帯域通過梯子型回路からKインバータを用いた回路への変換
インピーダンス・インバータ
集中定数型帯域通過フィルタを分布定数回路で実現する一つの方法として，インピーダンス・インバータ回路を用いた方法がある\(^\dagger\)．
このインバータ回路は，特性インピーダンス\(Z_0 = K(> 0)\)，
電気\(\theta =\pm \pi /2\)の伝送線路と等価な特性をもつもので，その基本行\([F_K]\)は，
\begin{gather}
[F_K] =
\begin{pmatrix}
\cos \left( \pm \frac{\pi}{2} \right) & jK \sin \left( \pm \frac{\pi}{2} \right) \\
\frac{j}{K} \sin \left( \pm \frac{\pi}{2} \right) & \cos \left( \pm \frac{\pi}{2} \right) \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & \pm jK \\
\pm \frac{j}{K} & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
あるいは，インピーダンス行列\([Z_K]\)では，
\begin{gather}
[Z_K] = \frac{1}{F_{21}}
\begin{pmatrix}
F_{11} & F_{11} F_{22} - F_{12} F_{21} \\
1 & F_{22} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & \mp jK \\
\mp jK & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{gather}
インバータ回路は，4分の1波長変成器のような特性を広帯域にわたってもつ分布定数回路であり，
負荷インピーダンス\(Z_L\)を接続したインバータ回路の入力アドミタンス\(Y_{in}\)は，
\begin{gather}
Y_{in} = \frac{Z_L}{K^2}
\end{gather}
逆に，負荷アドミタンス$Y_L$を接続したインバータ回路の入力インピーダンス\(Z_{in}\)は，
\begin{gather}
Z_{in} = K ^2 Y_L
\end{gather}
インピーダンス・インバータはKインバータともいう．
\(\dagger\) S. B. Cohn, “Direct-coupled-resonator filters,” Proc. of IRE, pp.187-197 (1957).
インバータ回路とLC直列素子
いま，Kインバータと次のLC直列素子から構成された次のような回路を考える．ただし，
\begin{gather}
Z_k' = j X_k'
= j \omega L_k' + \frac{1}{j\omega C_k'}
\end{gather}
KインバータとLC直列素子で構成した帯域通過フィルタ
図の端子0-0'から右に見た入力アドミタンス$Y'$は，端子1-1'より右に見た入力アドミタンスを\(Y_{1-1'}\)とおくと，
\begin{gather}
Y' = \frac{Z_1' + \frac{1}{Y_{1-1'}}}{K_{01}^2}
= \frac{Z_1'}{K_{01}^2} + \frac{1}{K_{01}^2 Y_{1-1'}}
\end{gather}
次に，\(Z_2'\)，\(K_{12}\)，\(Y_{2-2'}\)を用いれば，\(Y_{1-1'}\)は，
\begin{gather}
Y_{1-1'} = \frac{Z_2' + \frac{1}{Y_{2-2'}}}{K_{12}^2}
= \frac{Z_2'}{K_{12}^2} + \frac{1}{K_{12}^2 Y_{2-2'}}
\end{gather}
順次，入力アドミタンス\(Y_{k-k'}\)を求めれば，直列インピーダンス\(Z_k'\)とKインバータ\(K_{k,k+1}\)によって
入力インピーダンス\(Y'\)を表すことができる．連分数展開すると，
\begin{gather}
Y' = \frac{Z_1'}{K_{01}^2} + \dfrac{1}{\frac{K_{01}^2}{K_{12}^2} Z_2' +
\dfrac{1}{\frac{K_{12}^2}{K_{01}^2 K_{23}^2} Z_3' + \cdots \cdots \cdots}}
\end{gather}
最後の項は，\(N\)が奇数のとき，
\begin{gather}
\frac{1}{\frac{K_{01}^2 K_{23}^2 \cdots \cdots K_{N-1,N}^2}{K_{12}^2 K_{34}^2 \cdots \cdots K_{N,N+1}^2} R}
\end{gather}
\(N\)が偶数のとき，
\begin{gather}
\frac{1}{\frac{K_{01}^2 K_{23}^2 \cdots \cdots K_{N-2,N-1}^2 K_{N,N+1}^2}{K_{12}^2 K_{34}^2 \cdots \cdots K_{N-1,N}^2} R}
\end{gather}
一方，帯域通過特性を有する集中定数梯子型回路の入力アドミタンス\(Y\)は，
\begin{gather}
Y = Y_1 + \dfrac{1}{Z_2 +
\dfrac{1}{Y_3 + \cdots \cdots \cdots}}
\end{gather}
最後の項は，\(N\)が奇数のとき\(1/R\)，\(N\)が偶数のとき\(R\)となる．ここで，
\begin{gather}
Z_k = j X_k = j \omega L_k + \frac{1}{j\omega C_k}
\\
Y_k = j B_k = j \omega C_k + \frac{1}{j\omega L_k}
\end{gather}
直列共振素子の共振角周波数を\(\omega_0\)とすると（共振周波数は\(f_0\)），
\begin{gather}
\frac{1}{\omega _0^2} = L_{r,k} C_{r,k}
\end{gather}
梯子型回路とKインバータを用いた回路の入力インピーダンスを等しく，
\begin{gather}
Y = Y'
\end{gather}
とおいて係数比較すれば，Kインバータの値を決定することができる．
その結果，初段のKインバータ\(K_{01}\)，2段目以降\(K_{k,k+1}\)，および最終段\(K_{N,N+1}\)は，
\begin{eqnarray}
K_{01} &=& \sqrt{\frac{\omega _0 W L_1' R}{g_1}}
\\
K_{k,k+1} &=& \omega _0 W \sqrt{\frac{L_k' L_{k+1}'}{g_k g_{k+1}}} \ \ \ (k=1,2,\cdots \ \ , N-1)
\\
K_{N,N+1} &=& \sqrt{\frac{\omega _0 W L_N' R}{g_N}}
\end{eqnarray}
半波長伝送線路
長さ\(l =\lambda _{g0}/2\)の伝送線路の電気長\(\phi _{_\Pi}\)は，
\begin{gather}
\phi _{_\Pi} = \beta l = \frac{2\pi}{\lambda _g} \cdot \frac{\lambda _{g0}}{2}
= \pi \frac{\lambda _{g0}}{\lambda _g} (\simeq \pi )
\end{gather}
これを\(\pi\)型等価回路によって表すと，直列素子\(Z_2\)は，
\begin{eqnarray}
Z_2 &=& jZ_0 \sin \beta l
\nonumber \\
&=& jZ_0 \sin \left( \pi \frac{\lambda _{g0}}{\lambda _g} -\pi + \pi \right)
\nonumber \\
&=& -jZ_0 \sin \pi \left( \frac{\lambda _{g0}}{\lambda _g} -1 \right)
\nonumber \\
&\simeq& -jZ_0 \pi \left( \frac{\lambda _{g0}}{\lambda _g} -1 \right)
\equiv jX_2
\end{eqnarray}
このとき，共振周波数\(f_0\)近傍のリアクタンス\(X_2\)の周波数特性の傾きが，直列共振回路のリアクタンス\(X' = \omega L' - \frac{1}{\omega C'}\)の傾きと逆になる．
周波数特性の傾きを合わせるため，\(\pi\)型回路に$1:-1$の理想変成器を接続する．このとき，基本行列\([F]\)は，
\begin{eqnarray}
[F] &=&
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
Y_1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & Z_2 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
Y_1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\nonumber \\
&=& -
\begin{pmatrix}
1+Y_1 Z_2 & Z_2 \\
(2+Y_1 Z_2 ) Y_1 & 1+Y_1 Z_2 \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
この場合，直列素子のインピーダンス\(Z_2\)は，
\begin{eqnarray}
Z_2 &=& -jZ_0 \sin \beta l
\nonumber \\
&\simeq& jZ_0 \pi \left( \frac{\lambda _{g0}}{\lambda _g} -1 \right)
\equiv jX_2
\end{eqnarray}
また，\([F]\)の行列要素$\(F_{11}\)より，
\begin{eqnarray}
-(1+Y_1 Z_2)
&=& -\left\{ 1+ Y_1 (-jZ_0 \sin \beta l) \right\}
\nonumber \\
&=& \cos \beta l
\end{eqnarray}
両端の並列アドミタンス\(Y_1\)は，共振周波数\(f_0\)近傍で，
\begin{eqnarray}
Y_1 &=& -jY_0 \cot \frac{\beta l}{2}
\nonumber \\
&=& -jY_0 \cot \left( \frac{\pi}{2} \frac{\lambda _{g0}}{\lambda _g} \right)
\simeq 0
\end{eqnarray}
よって，半波長線路は，リアクタンス\(X_2\)
\begin{gather}
X_2 = \pi Z_0 \left( \frac{\lambda _{g0}}{\lambda _g} -1 \right)
\end{gather}
の直列共振回路で近似できる．
インバータ回路と伝送線路
リアクタンス\(X_2\)の傾きを\(\omega = \omega _l, \omega _h (\omega _l < \omega _h)\)での値で差分近似すると，
\begin{eqnarray}
\left. \frac{\Delta X_2}{\Delta \omega } \right| _{\omega = \omega _0}
&\simeq& \frac{X_2(\omega _h)-X_2(\omega _l)}{\omega _h - \omega _l}
\nonumber \\
&=& \frac{\pi Z_0}{\omega _h - \omega _l}
\left( \frac{\lambda _{g0}}{\lambda _{gh}}- \frac{\lambda _{g0}}{\lambda _{gl}} \right)
\end{eqnarray}
直列共振回路のリアクタンス\(X'\)を微分すると，
\begin{eqnarray}
\left. \frac{dX'}{d\omega} \right|_{\omega = \omega _0}
&=& \left. \frac{d}{d\omega} \left( \omega L' - \frac{1}{\omega C'} \right)
\right|_{\omega = \omega _0}
\nonumber \\
&=& L' + \frac{1}{\omega _0^2 C'}
= L' + \frac{L' C'}{C'}
= 2L'
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
L' C' = \frac{1}{\omega _0^2}
\end{gather}
等価回路定数\(L'\)は，
\begin{gather}
L' =\frac{\pi Z_0 \lambda _{g0}}{2({\omega _h - \omega _l})}
\left( \frac{1}{\lambda _{gh}} - \frac{1}{\lambda _{gl}} \right)
\end{gather}
これより，直列共振回路のリアクタンスを全て同じ半波長伝送線路で構成すると，
\(L_k' = L'\)となり，それからKインバータの値が決定できる．
Kインバータと半波長線路で構成した帯域通過フィルタ