdot \nabla w = \nabla \cdot (w \VEC{A}) - w \nabla \cdot \VEC{A}
\end{gather}
これより，
\(w \equiv \Psi_n^{\TM}\)，
\(\VEC{A} \equiv \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_m^{\TE}\)
とおくと，
\begin{align}
&\big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \cdot \nabla \Psi_n^{\TM}
\nonumber \\
&= \nabla \cdot \big( \Psi_n^{\TM} \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big)
- \Psi_n^{\TM} \nabla \cdot \big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big)
\end{align}
上式右辺の第2項について，ベクトル公式
\begin{gather}
\nabla \cdot \big( \VEC{B} \times \VEC{C} \big)
= \VEC{C} \cdot \big( \nabla \times \VEC{B} \big)
- \VEC{B} \cdot \big( \nabla \times \VEC{C} \big)
\end{gather}
より，
\(\VEC{B} \equiv \VEC{a}_z\)，
\(\VEC{C} \equiv \nabla_t \Psi_m^{\TE}\)
とおくと次式が得られる（勾配の回転はゼロ）．
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big)
&=& \big( \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \cdot \big( \nabla \times \VEC{a}_z \big)
- \VEC{a}_z \cdot \big( \nabla \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big)
\nonumber \\
&=& 0
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
\big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \cdot \nabla_t \Psi_n^{\TM}
= \nabla_t \cdot \big( \Psi_n^{\TM} \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big)
\end{gather}
2次元の\(\nabla _t\)に関するガウスの発散定理より，
\begin{eqnarray}
\iint _{S_a} \big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \cdot \nabla_t \Psi_n^{\TM} dS
&=& \iint _{S_a} \nabla_t \cdot \big( \Psi_n^{\TM} \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) dS
\nonumber \\
&=& \oint _{C_a} \big( \Psi_n^{\TM} \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \cdot \VEC{n} d\sigma
\nonumber \\
&=& \oint _{C_a} \Psi_n^{\TM} \big( \VEC{n} \times \VEC{a}_z \big) \cdot \nabla_t \Psi_m^{\TE} d\sigma
\nonumber \\
&=& \oint _{C_a} \Psi_n^{\TM} (-\VEC{a}_\sigma) \cdot \nabla_t \Psi_m^{\TE} d\sigma
\nonumber \\
&=& -\oint _{C_a} \Psi_n^{\TM} \frac{\partial \Psi_m^{\TE}}{\partial \sigma} d\sigma
\end{eqnarray}
ただし，\(\VEC{n}\)は面\(S\)（管軸に直交する面）上における周回積分路の外向き法線単位ベクトルを示し，
周回積分路に沿う方向の単位ベクトルを
\(\VEC{a}_\sigma \equiv \VEC{a}_z \times \VEC{n}\)とおいている．したがって，
\begin{eqnarray}
\iint_{S_a} \VEC{e}_m^{\TE} \cdot \VEC{e}_n^{\TM} \ dS
&=& -\iint _{S_a} \big( \VEC{a}_z \times \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \cdot \nabla_t \Psi_n^{\TM} dS
\nonumber \\
&=& \oint_{C_a} \Psi_n^{\TM} \frac{\partial \Psi_m^{\TE}}{\partial \sigma} d\sigma
\end{eqnarray}
その他も同様である．
$\dagger$ 小口文一，"マイクロ波およびミリ波回路," 丸善, 1964.