4.2 伝送方程式の導出
先に求めたモード展開したMaxwell の方程式を再記して，
\begin{align}
&\sum _n V_n \left( \nabla _t \times \VEC{e}_n \right)
+ \nabla _t \times \VEC{E}_z
+ \sum _n \frac{dV_n}{dz} \VEC{h}_n
+ \sum _n V_n \VEC{a}_z \times \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z}
\nonumber \\
&= -j\omega \mu \sum _n I_n \VEC{h}_n
-j\omega \mu \VEC{H}_z \label{eq:max-tt1}
\\
&\sum _n I_n \left( \nabla _t \times \VEC{h}_n \right)
+ \nabla _t \times \VEC{H}_z
+ \sum _n \frac{dI_n}{dz} (-\VEC{e}_n)
+ \sum _n I_n \VEC{a}_z \times \frac{\partial \VEC{h}_n}{\partial z}
\nonumber \\
&= j\omega \epsilon \sum _n V_n \VEC{e}_n
+j\omega \epsilon \VEC{E}_z \label{eq:max-tt2}
\end{align}
\(\displaystyle{\iint ( \mbox{式}\eqref{eq:max-tt1}) \cdot \VEC{h}^{\TM}_l dS}\)の計算
式\eqref{eq:max-tt1}の両辺に\(\VEC{h}^{\TM}_l\)のスカラ積をとり，導波管断面にわたって積分すると，
\(\VEC{H}_z \cdot \VEC{h}^{\TM}_l = 0\) より，
\begin{eqnarray}
&&\sum _n V_n \iint \left( \nabla _t \times \VEC{e}_n \right) \cdot \VEC{h}^{\TM}_l dS
+ \iint \left( \nabla _t \times \VEC{E}_z \right) \cdot \VEC{h}^{\TM}_l dS
\nonumber \\
&&+ \sum _n \frac{dV_n}{dz} \iint \VEC{h}_n \cdot \VEC{h}^{\TM}_l dS
+ \sum _n V_n \iint \left( \VEC{a}_z \times \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \right)
\cdot \VEC{h}^{\TM}_l dS
\nonumber \\
&=& -j\omega \mu \sum _n I_n \iint \VEC{h}_n \cdot \VEC{h}^{\TM}_l dS
\label{eq:geq-1}
\end{eqnarray}
式\eqref{eq:geq-1}の第1項の被積分関数
\(\left( \nabla _t \times \VEC{e}_n \right) \cdot \VEC{h}^{\TM}_l\)
を計算するにあたって，若干の準備をしておく．
TMモードのとき，\(\VEC{e}_n = \VEC{e}^{\TM}_n\)とおき，
ベクトル公式
\begin{gather}
\nabla \times \left( \nabla \Phi \right) = 0
\end{gather}
より，2次元演算子\(\nabla _t\)においても成り立ち，次のようになる．
\begin{gather}
\nabla _t \times \VEC{e}^{\TM}_n
= \nabla _t \times \left( -\nabla _t \Psi ^{\TM}_n \right) = 0 \label{eq:nabla-e-tm}
\end{gather}
また，TEモードのとき，\(\VEC{e}_n = \VEC{e}^{\TE}_n\) とおき，
ベクトル公式
\begin{gather}
\nabla \times ( \VEC{a}_z \times \VEC{a} )
= \VEC{a}_z ( \nabla \cdot \VEC{a} ) - (\VEC{a}_z \cdot \nabla ) \VEC{a}
\end{gather}
より，
\begin{eqnarray}
\nabla _t \times \VEC{e}^{\TE}_n
&=& \nabla _t \times \left( \VEC{a}_z \times \nabla _t \Psi ^{\TE}_n \right)
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_z \left( \nabla _t \cdot \nabla _t \Psi ^{\TE}_n \right)
- \left( \VEC{a}_z \cdot \nabla _t \right) \nabla _t \Psi ^{\TE}_n
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_z \nabla _t ^2 \Psi ^{\TE}_n \label{eq:nabla-e-te}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{gather}
\left( \nabla _t \times \VEC{e}^{\TE}_n \right) \cdot \VEC{h}^{\TM}_l
= \left( \nabla _t ^2 \Psi ^{\TE}_n \VEC{a}_z \right) \cdot \VEC{h}^{\TM}_l = 0
\end{gather}
まとめると，式\eqref{eq:geq-1}の第1項の被積分関数は，次のようにTE，TMモードともにゼロになる．
\begin{gather}
\left( \nabla _t \times \VEC{e}_n \right) \cdot \VEC{h}^{\TM}_l = 0
\end{gather}
次に，式\eqref{eq:geq-1}の第2項は，ベクトル公式
\begin{gather}
\nabla \cdot (\VEC{a} \times \VEC{b})
= \VEC{b} \cdot \nabla \times \VEC{a} - \VEC{a} \cdot \nabla \times \VEC{b}
\end{gather}
より，
\begin{align}
&\iint \VEC{h}^{\TM}_l \cdot \left( \nabla _t \times \VEC{E}_z \right) dS
\nonumber \\
&= \iint \left\{ \nabla _t \cdot \left( \VEC{E}_z \times \VEC{h}^{\TM}_l \right)
+ \VEC{E}_z \cdot \left( \nabla _t \times \VEC{h}^{\TM}_l \right) \right\} dS
\label{eq:geq-12}
\end{align}
上式の右辺の第1項に，ガウスの発散定理を用いて2次元演算子について求めた結果
\begin{gather}
\iint _S \nabla _t \cdot \VEC{v}_t dS
= \oint _\sigma \VEC{v}_t \cdot \VEC{n} d\sigma
\label{eq:ggg}
\end{gather}
を適用すると，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\iint \nabla _t \cdot \left( \VEC{E}_z \times \VEC{h}^{\TM}_l \right) dS
&=& \oint _\sigma \left( \VEC{E}_z \times \VEC{h}^{\TM}_l \right) \cdot \VEC{n} d\sigma
\nonumber \\
&=& \oint _\sigma \left( \VEC{n} \times \VEC{E}_z \right) \cdot \VEC{h}^{\TM}_l d\sigma
\nonumber \\
&=& \oint _\sigma E_z \left( \VEC{n} \times \VEC{a}_z \right) \cdot \VEC{h}^{\TM}_l d\sigma
\end{eqnarray}
先に示した管壁上の境界条件を考慮した\(E_{z,c}\)
\begin{gather}
E_{z,c} = -(\VEC{E}_t \cdot \VEC{n}) \tan \vartheta
\end{gather}
を用いて \(E_z = E_{z,c}\) とし，また，断面周縁に沿う単位ベクトルを
\(\VEC{\sigma } \equiv \VEC{a}_z \times \VEC{n}\)
とおくと，次のようになる．
\begin{eqnarray}
\oint _\sigma E_z \left( \VEC{n} \times \VEC{a}_z \right) \cdot \VEC{h}^{\TM}_l d\sigma
&=& \oint _\sigma -(\VEC{E}_t \cdot \VEC{n}) \tan \vartheta
( - \VEC{\sigma } ) \cdot \VEC{h}^{\TM}_l d\sigma
\nonumber \\
&=& \oint _\sigma \tan \vartheta \sum _n V_n (\VEC{e}_n \cdot \VEC{n})
\left( \VEC{\sigma } \cdot \VEC{h}^{\TM}_l \right) d\sigma
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
\VEC{\sigma } \cdot \VEC{h}^{\TM}_l
&=& \VEC{\sigma } \cdot \left( \VEC{a}_z \times \VEC{e}^{\TM}_l \right)
\nonumber \\
&=& \VEC{e}^{\TM}_l \cdot \left( \VEC{\sigma } \times \VEC{a}_z \right)
\nonumber \\
&=& \VEC{e}^{\TM}_l \cdot \VEC{n}
\end{eqnarray}
より，
\begin{align}
&\oint _\sigma \tan \vartheta \sum _n V_n (\VEC{e}_n \cdot \VEC{n})
\left( \VEC{\sigma } \cdot \VEC{h}^{\TM}_l \right) d\sigma
\nonumber \\
&= \sum _n V_n \oint _\sigma \tan \vartheta (\VEC{e}_n \cdot \VEC{n})
\left( \VEC{e}^{\TM}_l \cdot \VEC{n} \right) d\sigma
\end{align}
管壁上の境界条件より，
\(\VEC{e}_n \cdot \VEC{\sigma } = 0 \) ゆえ，
\begin{eqnarray}
\VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TM}_l
&=& [(\VEC{e}_n \cdot \VEC{n} ) \VEC{n} + (\VEC{e}_n \cdot \VEC{\sigma } ) \VEC{\sigma }]
\cdot [(\VEC{e}^{\TM}_l \cdot \VEC{n} ) \VEC{n} + (\VEC{e}^{\TM}_l \cdot \VEC{\sigma } ) \VEC{\sigma }]
\nonumber \\
&=& (\VEC{e}_n \cdot \VEC{n} ) (\VEC{e}^{\TM}_l \cdot \VEC{n} )
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
\sum _n V_n \oint _\sigma \tan \vartheta (\VEC{e}_n \cdot \VEC{n})
\left( \VEC{e}^{\TM}_l \cdot \VEC{n} \right) d\sigma
= \sum _n V_n \oint _\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TM}_l \ d\sigma
\end{gather}
次に，式\eqref{eq:geq-12}の第2項であるが，まず準備として，
\begin{eqnarray}
\nabla _t \times \VEC{h}^{\TM}_l
&=& \nabla _t \times \left( -\VEC{a}_z \times \nabla _t \Psi ^{\TM}_l \right)
\nonumber \\
&=& -\VEC{a}_z \left( \nabla _t \cdot \nabla _t \Psi ^{\TM}_l \right)
+ \left( \VEC{a}_z \cdot \nabla _t \right) \nabla _t \Psi ^{\TM}_l
\nonumber \\
&=& -\VEC{a}_z \nabla _t ^2 \Psi ^{\TM}_l
\nonumber \\
&=& \VEC{a}_z (k^{\TM}_{c,l})^2 \Psi ^{\TM}_l \label{eq:1-sa-2}
\end{eqnarray}
これより，
\begin{eqnarray}
\iint \VEC{E}_z \cdot \left( \nabla _t \times \VEC{h}^{\TM}_l \right) dS
&=& \iint \left( \sum _n C_n \Psi _n \right) (k^{\TM}_{c,l})^2 \Psi ^{\TM}_l dS
\nonumber \\
&=& \sum _n C_n \cdot (k^{\TM}_{c,l})^2 \iint \Psi _n \Psi ^{\TM}_l dS
\end{eqnarray}
したがって，式\eqref{eq:geq-1}の第2項は，次のようになる．
\begin{align}
&\iint \VEC{h}^{\TM}_l \cdot \left( \nabla _t \times \VEC{E}_z \right) dS
\nonumber \\
&= \sum _n V_n \int _\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TM}_l \ d\sigma
+ \sum _n C_n \cdot (k^{\TM}_{c,l})^2 \iint \Psi _n \Psi ^{\TM}_l dS
\end{align}
また，式\eqref{eq:geq-1}の第4項の被積分関数は，
\begin{eqnarray}
\left( \VEC{a}_z \times \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \right) \cdot \VEC{h}^{\TM}_l
&=& \left( \VEC{h}^{\TM}_l\times \VEC{a}_z \right) \cdot \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z}
\nonumber \\
&=& \VEC{e}^{\TM}_l \cdot \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z}
\end{eqnarray}
以上の結果より，式\eqref{eq:geq-1}は次のようになる．
\begin{eqnarray}
&&\sum _n V_n \oint _\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TM}_l \ d\sigma
+ \sum _n C_n \left( (k^{\TM}_{c,l})^2 \iint \Psi _n \Psi ^{\TM}_l dS \right)
\nonumber \\
&&+ \sum _n \frac{dV_n}{dz} \left( \iint \VEC{h}_n \cdot \VEC{h}^{\TM}_l dS \right)
+ \sum _n V_n \iint \VEC{e}^{\TM}_l \cdot \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} dS
\nonumber \\
&=& -j\omega \mu \sum _n I_n \left( \iint \VEC{h}_n \cdot \VEC{h}^{\TM}_l dS \right)
\label{eq:first}
\end{eqnarray}
モードの正規直交条件を用いれば，
\begin{align}
&\sum _n V_n \oint _\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TM}_l \ d\sigma
+ C^{\TM}_l
+ \frac{dV^{\TM}_l}{dz}
\nonumber \\
&+ \sum _n V_n \iint \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \cdot \VEC{e}^{\TM}_l dS
= -j\omega \mu I^{\TM}_l \label{eq:g-no1}
\end{align}
\(\displaystyle{\iint ( \mbox{式}\eqref{eq:max-tt1} ) \cdot \VEC{h}^{\TE}_l dS}\)の計算
式\eqref{eq:max-tt1}の両辺に\(\VEC{h}^{\TE}_l\)のスカラ積をとり，面積分を求めればよいが，式\eqref{eq:first}の第2項にあたる項については結果が異なるので注意が必要である．これは，式\eqref{eq:1-sa-2}にあたる計算が，次のようにベクトル公式よりゼロになるからである．
\begin{eqnarray}
\nabla _t \times \VEC{h}^{\TE}_l
&=& \nabla _t \times \left( -\nabla _t \Psi ^{\TE}_l \right)
\nonumber \\
&=& 0
\end{eqnarray}
このことを考慮して次式が得られる（導出省略）．
\begin{align}
&\sum _n V_n \int _\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TE}_l \ d\sigma
+ \sum _n \frac{dV_n}{dz} \left( \iint \VEC{h}_n \cdot \VEC{h}^{\TE}_l dS \right)
\nonumber \\
&+ \sum _n V_n \iint \VEC{e}^{\TE}_l \cdot \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} dS
= -j\omega \mu \sum _n I_n \left( \iint \VEC{h}_n \cdot \VEC{h}^{\TE}_l dS \right)
\end{align}
モードの正規直交条件を用いれば，次のようになる．
\begin{align}
&\sum _n V_n \oint _\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TE}_l \ d\sigma
+ \frac{dV^{\TE}_l}{dz}
+ \sum _n V_n \iint \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \cdot \VEC{e}^{\TE}_l dS
\nonumber \\
&= -j\omega \mu I^{\TE}_l \label{eq:g-no2}
\end{align}
\(\displaystyle{\iint ( \mbox{式}\eqref{eq:max-tt1} ) \cdot \Psi ^{\TE}_l \VEC{a}_z dS}\)の計算
式\eqref{eq:max-tt1}の両辺に
\(\Psi ^{\TE}_l \VEC{a}_z\) のスカラ積をとり，面積分すると次のようになる．
\begin{align}
&\sum _n V_n \iint \left( \nabla _t \times \VEC{e}_n \right) \cdot
\left( \Psi ^{\TE}_l \VEC{a}_z \right) dS
+ \iint \left\{ \nabla _t \times (E_z \VEC{a}_z) \right\} \cdot
\left( \Psi ^{\TE}_l \VEC{a}_z \right) dS
\nonumber \\
&+ \sum _n \frac{dV_n}{dz} \iint \VEC{h}_n \cdot
\left( \Psi ^{\TE}_l \VEC{a}_z \right) dS
+ \sum _n V_n \iint \left( \VEC{a}_z \times \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \right)
\cdot \left( \Psi ^{\TE}_l \VEC{a}_z \right) dS
\nonumber \\
&= -j\omega \mu \iint (H_z \VEC{a}_z) \cdot
\left( \Psi ^{\TE}_l \VEC{a}_z \right) dS
\nonumber
\end{align}
見通しがよくなるように変形すると，
\begin{align}
&\sum _n V_n \iint \Psi ^{\TE}_l \left( \nabla _t \times \VEC{e}_n \right) \cdot \VEC{a}_z dS
+ \iint \Psi ^{\TE}_l \left( \VEC{a}_z \times \VEC{a}_z \right) \cdot
\left( \nabla _t E_z \right) dS
\nonumber \\
&+ \sum _n \frac{dV_n}{dz} \iint \Psi ^{\TE}_l
\left( \VEC{h}_n \cdot \VEC{a}_z \right) dS
+ \sum _n V_n \iint \Psi ^{\TE}_l \left( \VEC{a}_z \times \VEC{a}_z \right)
\cdot \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} dS
\nonumber \\
&= -j\omega \mu \iint H_z \Psi ^{\TE}_l dS
\end{align}
上式の左辺第2，3，4項は，スカラー積，ベクトル積がゼロとなって，第1項と右辺だけになる．
式\eqref{eq:nabla-e-tm}および式\eqref{eq:nabla-e-te}を再記して，
\begin{eqnarray}
\nabla _t \times \VEC{e}^{\TM}_n
&=& \nabla _t \times \left( -\nabla _t \Psi ^{\TM}_n \right)
\nonumber \\
&=& 0
\\
\nabla _t \times \VEC{e}^{\TE}_n
&=& \VEC{a}_z \nabla _t ^2 \Psi ^{\TE}_n
\end{eqnarray}
これより，
\begin{align}
&\sum _n V_n^{\TE} \iint \Psi ^{\TE}_l
\left( \nabla _t ^2 \Psi ^{\TE}_n \right) \VEC{a}_z \cdot \VEC{a}_z dS
= -j\omega \mu \iint H_z \Psi ^{\TE}_l dS
\nonumber \\
&\sum _n V_n^{\TE} (k^{\TE}_{c,n})^2 \iint \Psi ^{\TE}_l \Psi ^{\TE}_n dS
= -j\omega \mu \sum _n C^{\TE}_n \iint \Psi ^{\TE}_n \Psi ^{\TE}_l dS
\end{align}
直交性より，
\begin{gather}
V_l^{\TE}
= -j\omega \mu C^{\TE}_l \frac{1}{(k^{\TE}_{c,l})^2}
\end{gather}
よって，\(C^{\TE}_l\) は次のようになる．
\begin{gather}
C^{\TE}_l
= -\frac{(k^{\TE}_{c,l})^2}{j\omega \mu} V_l^{\TE} \label{eq:g-no3}
\end{gather}
\(\displaystyle{\iint ( \mbox{式}\eqref{eq:max-tt2} ) \cdot \VEC{e}^{\TM}_l dS}\)の計算
式\eqref{eq:max-tt2}の両辺に\(\VEC{e}^{\TM}_l\) のスカラ積をとり，各々面積分を実行すればよいが，
\(H_z\)の取り扱いが式\eqref{eq:max-tt1}の\(E_z\)のように境界条件を考慮したものではない点が異なってくる（導出省略）．
\begin{align}
& \sum _n C^{\TE}_n \left( \iint -\VEC{e}^{\TE}_n \cdot \VEC{e}^{\TM}_l dS \right)
+ \sum _n \frac{dI_n}{dz} \left( \iint -\VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TM}_l dS \right)
\nonumber \\
&+ \sum _n I_n \iint \frac{\partial \VEC{h}_n}{\partial z} \cdot \left(-\VEC{h}^{\TM}_l \right) dS
\nonumber \\
& = j\omega \epsilon \sum _n V_n \left( \iint \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TM}_l dS \right)
\label{eq:fourth}
\end{align}
モード関数の直交性より，
\begin{gather}
-\frac{dI^{\TM}_l}{dz}
- \sum _n I_n \iint \frac{\partial \VEC{h}_n}{\partial z} \cdot \VEC{h}^{\TM}_l dS
= j\omega \epsilon V^{\TM}_l \label{eq:g-no4}
\end{gather}
\(\displaystyle{\iint ( \mbox{式}\eqref{eq:max-tt2}) \cdot \VEC{e}^{\TE}_l dS}\)の計算
同様にして，式\eqref{eq:max-tt2}の両辺に
\(\VEC{e}^{\TE}_l\) のスカラ積をとり，各々面積分を実行すると，次のようになる（導出省略）．
\begin{align}
& \sum _n C^{\TE}_n \left( \iint -\VEC{e}^{\TE}_n \cdot \VEC{e}^{\TE}_l dS \right)
+ \sum _n \frac{dI_n}{dz} \left( \iint -\VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TE}_l dS \right)
\nonumber \\
&+ \sum _n I_n \iint \frac{\partial \VEC{h}_n}{\partial z} \cdot \left(-\VEC{h}^{\TE}_l \right) dS
\nonumber \\
& = j\omega \epsilon \sum _n V_n \left( \iint \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TE}_l dS \right)
\label{eq:fifth}
\end{align}
モード関数の直交性より，
\begin{gather}
-C_l^{\TE} -\frac{dI^{\TE}_l}{dz}
- \sum _n I_n \iint \frac{\partial \VEC{h}_n}{\partial z} \cdot \VEC{h}^{\TE}_l dS
= j\omega \epsilon V^{\TE}_l \label{eq:g-no5}
\end{gather}
\(\displaystyle{\iint ( \mbox{式}\eqref{eq:max-tt2} ) \cdot \Psi ^{\TM}_l \VEC{a}_z dS}\)の計算
同様にして，
式\eqref{eq:max-tt2}の両辺に\(\Psi ^{\TM}_l \VEC{a}_z\)
のスカラ積をとり，各々面積分を実行すると，次のようになる（導出省略）．
\begin{gather}
\sum _n I_n^{\TM} (k^{\TM}_{c,n})^2 \iint \Psi ^{\TM}_l \Psi ^{\TM}_n dS
= j\omega \epsilon \sum _n C^{\TM}_n \iint \Psi ^{\TM}_n \Psi ^{\TM}_l dS
\end{gather}
モード関数の直交性より，
\begin{gather}
C^{\TM}_l
= \frac{(k^{\TM}_{c,l})^2}{j\omega \epsilon} I_l^{\TM} \label{eq:g-no6}
\end{gather}
伝送方程式
式\eqref{eq:g-no3}，式\eqref{eq:g-no6}より
\(C^{\TE}_l \)，\(C^{\TM}_l\) を消去すると，次のような4つの式が得られる．
\begin{align}
&\sum _n V_n \oint _\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TM}_l \ d\sigma
+ \frac{(k^{\TM}_{c,l})^2}{j\omega \epsilon} I_l^{\TM}
+ \frac{dV^{\TM}_l}{dz}
\nonumber \\
&+ \sum _n V_n \iint \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \cdot \VEC{e}^{\TM}_l dS
= -j\omega \mu I^{\TM}_l
\\
&\sum _n V_n \oint _\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TE}_l \ d\sigma
+ \frac{\partial V^{\TE}_l}{\partial z}
+ \sum _n V_n \iint \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \cdot \VEC{e}^{\TE}_l dS
\nonumber \\
&= -j\omega \mu I^{\TE}_l
\\
&-\frac{\partial I^{\TM}_l}{\partial z}
- \sum _n I_n \iint \frac{\partial \VEC{h}_n}{\partial z} \cdot \VEC{h}^{\TM}_l dS
= j\omega \epsilon V^{\TM}_l
\\
&-\frac{(k^{\TE}_{c,l})^2}{j\omega \mu} V_l^{\TE}
-\frac{\partial I^{\TE}_l}{\partial z}
- \sum _n I_n \iint \frac{\partial \VEC{h}_n}{\partial z} \cdot \VEC{h}^{\TE}_l dS
= j\omega \epsilon V^{\TE}_l
\end{align}
これらの式を整理すると次のようになる．
\begin{eqnarray}
\frac{dV^{\TM}_l}{dz}
&=& -\left( \frac{(k^{\TM}_{c,l})^2}{j\omega \epsilon} +j\omega \mu \right) I^{\TM}_l
\nonumber \\
&&-\sum _n V_n \left( \oint _\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TM}_l \ d\sigma
+\iint \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \cdot \VEC{e}^{\TM}_l dS \right)
\\
\frac{dV^{\TE}_l}{dz}
&=& -j\omega \mu I^{\TE}_l
\nonumber \\
&&-\sum _n V_n \left( \oint _\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_n \cdot \VEC{e}^{\TE}_l \ d\sigma
+\iint \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \cdot \VEC{e}^{\TE}_l dS \right)
\\
\frac{dI^{\TM}_l}{dz}
&=& -j\omega \epsilon V^{\TM}_l
- \sum _n I_n \iint \frac{\partial \VEC{h}_n}{\partial z} \cdot \VEC{h}^{\TM}_l dS
\\
\frac{dI^{\TE}_l}{dz}
&=& -\left( \frac{(k^{\TE}_{c,l})^2}{j\omega \mu} +j\omega \epsilon \right) V^{\TE}_l
-\sum _n I_n \iint \frac{\partial \VEC{h}_n}{\partial z} \cdot \VEC{h}^{\TE}_l dS
\end{eqnarray}
ここで，TE，TMモードの添字は省略するが，
\begin{gather}
\beta ^2_l + \chi ^2_l \equiv k^2
\end{gather}
を定義すると，
\begin{eqnarray}
\frac{(k^{\TM}_{c,l})^2}{j\omega \epsilon} +j\omega \mu
&=& \frac{(k^{\TM}_{c,l})^2 - \omega ^2 \epsilon \mu }{j\omega \epsilon}
\nonumber \\
&=& \frac{(k^{\TM}_{c,l})^2 - k^2 }{j\omega \epsilon}
\nonumber \\
&=& -\frac{(\beta ^{\TM}_{c,l})^2 }{j\omega \epsilon}
\\
\frac{(k^{\TE}_{c,l})^2}{j\omega \mu} +j\omega \epsilon
&=& \frac{(k^{\TE}_{c,l})^2 - \omega ^2 \epsilon \mu }{j\omega \mu}
\nonumber \\
&=& \frac{(k^{\TE}_{c,l})^2 - k^2 }{j\omega \mu}
\nonumber \\
&=& -\frac{(\beta ^{\TE}_{c,l})^2 }{j\omega \mu}
\end{eqnarray}
また，
\begin{align}
&Z \equiv j \omega \mu , \ \ \ \ \
Y \equiv j \omega \epsilon
\\
&Z^{\TM}_l
\equiv - \frac{(\beta ^{\TM}_l)^2 }{j \omega \epsilon}, \ \ \ \ \
Y^{\TE}_l
\equiv - \frac{(\beta ^{\TE}_l)^2 }{j \omega \mu}
\\
&T_{V,ln} \equiv
\iint \frac{\partial \VEC{e}_{n} }{\partial z} \cdot \VEC{e}_{l} dS
+ \oint_\sigma \tan \vartheta \ \VEC{e}_{n} \cdot \VEC{e}_{l} d\sigma
\\
&T_{I,ln}
\equiv \iint \frac{\partial \VEC{h}_{n} }{\partial z} \cdot \VEC{h}_{l} dS
= \iint \frac{\partial \VEC{e}_{n} }{\partial z} \cdot \VEC{e}_{l} dS
\end{align}
とおくと，伝送方程式は次のようになる．
\begin{eqnarray}
\frac{dV^{\TM}_l}{dz}
&=& - Z^{\TM}_l I^{\TM}_l
- \sum _n T^{\TMTM}_{V,ln} V^{\TM}_n
- \sum _n T^{\TMTE}_{V,ln} V^{\TE}_n
\\
\frac{dI^{\TM}_l}{dz}
&=& - Y V^{\TM}_l
- \sum _n T^{\TMTM}_{I,ln} I^{\TM}_n
- \sum _n T^{\TMTE}_{I,ln} I^{\TE}_n
\\
\frac{dV^{\TE}_l}{dz}
&=& - Z I^{\TE}_l
- \sum _n T^{\TETE}_{V,ln} V^{\TE}_n
- \sum _n T^{\TETM}_{V,ln} V^{\TM}_n
\\
\frac{dI^{\TE}_l}{dz}
&=& - Y^{\TE}_l V_l^{\TE}
- \sum _n T^{\TETE}_{I,ln} I^{\TE}_n
- \sum _n T^{\TETM}_{I,ln} I^{\TM}_n
\end{eqnarray}