最平坦（Maximally-flat）特性
最平坦特性の特性関数
特性関数\(K(s)\)を，
\begin{gather}
K(s) \equiv s^N
\end{gather}
とすると，
\begin{eqnarray}
|K(s)|^2 &=& K(s) K(s)^* =K(s) K(-s)
\nonumber \\
&=& s^N (-s)^N = \left( -s^2 \right) ^N
\\
|H(s)|^2
&=& 1+|K(s)|^2
\nonumber \\
&=& 1+\left( -s^2 \right) ^N
\\
\frac{1}{|\Gamma(s)|^2}
&=& 1+|K(s)|^{-2}
\nonumber \\
&=& 1+\left( -s^2 \right) ^{-N}
\end{eqnarray}
遮断角周波数\(\omega _c\)で角周波数\(\omega\)を規格化して，
規格化角周波数\(\Omega\)を次式によって定義する．
\begin{gather}
s = j\Omega, \ \ \
\Omega = \frac{\omega}{\omega _c}
\end{gather}
これより，\(|H|^2\)は，
\begin{eqnarray}
|H|^2 &=& 1 + (-s^2)^N
\nonumber \\
&=& 1+ \Omega ^{2N}
\nonumber \\
&=& 1 +\left( \frac{\omega}{\omega _c} \right) ^{2N}
\end{eqnarray}
ただし，\(\Omega =1\)，\(\omega = \omega _c\)を遮断点と呼び，
このとき，\(|H(\Omega)|^2\)は，
\(|H(1)|^2 = 1+1^{2N} = 2\)である．
また，\(\Omega =0\)のとき，\(|H(0)|^2 = 1\)．
\(N \to \infty \)では，\(0 \leq \Omega \leq 1\)のとき
\(|H|^2= 1\)で無損失伝送，
\(\Omega \geq 1\)のとき\(|H|^2=\infty\)で損失が無限大（全く伝送しない）となり，
理想的な低域通過フィルタ（lowpass filter）の特性となる．
低域通過の最平坦特性
特性関数の零点
特性関数の零点を求めるため因数分解する．まず準備として，
\begin{gather}
1+ \left( -s^2 \right) ^N = 0
\end{gather}
とおいて解くと，
\begin{gather}
\left( -s^2 \right) ^N = -1 = e^{j(2n-1) \pi}
\nonumber \\
-s^2 = e^{j\frac{2n-1}{N} \pi}
\nonumber \\
s = \pm j e^{j\frac{2n-1}{2N} \pi}
\end{gather}
いま，\(\epsilon \equiv e^{j\frac{\pi}{2N}}\)とおくと，
\begin{eqnarray}
&&H(s) H(-s)
= 1+\left( -s^2 \right) ^N
\nonumber \\
&=& (s-j\epsilon ) (s-j\epsilon ^3) \cdots (s-j\epsilon ^{2N-1})
\cdot (s+j\epsilon ) (s+j\epsilon ^3) \cdots (s+j\epsilon ^{2N-1})
\end{eqnarray}
実際の回路で実現できるように，
\(H(s)\)を複素平面の左半平面内のゼロ点の値を用いて因数分解すると，
\begin{eqnarray}
H(s)
&=& (s-j\epsilon ) (s-j\epsilon ^3) \cdots (s-j\epsilon ^{2N-1})
\nonumber \\
&=& \prod _{n=1}^N \left( s-j\epsilon ^{2n-1} \right)
\nonumber \\
&=& \prod _{n=1}^N \left( s-s_n \right)
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{eqnarray}
s_n &=& j \epsilon ^{2n-1}
\nonumber \\
&=& j e^{j\frac{2n-1}{2N} \pi}
\nonumber \\
&=& e^{j\frac{2n-1+N}{2N} \pi}
\end{eqnarray}
このとき，反射係数\(\Gamma(s)\)は，
\begin{eqnarray}
\Gamma(s) &=& \frac{\pm K(s)}{H(s)}
\nonumber \\
&=& \pm \frac{s^N}{\displaystyle{\prod _{n=1}^N \left( s-s_n \right)}}
\end{eqnarray}
低域通過の最平坦特性
次数\(N =2,3,4,5\)に対して伝達関数および反射係数を計算すると次のようなる．次数\(N\)が大きくなると，少しずつ理想の低域通過特性に近づいていくことがわかる．
低域通過の最平坦特性
低域通過から高域通過への周波数変換
原型の低域通過フィルタ（lowpass filter）を，
\begin{gather}
\hat{s}=j\hat{\Omega}
\end{gather}
とすると，高域通過フィルタ（highpass filter）への周波数変換は，
\begin{gather}
\Omega = -\frac{1}{\hat{\Omega}}
\end{gather}
より次のようになる．
\begin{eqnarray}
s &=& j\Omega
\nonumber \\
&=& j \left( -\frac{1}{\hat{\Omega}} \right)
= \frac{1}{j \hat{\Omega}}
\nonumber \\
&=& \frac{1}{\hat{s}}
\end{eqnarray}
下図は次数\(N =2,3,4,5\)に対する伝達関数および反射係数を示したもので，周波数変換によって容易に高域通過特性が得られている．
高域通過の最平坦特性
低域通過から帯域通過への周波数変換
原型の低域通過フィルタ（\(\hat{s}=j\hat{\Omega}\)）から
帯域通過フィルタ（bandpass filter）への周波数変換は，
\begin{eqnarray}
s &=& j\Omega
\nonumber \\
&=& \frac{j}{W} \left( \hat{\Omega} - \frac{1}{\hat{\Omega}} \right)
= \frac{1}{W} \left( j\hat{\Omega} + \frac{1}{j\hat{\Omega}} \right)
\nonumber \\
&=& \frac{1}{W} \left( \hat{s} + \frac{1}{\hat{s}} \right)
\end{eqnarray}
ここで，\(W\)は比帯域幅を示し，
\begin{align}
&W = \frac{\omega _h - \omega _l}{\omega _0}
\\
&\omega _0 = \sqrt{\omega _l \omega _h}
\end{align}
ただし，\(\omega _0\)は中心角周波数，
\(\omega _l\)，\(\omega _h\)を帯域の下限，上限の角周波数を示す．下図は次数\(N =2,3,4,5\)に対する帯域通過の伝達関数および反射係数を示したもので，比帯域\(W=0.3\)として周波数変換している．
帯域通過の最平坦特性（\(W=0.3\)）
低域通過から帯域阻止への周波数変換
原型の低域通過フィルタ（\(\hat{s}=j\hat{\Omega}\)）から帯域阻止フィルタ（bandstop filter）への周波数変換は，
\begin{eqnarray}
s &=& j\Omega
\nonumber \\
&=& -j\frac{1}{\Omega'}
\nonumber \\
&=& -\dfrac{j}{\frac{1}{W} \left( \hat{\Omega} - \frac{1}{\hat{\Omega}} \right)}
= \dfrac{1}{\frac{1}{W} \left( j\hat{\Omega} + \frac{1}{j\hat{\Omega}} \right)}
\nonumber \\
&=& \dfrac{1}{\frac{1}{W} \left( \hat{s} + \frac{1}{\hat{s}} \right)}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{align}
&W = \frac{\omega _h - \omega _l}{\omega _0}
\\
&\omega _0 = \sqrt{\omega _l \omega _h}
\end{align}
ただし，\(W\)は比帯域幅，
\(\omega _0\)は中心角周波数，
\(\omega _l\)，\(\omega _h\)を帯域の下限，上限の角周波数を示す．同様にして，
比帯域\(W=0.3\)として帯域阻止に周波数変換した特性を下図に示す．
帯域阻止の最平坦特性（\(W=0.3\)）