4.1　モード関数による展開

Maxwell の方程式

　電界\(\VEC{E}\)，磁界\(\VEC{H}\)は次のMaxwell の方程式を満足する． \begin{eqnarray} \nabla \times \VEC{E} &=& -j\omega \mu \VEC{H} \\ \nabla \times \VEC{H} &=& j\omega \epsilon \VEC{E} \end{eqnarray} テーパ導波管の管軸方向を\(z\)軸とし，\(z\)軸方向に沿う電磁界\(\VEC{E}_z\)，\(\VEC{H}_z\) とそれに直交する横断面内成分\(\VEC{E}_t\)，\(\VEC{H}_t\)で次のように表す． \begin{eqnarray} \VEC{E} &=& \VEC{E}_t + \VEC{E}_z \\ \VEC{H} &=& \VEC{H}_t + \VEC{H}_z \end{eqnarray} また， \begin{gather} \nabla = \nabla _t + \VEC{a}_z \displaystyle{\frac{\partial }{\partial z}} \end{gather} を用いると，Maxwell の方程式は次のようになる． \begin{align} &\left( \nabla _t + \VEC{a}_z \frac{\partial }{\partial z} \right) \times \left( \VEC{E}_t + \VEC{E}_z \right) = -j\omega \mu \VEC{H} \\ &\left( \nabla _t + \VEC{a}_z \frac{\partial }{\partial z} \right) \times \left( \VEC{H}_t + \VEC{H}_z \right) = j\omega \epsilon \VEC{E} \end{align} これより， \begin{align} &\nabla _t \times \VEC{E}_t + \nabla _t \times \VEC{E}_z + \VEC{a}_z \times \frac{\partial \VEC{E}_t }{\partial z} = -j\omega \mu \VEC{H} \label{eq:ap-mhap-1} \\ &\nabla _t \times \VEC{H}_t + \nabla _t \times \VEC{H}_z + \VEC{a}_z \times \frac{\partial \VEC{H}_t }{\partial z} = j\omega \epsilon \VEC{E} \label{eq:ap-mhap-2} \end{align} ただし，\(\VEC{a}_z\)は\(z\)軸方向の単位ベクトル，\(\nabla _t\)は2次元微分演算子を示す．

モード関数による展開

　横断面内成分\(\VEC{E}_t\)，\(\VEC{H}_t\)は，導波管のモード関数\(\VEC{e}_n\)，\(\VEC{h}_n\)を用いて次のように展開する． \begin{eqnarray} \VEC{E}_t &=& \sum_n V^{\TE}_n \VEC{e}^{\TE}_n +\sum_n V^{\TM}_n \VEC{e}^{\TM}_n = \sum_n V_n \VEC{e}_n \\ \VEC{H}_t &=& \sum_n I^{\TE}_n \VEC{h}^{\TE}_n + \sum_n I^{\TM}_n \VEC{h}^{\TM}_n = \sum_n I_n \VEC{h}_n \end{eqnarray} ただし，\(V_n\)はモード電圧，\(I_n\)はモード電流，肩文字でTEモード，TMモードを区別している．ここで， \begin{eqnarray} \VEC{e}_n &=& \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{ \VEC{e}^{\TE}_n = \VEC{a}_z \times \nabla _t \Psi ^{\TE}_n } & \mbox{ (TE mode) } \\ \displaystyle{ \VEC{e}^{\TM}_n = - \nabla _t \Psi ^{\TM}_n } & \mbox{ (TM mode) } \\ \end{array} \right.\\ \VEC{h}_n &=& \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{ \VEC{h}^{\TE}_n = - \nabla _t \Psi ^{\TE}_n } & \mbox{ (TE mode) } \\ \displaystyle{ \VEC{h}^{\TM}_n = - \VEC{a}_z \times \nabla _t \Psi ^{\TM}_n } & \mbox{ (TM mode) } \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} ただし，\(\Psi ^{\TE}_n\)およ\(\Psi ^{\TM}_n\)は変数分離した\(z\)に依らないスカラー関数を示し，次の2次元スカラヘルムホルツ方程式を満たす． \begin{align} &\nabla _t^2 \Psi _n^{\TE} + (k_{c,n}^{\TE})^2 \Psi _n^{\TE} = 0 \\ &\nabla _t^2 \Psi _n^{\TM} + (k_{c,n}^{\TM})^2 \Psi _n^{\TM} = 0 \end{align} ただし，\(k_{c,n}^{\TE}\)，\(k_{c,n}^{\TM}\)はTE，TMモードの遮断波数，両者をまとめて\(k_{c,n}\)で示している． また，\(z\)軸方向に沿う電磁界の成分\(E_z\)，\(H_z\)は，次のように展開される． \begin{eqnarray} E_z &=& \sum_{n} C^{\TM}_n \Psi ^{\TM}_n \\ H_z &=& \sum_{n} C^{\TE}_n \Psi ^{\TE}_n \end{eqnarray} ただし，\(C^{\TM}_n\)，\(C^{\TE}_n\)は\(z\)の関数である．

境界条件

　管壁が完全導体の場合，管壁に沿う電界成分がゼロでなければならない．モード関数は横断面が一様な場合の境界条件を満足するものであるので，横断面内ではすでにこの境界条件を満足しているが，それ以外の方向では，モード展開によって境界条件を満足させる必要がある．
　いま，管軸に直交する断面内における断面周縁の閉曲線の法線ベクトルを\(\VEC{n}\)，管軸と母線のなす角を\(\vartheta\)とおくと，この母線方向に沿う電界成分\(E_g\)は，次式で表される． \begin{gather} E_g = E_z \cos \vartheta + (\VEC{E}_t \cdot \VEC{n}) \sin \vartheta \end{gather} 境界条件より\(E_g = 0\) (on \(C\)) ゆえ，管壁\(C\)上の電界の\(z\)成分を\(E_{z,c}\)とおくと次のようになる． \begin{gather} E_{z,c} = -(\VEC{E}_t \cdot \VEC{n}) \tan \vartheta \end{gather} これらの式を基にして，等方等質で管軸が直線の場合の多重モード伝送方程式を求めてみよう．

モード展開したMaxwell の方程式

　式\eqref{eq:ap-mhap-1}，式\eqref{eq:ap-mhap-2}にモード展開した\(\VEC{E}_t\)，\(\VEC{H}_t\)を代入すると， \begin{align} &\nabla _t \times \left( \sum _n V_n \VEC{e}_n \right) + \nabla _t \times \VEC{E}_z + \VEC{a}_z \times \frac{\partial }{\partial z} \left( \sum _n V_n \VEC{e}_n \right) \nonumber \\ &= -j\omega \mu \left\{ \left( \sum _n I_n \VEC{h}_n \right) + \VEC{H}_z \right\} \label{eq:max-t1} \\ &\nabla _t \times \left( \sum _n I_n \VEC{h}_n \right) + \nabla _t \times \VEC{H}_z + \VEC{a}_z \times \frac{\partial }{\partial z} \left( \sum _n I_n \VEC{h}_n \right) \nonumber \\ &= j\omega \epsilon \left\{ \left( \sum _n V_n \VEC{e}_n \right) + \VEC{E}_z \right\} \label{eq:max-t2} \end{align} ただし，管壁が管軸に沿って変化する場合を考えているので，モード関数を\(z\)の関数とみなし，\(z\)に関する微分も計算していく． まず，式\eqref{eq:max-t1}の第3項を整理すると，次のようになる． \begin{eqnarray} \VEC{a}_z \times \frac{\partial }{\partial z} \left( \sum _n V_n \VEC{e}_n \right) &=& \sum _n \left\{ \VEC{a}_z \times \frac{\partial }{\partial z} ( V_n \VEC{e}_n ) \right\} \nonumber \\ &=& \sum _n \left\{ \VEC{a}_z \times \left( \frac{dV_n}{dz} \VEC{e}_n + V_n \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \right) \right\} \nonumber \\ &=& \sum _n \left( \frac{dV_n}{dz} \VEC{h}_n + V_n \VEC{a}_z \times \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \right) \end{eqnarray} 同様にして，式\eqref{eq:max-t2}の第3項は， \begin{eqnarray} \VEC{a}_z \times \frac{\partial }{\partial z} \left( \sum _n I_n \VEC{h}_n \right) &=& \sum _n \left\{ \VEC{a}_z \times \frac{\partial }{\partial z} ( I_n \VEC{h}_n ) \right\} \nonumber \\ &=& \sum _n \left\{ \VEC{a}_z \times \left( \frac{dI_n}{dz} \VEC{h}_n + I_n \frac{\partial \VEC{h}_n}{\partial z} \right) \right\} \nonumber \\ &=& \sum _n \left\{ \frac{dI_n}{dz} (-\VEC{e}_n) + I_n \VEC{a}_z \times \frac{\partial \VEC{h}_n}{\partial z} \right\} \end{eqnarray} 全体としても微分演算を項別に行うと，式\eqref{eq:max-t1}および式\eqref{eq:max-t2}は次のようになる． \begin{align} &\sum _n V_n \left( \nabla _t \times \VEC{e}_n \right) + \nabla _t \times \VEC{E}_z + \sum _n \frac{dV_n}{dz} \VEC{h}_n + \sum _n V_n \VEC{a}_z \times \frac{\partial \VEC{e}_n}{\partial z} \nonumber \\ &= -j\omega \mu \sum _n I_n \VEC{h}_n -j\omega \mu \VEC{H}_z \label{eq:max-tt1} \\ &\sum _n I_n \left( \nabla _t \times \VEC{h}_n \right) + \nabla _t \times \VEC{H}_z + \sum _n \frac{dI_n}{dz} (-\VEC{e}_n) + \sum _n I_n \VEC{a}_z \times \frac{\partial \VEC{h}_n}{\partial z} \nonumber \\ &= j\omega \epsilon \sum _n V_n \VEC{e}_n +j\omega \epsilon \VEC{E}_z \label{eq:max-tt2} \end{align} この後，式\eqref{eq:max-tt1}については，この式の両辺に \(\VEC{h}^{\TM}_l\)，\(\VEC{h}^{\TE}_l\)あるいは \(\Psi ^{\TE}_l \VEC{a}_z\) を，また，式\eqref{eq:max-tt2}については，この式の両辺に \(\VEC{e}^{\TM}_l\)，\(\VEC{e}^{\TE}_l\)あるいは \(\Psi ^{\TM}_l \VEC{a}_z\) を用いてスカラ積をとり，各々面積分し，モード関数の直交性を用いて計算していく． いま，媒質は等方性（向きに依らない），等質（場所に依らない）を考えているので，\(\epsilon\)，\(\mu\)は単なる定数となり，\(V_n\)が積分に依らない\(z\)のみの関数となることを考えて計算していけば，テーパ導波菅に対する一般的な伝送方程式が得られる$^\dagger$．

$\dagger$ 一般的な伝送方程式の主要な参考文献は次のとおり．