4.5 モード関数の積分（TE-TE, TM-TM）について
面積分
2つのモード関数ともTEモード，あるいはTMモードのスカラー積の面積分は，
\begin{eqnarray}
\iint_{S_a} \VEC{e}_m \cdot \VEC{e}_n \ dS
&=& \iint_{S_a} \VEC{h}_m \cdot \VEC{h}_n \ dS
\nonumber \\
&=& \iint_{S_a} \big( \nabla_t \Psi_m \big) \cdot \big( \nabla_t \Psi_n \big) dS
\end{eqnarray}
ただし，\(S_a\)は管軸に直交する導波管断面全体あるいは一部の面を示す．2次元演算子\(\nabla _t\)を用いたグリーンの第一定理，およびスカラヘルムホルツ方程式
\(\nabla _t^2 \Psi_n + k_{c,n}^2 \Psi_n =0\)より，上式は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\iint_{S_a} \big( \nabla_t \Psi_m \big) \cdot \big( \nabla_t \Psi_n \big) dS
&=& -\iint_{S_a} \Psi_m \nabla ^2_t \Psi_n dS
+ \oint _{C_a} \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} d\sigma
\nonumber \\
&=& k_{c,n}^2 \iint_{S_a} \Psi_m \Psi_n dS
+ \oint _{C_a} \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} d\sigma
\end{eqnarray}
同一モードのとき，\(m=n\) とおき，
\begin{gather}
\iint_{S_a} \big( \nabla_t \Psi_n \big) \cdot \big( \nabla_t \Psi_n \big) dS
= k_{c,n}^2 \iint_S \Psi_n^2 dS
+ \oint _{C_a} \Psi_n \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} d\sigma
\end{gather}
面\(S_a\)として導波管段面全体の面\(S\)をとると，境界条件として導波管の管壁\(C\)上で\(\Psi_n=0\) あるいは\(\frac{\partial \Psi_n}{\partial n}=0\)
のとき，第2項はゼロゆえ，
\begin{gather}
\iint_S \big( \nabla_t \Psi_n \big) \cdot \big( \nabla_t \Psi_n \big) dS
= k_{c,n}^2 \iint_S \Psi_n^2 dS
\end{gather}
したがって，モード関数を正規化するための積分は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\iint_S \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}_n \ dS
&=& \iint_S \VEC{h}_n \cdot \VEC{h}_n \ dS
\nonumber \\
&=& k_{c,n}^2 \iint_S \Psi_n^2 dS
\equiv 1
\end{eqnarray}
一方，異なるモードのとき，\(m \neq n\) とみなし，
\(\Psi_m\)と\(\Psi_n\)を交換してグリーンの第一定理を適用して同様に求めると，
\begin{gather}
\iint_{S_a} \big( \nabla_t \Psi_n \big) \cdot \big( \nabla_t \Psi_m \big) dS
= k_{c,m}^2 \iint_{S_a} \Psi_n \Psi_m dS
+ \oint _{C_a} \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} d\sigma
\end{gather}
これより，次の関係式が得られる．
\begin{align}
&k_{c,n}^2 \iint_{S_a} \Psi_m \Psi_n dS
+ \oint _{C_a} \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} d\sigma
\nonumber \\
&= k_{c,m}^2 \iint_{S_a} \Psi_n \Psi_m dS
+ \oint _{C_a} \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} d\sigma
\end{align}
変形して，
\begin{gather}
\big( k_{c,m}^2 - k_{c,n}^2 \big) \iint_{S_a} \Psi_m \Psi_n dS
= \oint _{C_a} \left( \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n}
- \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} \right) d\sigma
\end{gather}
\(k_{c,m} \neq k_{c,n}\)のとき，
\begin{gather}
\iint_{S_a} \Psi_m \Psi_n dS
= \frac{1}{k_{c,m}^2 - k_{c,n}^2}
\oint _{C_a} \left( \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n}
- \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} \right) d\sigma
\end{gather}
逆に，スカラ関数の面積分の項を消去すると，
\begin{align}
&\iint_{S_a} \big( \nabla_t \Psi_m \big) \cdot \big( \nabla_t \Psi_n \big) dS
\nonumber \\
&= \frac{1}{k_{c,m}^2 - k_{c,n}^2} \left(
k_{c,m}^2 \oint _{C_a} \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} d\sigma
- k_{c,n}^2 \oint _{C_a} \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} d\sigma \right)
\label{eq:intemendS}
\end{align}
面\(S_a\)として導波管段面全体の面\(S\)をとると，境界条件として導波管の管壁境界条件として管壁\(C\)上で\(\Psi_m, \Psi_n=0\) あるいは
\(\displaystyle{\frac{\partial \Psi_m}{\partial n}, \frac{\partial \Psi_n}{\partial n}=0}\)
のとき，上式右辺はゼロとなり，次のようにモードの直交性が得られる．
\begin{eqnarray}
\iint_{S} \VEC{e}_m \cdot \VEC{e}_n \ dS
&=& \iint_{S} \VEC{h}_m \cdot \VEC{h}_n \ dS
\nonumber \\
&=& \iint_{S} \big( \nabla_t \Psi_m \big) \cdot \big( \nabla_t \Psi_n \big) dS
= 0
\end{eqnarray}
周回積分
一方，\(k_{c,m} = k_{c,n}\)のとき，式\eqref{eq:intemendS}は不定となるがロピタルの定理を用いれば次のように計算できる$^\dagger$．
\begin{eqnarray}
\iint_{S_a} \Psi_m \Psi_n dS
&=& \lim _{k_{c,n} \to k_{c,m}}
\frac{\displaystyle{\frac{d}{dk_{c,n}} \oint _{C_a} \left( \Psi_m \frac{\partial \Psi_n}{\partial n}
- \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} \right) d\sigma}}{
\displaystyle{\frac{d}{dk_{c,n}} \left(k_{c,m}^2 - k_{c,n}^2 \right)}}
\nonumber \\
&=& \left. \frac{-1}{2k_{c,m}} \oint _{C_a} \left( \Psi_m \frac{\partial^2 \Psi_n}{\partial k_{c,n} \partial n}
- \frac{\partial \Psi_n}{\partial k_{c,n}} \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} \right) d\sigma
\right|_{k_{c,n} = k_{c,m}}
\end{eqnarray}
逆に，\({k_{c,m} \to k_{c,n}}\)としてロピタルの定理を用いると，
\begin{gather}
\iint_{S_a} \Psi_m \Psi_n dS
= \left. \frac{-1}{2k_{c,n}} \oint _{C_a} \left( \Psi_n \frac{\partial^2 \Psi_m}{\partial k_{c,m} \partial n}
- \frac{\partial \Psi_m}{\partial k_{c,m}} \frac{\partial \Psi_n}{\partial n} \right) d\sigma
\right|_{k_{c,m} = k_{c,n}}
\end{gather}
したがって，
\begin{align}
&\iint_{S_a} \big( \nabla_t \Psi_m \big) \cdot \big( \nabla_t \Psi_n \big) dS
\nonumber \\
&= \left[ -\frac{k_{c,m}}{2}
\oint _{C_a} \left( \Psi_m \frac{\partial^2 \Psi_n}{\partial k_{c,n} \partial n}
- \frac{\partial \Psi_n}{\partial k_{c,n}} \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} \right) d\sigma
+ \oint _{C_a} \Psi_n \frac{\partial \Psi_m}{\partial n} d\sigma
\right]_{k_{c,n} = k_{c,m}}
\nonumber
\end{align}
面\(S_a\)として導波管段面全体の面\(S\)をとると，両者ともTMモードのモード関数の場合，管壁\(C\)上で\(\Psi_m^{\TM}=0\)，\(\Psi_n^{\TM}=0\) ゆえ，
\begin{gather}
\iint_S \big( \nabla_t \Psi_m^{\TM} \big) \cdot \big( \nabla_t \Psi_n^{\TM} \big) dS
= \frac{k_{c,m}^{\TM}}{2} \left.
\oint _C \frac{\partial \Psi_n^{\TM}}{\partial k_{c,n}^{\TM}} \frac{\partial \Psi_m^{\TM}}{\partial n} d\sigma
\right|_{k_{c,n}^{\TM} = k_{c,m}^{\TM}}
\end{gather}
また，両者ともTMモードのモード関数の場合，管壁\(C\)上で
\(\frac{\partial \Psi_m^{\TE}}{\partial n}=0\)，\(\frac{\partial \Psi_n^{\TE}}{\partial n}=0\) ゆえ，
\begin{gather}
\iint_S \big( \nabla_t \Psi_m^{\TE} \big) \cdot \big( \nabla_t \Psi_n^{\TE} \big) dS
= -\frac{k_{c,m}^{\TE}}{2} \left.
\oint _C \Psi_m^{\TE} \frac{\partial^2 \Psi_n^{\TE}}{\partial k_{c,n}^{\TE} \partial n} d\sigma
\right|_{k_{c,n}^{\TE} = k_{c,m}^{\TE}}
\end{gather}
これより，正規化係数の計算を周回積分によって行うこともできる．
$\dagger$ G. Figlia and G. G. Gentili, "On the Line-Integral Formulation of Mode-Matching Technique,"
IEEE Trans. Microwave Theory Tech. , vol.MTT-50, no.2, pp.578-579, 2002.
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