\(\dagger\) R. S. Elliott, “An Introduction to Guided Waves and Microwave Circuits,” pp. 714-715, Prentice Hall (1992).
いま，\(f(t)\)を時間\(t\)（実数）の実数の関数とし，時間領域（time domain）から周波数領域（frequency domain）にフーリエ変換（Fourier transform）すると， \begin{gather} F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-j\omega t} dt \end{gather} これは次のように実部と虚部で表すことができる． \begin{eqnarray} F(\omega) &=& \int_{-\infty}^\infty f(t) (\cos \omega t - j \sin \omega t) dt \nonumber \\ &=& \int_{-\infty}^\infty f(t) \cos \omega t dt -j \int_{-\infty}^\infty f(t) \sin \omega t dt \end{eqnarray} ここで，\(F_1(\omega)\)，\(F_2(\omega)\)を実数として， \begin{eqnarray} F(\omega) &=& \Re(F) + \Im(F) \nonumber \\ &\equiv& F_1(\omega) -j F_2(\omega) \end{eqnarray} とおくと， \begin{eqnarray} F_1(-\omega) &=& \int_{-\infty}^\infty f(t) \cos (-\omega) t dt \nonumber \\ &=& \int_{-\infty}^\infty f(t) \cos \omega t dt \nonumber \\ &=& F_1(\omega) \\ F_2(-\omega) &=& \int_{-\infty}^\infty f(t) \sin (-\omega) t dt \nonumber \\ &=& -\int_{-\infty}^\infty f(t) \sin \omega t dt \nonumber \\ &=& -F_2(\omega) \end{eqnarray} よって，\(F_1(\omega)\)は偶関数（even），\(F_2(\omega)\)は奇関数（odd）である． 信号源を含まない定数素子\(R\)，\(L\)，\(C\)（周波数や信号の大きさに依存しない）から構成される1端子対回路を考えると，電圧\(v(t)\)，電流\(i(t)\)は時間\(t\)の実数関数であり，これらのフーリエ変換を\(V(\omega)\)，\(I(\omega)\)とすると， \begin{gather} V(\omega) = Z(j\omega) I(\omega) \end{gather} ただし，\(Z(j\omega)\)は入力インピーダンスを示し， \begin{gather} Z(j\omega) = R(\omega) + j X(\omega) \end{gather} このとき，実部，虚部は先に求めた関係があり， \begin{gather} V(\omega) = V_1(\omega) - jV_2(\omega) \\ I(\omega) = I_1(\omega) - jI_2(\omega) \end{gather} 入力インピーダンスとの関係を考えて， \begin{eqnarray} V_1(\omega) - jV_2(\omega) &=& \big\{ R(\omega) + j X(\omega) \big\} \big\{ I_1(\omega) - jI_2(\omega) \big\} \nonumber \\ &=& R(\omega)I_1(\omega) + X(\omega)I_2(\omega) +j \big\{ -R(\omega)I_2(\omega) + X(\omega)I_1(\omega) \big\} \end{eqnarray} 実部，虚部より， \begin{gather} V_1(\omega) = R(\omega)I_1(\omega) + X(\omega)I_2(\omega) \\ V_2(\omega) = R(\omega)I_2(\omega) - X(\omega)I_1(\omega) \end{gather} これより， \begin{eqnarray} R(-\omega) &=& \frac{V_1(-\omega) I_1(-\omega) + V_2(-\omega) I_2(-\omega)}{I_1^2(-\omega)+I_2^2(-\omega)} \nonumber \\ &=& \frac{V_1(\omega) I_1(\omega) + \big( -V_2(\omega) \big) \big( -I_2(\omega) \big)}{I_1^2(\omega)+\big( -I_2(\omega) \big)^2} \nonumber \\ &=& R(\omega) \end{eqnarray} \begin{eqnarray} X(-\omega) &=& \frac{V_1(-\omega) I_2(-\omega) - V_2(-\omega) I_1(-\omega)}{I_1^2(-\omega)+I_2^2(-\omega)} \nonumber \\ &=& \frac{V_1(\omega) \big( -I_2(\omega) \big) + \big( -V_2(\omega) \big) I_1(\omega)}{I_1^2(\omega)+\big( -I_2(\omega) \big)^2} \nonumber \\ &=& -X(\omega) \end{eqnarray} よって， \begin{eqnarray} Z_{in} (-\omega) &=& R(-\omega) + jX(-\omega) \nonumber \\ &=& R(\omega) - jX(\omega) \nonumber \\ &=& Z_{in}^* (\omega) \end{eqnarray} したがって，\(R(\omega)\)は偶関数（even），\(X(\omega)\)は奇関数（odd）であることがわかる．このとき，規格化入力インピーダンス\(z_{in}\)の複素共役は， \begin{eqnarray} z_{in}^* (\omega ) &=& r(\omega) - j x(\omega) \nonumber \\ &=& r(-\omega) -j [-x(-\omega )] \nonumber \\ &=& z_{in} (-\omega ) \end{eqnarray}