特性関数と入力インピーダンスの関係
反射係数を\(\Gamma \)とすると，
\begin{eqnarray}
\Gamma ^* (\omega )
&=& \frac{z_{in}^* (\omega) - 1}{z_{in}^* (\omega) + 1}
\nonumber \\
&=& \frac{z_{in} (-\omega) - 1}{z_{in} (-\omega) + 1}
= \Gamma (-\omega)
\end{eqnarray}
所望の周波数応答\(|H(s)|^2\)は，
\begin{eqnarray}
|H(s)|^2 &=& 1 + |K(s)|^2
\nonumber \\
&=& 1+|\Gamma(s)|^2 |H(s)|^2
\end{eqnarray}
特性関数\(K(s)\)を
\begin{gather}
K(s)= H(s) \Gamma(s)
\end{gather}
とすると，反射係数\(\Gamma(s)\)は，
\begin{gather}
\Gamma(s) = \frac{K(s)}{H(s)}
\\
\Gamma(-s) = \frac{K(-s)}{H(-s)}
\end{gather}
これより，
\begin{eqnarray}
|\Gamma | ^2 &=& \Gamma \Gamma ^*
= \frac{K(s)}{H(s)} \frac{K(s)^*}{H(s)^*}
\nonumber \\
&=& \Gamma (\omega ) \Gamma (-\omega )
= \frac{K(s)}{H(s)} \frac{K(-s)}{H(-s)} \ \ \ \mbox{（偶関数）}
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
H(s) H(s)^* = 1 + K(s) K(s)^*
\nonumber \\
H(s) H(-s) = 1 + K(s) K(-s)
\end{gather}
規格化入力インピーダンス\(z_{in}^+\)は，\(H \Gamma=K\)より，
\begin{eqnarray}
z_{in}^+ &=& \frac{1+\Gamma(s)}{1-\Gamma(s)}
= \frac{H(s)}{H(s)} \cdot \frac{1+\Gamma(s)}{1-\Gamma(s)}
\nonumber \\
&=& \frac{H(s) + K(s)}{H(s) - K(s)}
\end{eqnarray}
特性関数\(K(s)\)を適切な関数で与え，回路で実現可能な関数\(H(s)\)を求めることができれば，\(\Gamma (s)\)がわかり，上式より規格化入力インピーダンスを表す式が得られる．
\(K=-H \Gamma\)とすると，反射係数は\(-\Gamma\)となるので，規格化入力インピーダンスは次のようになり，双対的な回路が得られる（双対的な回路の反射係数は互いに逆相）．
\begin{gather}
z_{in}^-
= \frac{H(s) - K(s)}{H(s) + K(s)} = \frac{1}{z_{in}^+}
= y_{in}^+
\end{gather}