軸対称回路
中心線で切断された回路
図のような構造が中心線で対称な軸対称回路を考える．インピーダンス行列\([Z]\)は，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ V_2
\end{pmatrix}
= [Z]
\begin{pmatrix}
I_1 \\ I_2
\end{pmatrix}, \ \ \
[Z] =
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\
Z_{21} & Z_{22} \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
軸対称回路のインピーダンス行列
中心線で2等分して，切断された接続線を新たな端子とし，電圧，電流を列ベクトル\((\boldsymbol{v}_0)\)，\((\boldsymbol{i}_0)\)，2等分された回路のインピーダンス行列を\([Z_\frac{1}{2}]\)とすると，
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ (\boldsymbol{v}_0)
\end{pmatrix}
&=& [Z_\frac{1}{2}]
\begin{pmatrix}
I_1 \\ (\boldsymbol{i}_0)
\end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix}
V_2 \\ (\boldsymbol{v}_0)
\end{pmatrix}
&=& [Z_\frac{1}{2}]
\begin{pmatrix}
I_2 \\ -(\boldsymbol{i}_0)
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
中心線で切断された回路
いま，もとの軸対称回路において入出力電圧を
\begin{gather}
V_1 = -V_2 = V
\end{gather}
とすると，インピーダンス行列より，
\begin{eqnarray}
V_1 &=& Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2 = V = -V_2
\nonumber \\
&=& -(Z_{12} I_1 + Z_{11} I_2)
\end{eqnarray}
整理して，
\begin{gather}
(Z_{11} + Z_{12})(I_1 + I_2) = 0
\end{gather}
よって，電流\(I_1\)，\(I_2\)の関係は，
\begin{gather}
I_1 =-I_2 \equiv I
\end{gather}
このとき，2等分した2つの回路では，
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
V \\ (\boldsymbol{v}_0)
\end{pmatrix}
&=& [Z_\frac{1}{2}]
\begin{pmatrix}
I \\ (\boldsymbol{i}_0)
\end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix}
-V \\ (\boldsymbol{v}_0)
\end{pmatrix}
&=& [Z_\frac{1}{2}]
\begin{pmatrix}
-I \\ -(\boldsymbol{i}_0)
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
両者の和をとって，
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
0 \\ 2 (\boldsymbol{v}_0)
\end{pmatrix}
= [Z_\frac{1}{2}]
\begin{pmatrix}
0 \\ (0)
\end{pmatrix}
\end{gather}
これより，左図のように中心の端子の電位（列ベクトル\((\boldsymbol{v}_0)\)の要素）はすべてゼロとなるので，右図のように中心の端子を全て短絡（ショート）しても，入出力の端子の電圧，電流は変わらない．
軸対称回路の中心端子を短絡したときの等価回路
また，入出力電圧を
\begin{gather}
V_1 = V_2 = V
\end{gather}
とすると，入出力電流の関係は（導出省略），
\begin{gather}
I_1 = I_2 = I
\end{gather}
このとき，中心端子の電流はすべてゼロになり，開放（オープン）しても入出力の端子の電圧，電流は変わらない．
軸対称回路の中心端子を開放したときの等価回路
インピーダンス行列要素
中心端子を短絡したときの入力インピーダンス\(Z_{sc,\frac{1}{2}}\)は，
\begin{eqnarray}
Z_{sc,\frac{1}{2}}
&=& \left. \frac{V_1}{I_1} \right| _{I_1 = -I_2 = I}
\nonumber \\
&=& \frac{Z_{11}I + Z_{12} (-I)}{I}
\nonumber \\
&=& Z_{11}-Z_{12}
\end{eqnarray}
また，開放したときの入力インピーダンス\(Z_{oc,\frac{1}{2}}\)は，
\begin{eqnarray}
Z_{oc,\frac{1}{2}}
&=& \left. \frac{V_1}{I_1} \right| _{I_1 = I_2 = I}
\nonumber \\
&=& \frac{Z_{11}I + Z_{12} I}{I}
\nonumber \\
&=& Z_{11}+Z_{12}
\end{eqnarray}
逆に，インピーダンス行列要素は，
\begin{eqnarray}
Z_{11} &=& \frac{Z_{oc,\frac{1}{2}} + Z_{sc,\frac{1}{2}}}{2}
\nonumber \\
&=& Z_{22}
\\
Z_{12} &=& \frac{Z_{oc,\frac{1}{2}} - Z_{sc,\frac{1}{2}}}{2}
\nonumber \\
&=& Z_{21}
\end{eqnarray}