一般化散乱行列とは

共役インピーダンス整合

　伝送線路の特性インピーダンスが純抵抗の場合，これに等しい負荷インピーダンスをその線路終端に接続すると，入射波の全電力が負荷に供給される．このとき，反射電力はゼロになる． しかしながら，信号源の内部インピーダンスと給電する伝送線路の特性インピーダンスが等しくなければ，信号源から最大電力を負荷に供給できない． 信号源インピーダンスが複素数の場合，複素共役のインピーダンスを接続すれば，信号源から最大電力が得られる． これを共役インピーダンス整合（conjugate impedance-matching）といい，この条件のもとで負荷から無反射となるような仮想的な電圧（波），電流（波）が導入され， 仮想的な入射波，反射波，透過波を定義して散乱行列が拡張されている． このような仮想的な伝送波は電力波（power waves）は呼ばれ，得られる散乱行列を一般化散乱行列（generalized scattering matrix）という[1],[2]． このような一般化散乱パラメータは，仮想的な伝送波に基づたもので実際には測定できないことに注意する必要がある． ここでは，一般化散乱行列の電力波について詳しく説明し，さらにインピーダンス行列との関係，通常の散乱行列との関係など詳細に求めて示していく[3],[4]．

一般化散乱行列

　一般化散乱行列の電力波（power waves）の前進電圧波\(\mathcal{V}^+\)，および後進電圧波\(\mathcal{V}^-\)は， \begin{gather} \mathcal{V}^+ = \frac{V + Z_g I}{2} \\ \mathcal{V}^- = \frac{V - Z_g^* I}{2} \tag{1} \label{eq:gVpgVm} \end{gather} ただし，\(V\)，\(I\)は回路の実際の電圧，電流，\(Z_g^*\)は\(Z_g\)の複素共役を示す．負荷インピーダンス\(Z_L\)が信号源\(E_g\)の内部インピーダンスの複素共役\(Z_g^*\)に等しい場合 （\(Z_L = Z_g^*\)），つまり共役インピーダンス整合された回路では，負荷の電圧\(V\)，電流\(I\)は， \begin{eqnarray} V &=& \frac{Z_L}{Z_g + Z_L} E_g \nonumber \\ &=& \frac{Z_g^*}{Z_g + Z_g^*} E_g \nonumber \\ &=& \frac{Z_g^*}{2\Re (Z_g)} E_g = \frac{Z_g^*}{2R_g} E_g \end{eqnarray} また，電流\(I\)は， \begin{eqnarray} I &=& \frac{E_g}{Z_g + Z_L} \nonumber \\ &=& \frac{E_g}{Z_g + Z_g^*} \nonumber \\ &=& \frac{E_g}{2\Re (R_g)} = \frac{E_g}{2R_g} \end{eqnarray} ここで，\(R_g\)は\(Z_g\)の実部を示す．上式を式\eqref{eq:gVpgVm}で定義した\(\mathcal{V}^+\)，\(\mathcal{V}^-\)に代入すると， 共役インピーダンス整合された計算となり，次式が成り立つ． \begin{eqnarray} \mathcal{V}^+ &=& \frac{V + Z_g I}{2} \nonumber \\ &=& \frac{\frac{Z_g^*}{Z_g + Z_g^*} E_g + Z_g \frac{E_g}{Z_g + Z_g^*}}{2} \nonumber \\ &=& \frac{E_g}{2} \\ \mathcal{V}^- &=& \frac{V - Z_g^* I}{2} \nonumber \\ &=& \frac{\frac{Z_g^*}{Z_g + Z_g^*} E_g - Z_g^* \frac{E_g}{Z_g + Z_g^*}}{2} \nonumber \\ &=& \frac{E_g}{2} \cdot \frac{Z_g^* - Z_g^*}{Z_g + Z_g^*} =0 \end{eqnarray} 共役整合して最大電力が得られる回路では\(\mathcal{V}^-\)がゼロとなるように電圧波\(\mathcal{V}^+\)，\(\mathcal{V}^-\)が定義されていることがわかる． 式\eqref{eq:gVpgVm}より，反射係数\(\hat{\Gamma}_L\)は，\(V = Z_L I\)より， \begin{eqnarray} \hat{\Gamma}_L &=& \frac{\mathcal{V}^-}{\mathcal{V}^+} = \frac{\frac{V - Z_g^* I}{2}}{\frac{V + Z_g I}{2}} \nonumber \\ &=& \frac{V - Z_g^* I}{V + Z_g I} \nonumber \\ &=& \frac{Z_L I - Z_g^* I}{Z_L I + Z_g I} = \frac{Z_L - Z_g^*}{Z_L + Z_g} \end{eqnarray} 上式において\(Z_g\)が純抵抗（実数）であれば通常の反射係数である．反射係数\(\hat{\Gamma}_L\)より， \begin{eqnarray} 1-|\hat{\Gamma}_L|^2 &=& 1 - \left| \frac{Z_L - Z_g^*}{Z_L + Z_g} \right|^2 \nonumber \\ &=& \frac{4 R_g R_L}{|Z_L + Z_g|^2} \end{eqnarray} 共役整合でない場合でも式\eqref{eq:gVpgVm}の\(\mathcal{V}^+\)は， \begin{eqnarray} \mathcal{V}^+ &=& \frac{V + Z_g I}{2} \nonumber \\ &=& \frac{\frac{Z_L}{Z_g + Z_L} E_g + Z_g \frac{E_g}{Z_g + Z_L}}{2} \nonumber \\ &=& \frac{E_g}{2} \end{eqnarray}

基準反射係数

　散乱パラメータ（通常の散乱行列，および一般化散乱行列）は，基準インピーダンス（reference impedances），あるいは 基準反射係数（reference reflection coefficients）によって定義される． 一般化散乱行列では，2端子対回路において，端子1-1\('\), 2-2\()'\)に対応する2つの基準インピーダンスとして，複素数インピーダンス \(\hat{Z}_1\)，\(\hat{Z}_2\) が用いられ，基準反射係数，略して基準係数（reference coefficients） \(\gamma_1\)，\(\gamma_2\) を次式で定義する． \begin{gather} \gamma_1 = \frac{\hat{Z}_1 - R_{01}}{\hat{Z}_1 + R_{01}}, \ \ \ \ \ \gamma_2 = \frac{\hat{Z}_2 - R_{02}}{\hat{Z}_2 + R_{02}} \end{gather} ただし，\(R_{01}\)，\(R_{02}\)は純抵抗の基準インピーダンス（通常の散乱パラメータ）を示す（\(R_{01} \ne R_{02}\)）．逆に， \begin{gather} \hat{Z}_1 = \frac{1+\gamma_1}{1-\gamma_1} R_{01}, \ \ \ \ \ \hat{Z}_2 = \frac{1+\gamma_2}{1-\gamma_2} R_{02} \end{gather}

共役整合を基に定義した電力波

　基準インピーダンス\(\hat{Z}_1 (= 1/\hat{Y}_1)\)，\(\hat{Z}_2 (= 1/\hat{Y}_2)\)の複素共役 \(\hat{Z}_1^*\)，\(\hat{Z}_2^*\)を2端子対回路の代わりに接続して，信号源に対して共役整合する． このときの電流を列ベクトル\(\mathbf{I}^i\)，電圧を列ベクトル\(\mathbf{V}^i\)とし， 対角行列\([\hat{Z}]\)，複素共役\([\hat{Z}]^*\)を定義しておく． \begin{gather} \mathbf{I}^i = \begin{pmatrix} \mathcal{I}_1^i \\ \mathcal{I}_2^i \end{pmatrix}, \ \ \ \mathbf{V}^i = \begin{pmatrix} \mathcal{V}_1^i \\ \mathcal{V}_2^i \end{pmatrix}, \ \ \ [\hat{Z}]= \begin{pmatrix} \hat{Z}_1 & 0 \\ 0 & \hat{Z}_2 \end{pmatrix}, \ \ \ [\hat{Z}]^*= \begin{pmatrix} \hat{Z}_1^* & 0 \\ 0 & \hat{Z}_2^* \end{pmatrix} \nonumber \end{gather} 共役整合したときを入射波としてみなし，入射電流波\(\mathbf{I}^i\)は， \begin{gather} \mathbf{I}^i = \begin{pmatrix} \mathcal{I}_1^i \\ \mathcal{I}_2^i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{E_1}{\hat{Z}_1 + \hat{Z}_1^* } \\ \frac{E_2}{\hat{Z}_2 + \hat{Z}_2^* } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{E_1}{2\Re (\hat{Z}_1)} \\ \frac{E_2}{2\Re (\hat{Z}_2)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{V_1+\hat{Z}_1 I_1}{2\Re (\hat{Z}_1)} \\ \frac{V_2+\hat{Z}_2 I_2}{2\Re (\hat{Z}_2)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{V_1+\hat{Z}_1 I_1}{2 \hat{R}_1} \\ \frac{V_2+\hat{Z}_2 I_2}{2 \hat{R}_2} \end{pmatrix} \nonumber \end{gather} ここで，共役整合ゆえ，\(\hat{Z}_j + \hat{Z}_j^* = 2\hat{R}_j \ (j=1,2)\)． また，分圧の法則より，入射電圧波\(\mathbf{V}^i\)を求めると \begin{gather} \mathbf{V}^i = \begin{pmatrix} \mathcal{V}_1^i \\ \mathcal{V}_2^i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\hat{Z}_1^* E_1}{\hat{Z}_1 + \hat{Z}_1^* } \\ \frac{\hat{Z}_2^* E_2}{\hat{Z}_2 + \hat{Z}_2^* } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\hat{Z}_1^* E_1}{2\Re (\hat{Z}_1)} \\ \frac{\hat{Z}_2^* E_2}{2\Re (\hat{Z}_2)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \hat{Z}_1^* \mathcal{I}_1^i \\ \hat{Z}_2^* \mathcal{I}_2^i \end{pmatrix} = [\hat{Z}]^* \mathbf{I}^i \nonumber \end{gather} 逆に，入射電圧波\(\mathbf{V}^i\)を用いて入射電流波\(\mathbf{I}^i\)を表すと， \begin{gather} \mathbf{I}^i = [\hat{Z}]^{*-1} \mathbf{V}^i = [\hat{Y}]^* \mathbf{V}^i, \ \ \ \ \ [\hat{Y}]^* = \begin{pmatrix} \hat{Y}_1^* & 0 \\ 0 & \hat{Y}_2^* \end{pmatrix} \nonumber \end{gather} 一方，反射電流波\(\mathbf{I}^r\)は，\(\mathbf{I}^r = \mathbf{I}^i - \boldsymbol{I}\)より， \begin{gather} \mathbf{I}^r = \begin{pmatrix} \mathcal{I}_1^r \\ \mathcal{I}_2^r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathcal{I}_1^i -I_1 \\ \mathcal{I}_2^i -I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{V_1+\hat{Z}_1 I_1}{2\hat{R}_1}-I_1 \\ \frac{V_2+\hat{Z}_2 I_2}{2\hat{R}_2}-I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{V_1-\hat{Z}_1^* I_1}{2\hat{R}_1} \\ \frac{V_2-\hat{Z}_2^* I_2}{2\hat{R}_2} \end{pmatrix} \nonumber \end{gather} ここで， \begin{gather} \hat{Z}_j - 2\hat{R}_j =\hat{Z}_j - (\hat{Z}_j + \hat{Z}_j^*) = -\hat{Z}_j^* \end{gather} また，反射電圧波\(\mathbf{V}^r\)は，\(\mathbf{V}^r = \boldsymbol{V} - \mathbf{V}^i\)より， \begin{gather} \mathbf{V}^r = \begin{pmatrix} \mathcal{V}_1^r \\ \mathcal{V}_2^r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V_1-\mathcal{V}_1^i \\ V_2-\mathcal{V}_2^i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V_1-\frac{\hat{Z}_1^* (V_1+\hat{Z}_1 I_1)}{2\hat{R}_1} \\ V_2-\frac{\hat{Z}_2^* (V_2+\hat{Z}_2 I_2)}{2\hat{R}_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\hat{Z}_1(V_1-\hat{Z}_1^* I_1)}{2\hat{R}_1} \\ \frac{\hat{Z}_2(V_2-\hat{Z}_2^* I_2)}{2\hat{R}_2} \end{pmatrix} \nonumber \end{gather} ここで， \begin{gather} 2\hat{R}_j -\hat{Z}_j^* = (\hat{Z}_j + \hat{Z}_j^*) -\hat{Z}_j^* =\hat{Z}_j \end{gather} 反射電流波\(\mathbf{I}^r\)と反射電圧波\(\mathbf{V}^r\)の関係は， \begin{gather} {V}^r = [\hat{Z}] {I}^r, \ \ {I}^r = [\hat{Z}]^{-1} {V}^r = [\hat{Y}] {V}^r, \ \ \ \ \ [\hat{Y}] = \begin{pmatrix} \hat{Y}_1 & 0 \\ 0 & \hat{Y}_2 \end{pmatrix} \nonumber \end{gather} ただし， \(\hat{Z}_n = \hat{R}_n + j\hat{X}_n\)， \(\hat{Y}_n = \hat{G}_n + j\hat{B}_n \ (n=1,2)\)．

一般化散乱行列の入射波，反射波

　入射波の振幅（incident wave amplitudes）\(\hat{a}_n\)， 反射波の振幅（reflected wave amplitudes）\(\hat{b}_n\)を次のようにおく． \begin{gather} \Re [\mathcal{V}_n^i \mathcal{I}_n^{i*}] = \Re [\hat{Z}_n^* \mathcal{I}_n^i \mathcal{I}_n^{i*}] = \hat{R}_n |\mathcal{I}_n^i|^2 = \sqrt{\hat{R}_n} \mathcal{I}_n^i \cdot \sqrt{\hat{R}_n} \mathcal{I}_n^{i*} \equiv \hat{a}_n \hat{a}_n^*\\ \Re [\mathcal{V}_n^r \mathcal{I}_n^{r*}] = \Re [\hat{Z}_n \mathcal{I}_n^r \mathcal{I}_n^{r*}] = \hat{R}_n |\mathcal{I}_n^r|^2 = \sqrt{\hat{R}_n} \mathcal{I}_n^r \cdot \sqrt{\hat{R}_n} \mathcal{I}_n^{r*} \equiv \hat{b}_n \hat{b}_n^* \end{gather} これより，一般化散乱行列の\(\hat{a}_n\)，\(\hat{b}_n\)は，次式で定義される． \begin{gather} \hat{a}_n = \sqrt{\hat{R}_n} \mathcal{I}_n^i= \sqrt{\Re (\hat{Z}_n)} \mathcal{I}_n^i \\ \hat{b}_n = \sqrt{\hat{R}_n} \mathcal{I}_n^r= \sqrt{\Re (\hat{Z}_n)} \mathcal{I}_n^r \end{gather} よって，2端子対回路の一般化散散乱行列\([\hat{\boldsymbol{S}}]\)は， 列ベクトル\(\hat{\boldsymbol{a}}\)，\(\hat{\boldsymbol{b}}\)を用いて， \begin{gather} \hat{\boldsymbol{b}} = [\hat{\boldsymbol{S}}] \hat{\boldsymbol{a}}, \ \ \ \ \ \hat{\boldsymbol{b}} = \begin{pmatrix} \hat{b}_1 \\ \hat{b}_2 \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ [\hat{\boldsymbol{S}}] = \begin{pmatrix} \hat{\mathcal{S}}_{11} & \hat{\mathcal{S}}_{12} \\ \hat{\mathcal{S}}_{21} & \hat{\mathcal{S}}_{22} \end{pmatrix}, \ \ \ \ \ \hat{\boldsymbol{a}} = \begin{pmatrix} \hat{a}_1 \\ \hat{a}_2 \end{pmatrix} \end{gather} ただし， \(\hat{\mathcal{S}}_{11}\)，\(\hat{\mathcal{S}}_{12}\)， \(\hat{\mathcal{S}}_{21}\)，\(\hat{\mathcal{S}}_{22}\) は一般化散乱パラメータ （2-port wave amplitude generalized scattering parameters, or generalized scattering parameters of the 2-port network）である． ここで，列ベクトルの入射波\(\hat{\boldsymbol{a}}\)，反射波\(\hat{\boldsymbol{b}}\)は， \begin{eqnarray} \hat{\boldsymbol{a}} &=& \left[ \sqrt{\hat{R}} \right] \mathbf{I}^i = \begin{pmatrix} \sqrt{\hat{R}_1} & 0 \\ 0 & \sqrt{\hat{R}_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{V_1+\hat{Z}_1 I_1}{2\hat{R}_1} \\ \frac{V_2+\hat{Z}_2 I_2}{2\hat{R}_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{V_1+\hat{Z}_1 I_1}{2\sqrt{\hat{R}_1}} \\ \frac{V_2+\hat{Z}_2 I_2}{2\sqrt{\hat{R}_2}} \end{pmatrix} \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} \left[ \sqrt{\hat{R}} \right]^{-1} \big( \boldsymbol{V} + [\hat{Z}] \boldsymbol{I} \big) = \left[ \sqrt{\hat{R}} \right] [\hat{Y}]^* \mathbf{V}^i \\ \hat{\boldsymbol{b}} &=& \left[ \sqrt{\hat{R}} \right] \mathbf{I}^r = \begin{pmatrix} \sqrt{\hat{R}_1} & 0 \\ 0 & \sqrt{\hat{R}_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{V_1-\hat{Z}_1^* I_1}{2\hat{R}_1} \\ \frac{V_2-\hat{Z}_2^* I_2}{2\hat{R}_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{V_1-\hat{Z}_1^* I_1}{2\sqrt{\hat{R}_1}} \\ \frac{V_2-\hat{Z}_2^* I_2}{2\sqrt{\hat{R}_2}} \end{pmatrix} \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} \left[ \sqrt{\hat{R}} \right]^{-1} \big( \boldsymbol{V} - [\hat{Z}]^* \boldsymbol{I} \big) = \left[ \sqrt{\hat{R}} \right] [\hat{Y}] \mathbf{V}^r \end{eqnarray} ここで， \begin{gather} \left[ \sqrt{\hat{R}} \right] = \begin{pmatrix} \sqrt{\hat{R}_1} & 0 \\ 0 & \sqrt{\hat{R}_2} \end{pmatrix} \end{gather}