\(\dagger\) 高橋秀俊，“Tschebyscheff特性を有する梯子型ろ波器について,” 電気通信学会雑誌，vol.34, no.2, pp.65-74 (1951)
最平坦特性の特性関数\(K(s)=s^N\)より，伝達関数\(H(s)\)は， \begin{gather} H(s) = \prod _{n=1}^N \left( s-j\epsilon ^{2n-1} \right) \end{gather} まず， \begin{gather} \epsilon \equiv e^{j\frac{\pi}{2N}} \end{gather} とおき，次式を求めておく． \begin{gather} \epsilon ^{\pm N} = \left( e^{j\frac{\pi}{2N}} \right) ^{\pm N} = e^{\pm j\frac{\pi}{2}} = \pm j\\ \epsilon ^{\pm 2N} = \left( e^{j\frac{\pi}{2N}} \right) ^{\pm 2N} = e^{\pm j\pi} = -1 \end{gather} ここで，\(s \to \epsilon ^2 s\)とした式を考えると， \begin{eqnarray} H(\epsilon ^2 s) &=& \prod _{n=1}^N \left( \epsilon ^2 s-j\epsilon ^{2n-1} \right) \nonumber \\ &=& \prod _{n=1}^N \epsilon ^2 \left( s-j\epsilon ^{2n-3} \right) \nonumber \\ &=& \epsilon ^{2N} \prod _{n'=0}^{N-1} \left( s-j\epsilon ^{2n'-1} \right) \nonumber \\ &=& -\prod _{n=0}^{N-1} \left( s-j\epsilon ^{2n-1} \right) \end{eqnarray} これに\(n=N\)の項を乗じると， \begin{eqnarray} H(\epsilon ^2 s) \cdot (s-j\epsilon ^{2N-1} ) &=& H(\epsilon ^2 s) \cdot (s+j\epsilon ^{-1} ) \nonumber \\ &=& -(s-j\epsilon ^{2N-1} ) \prod _{n=0}^{N-1} \left( s-j\epsilon ^{2n-1} \right) \nonumber \\ &=& - \prod _{n=0}^{N} \left( s-j\epsilon ^{2n-1} \right) \end{eqnarray} 上式の初項（\(n=0\)の項）を分離して， \begin{eqnarray} - \prod _{n=0}^{N} \left( s-j\epsilon ^{2n-1} \right) &=& -(s-j\epsilon ^{-1}) \prod _{n=1}^{N} \left( s-j\epsilon ^{2n-1} \right) \nonumber \\ &=& -(s-j\epsilon ^{-1}) H(s) \end{eqnarray} よって，次の関係が得られる． \begin{gather} -(s-j\epsilon ^{-1}) H(s) = (s+j\epsilon ^{-1} ) H(\epsilon ^2 s) \end{gather} また，級数展開した形を考え（\(A_0 = 1\)）， \begin{gather} H(s) \equiv \sum _{i=0}^N A_i \ s^{N-i} \end{gather} とおき，これについても\(s \to \epsilon ^2 s\)とした式を考えると， \begin{eqnarray} H(\epsilon ^2 s) &=& \sum _{i=0}^N A_i \left( \epsilon ^2 s \right)^{N-i} \nonumber \\ &=& -\sum_{i=0}^N A_i \epsilon ^{-2i} s^{N-i} \end{eqnarray} これらを上で求めた関係式に代入し， \begin{gather} (s-j\epsilon ^{-1}) \sum _{i=0}^N A_i \ s^{N-i} = (s+j\epsilon ^{-1} ) \sum _{i=0}^N A_i \ \epsilon ^{-2i} s^{N-i} \end{gather} \(s\)について整理していくと， \begin{eqnarray} \sum _{i=0}^N \left( 1-\epsilon ^{-2i} \right) A_i \ s^{N-i+1} &=& \sum _{i'=-1}^{N-1} \left( 1-\epsilon ^{-2(i'+1)} \right) A_{i'+1} \ s^{N-i'} \nonumber \\ &=& j\epsilon ^{-1} \sum _{i=0}^N \left( 1 + \epsilon ^{-2i} \right) A_i s^{N-i} \end{eqnarray} そして，\(s\)について係数比較して， \begin{gather} \left( 1-\epsilon ^{-2(i+1)} \right) A_{i+1} = j\epsilon ^{-1} \left( 1 + \epsilon ^{-2i} \right) A_i \end{gather} これより， \begin{eqnarray} \frac{A_{i+1}}{A_i} &=& \frac{j\epsilon ^{-1}(1 + \epsilon ^{-2i})}{1-\epsilon ^{-2(i+1)} } \nonumber \\ &=& \frac{j\epsilon ^{-1} \epsilon ^{-i} (\epsilon ^i + \epsilon ^{-i})}{\epsilon ^{-(i+1)} ( \epsilon ^{i+1} - \epsilon ^{-(i+1)})} \nonumber \\ &=& \frac{j (\epsilon ^i + \epsilon ^{-i})}{\epsilon ^{i+1} - \epsilon ^{-(i+1)}} \nonumber \\ &=& \frac{j 2 \cos \left( \frac{i\pi}{2N} \right)}{j \sin \left( \frac{(i+1)\pi}{2N} \right) } \end{eqnarray} ここで， \begin{eqnarray} \bar{s}_i &\equiv& 2\sin \left( \frac{i\pi}{2N} \right) \\ \bar{c}_i &\equiv& 2\cos \left( \frac{i\pi}{2N} \right) \end{eqnarray} とおくと， \begin{gather} \frac{A_{i+1}}{A_i} = \frac{\bar{c}_i}{\bar{s}_{i+1}} \end{gather} ただし，\(A_0 = 1\)ゆえ， \begin{eqnarray} A_1 &=& A_0 \frac{\bar{c}_0}{\bar{s}_1} = \frac{\bar{c}_0}{\bar{s}_1} \\ A_2 &=& A_1 \frac{\bar{c}_1}{\bar{s}_2} = \frac{\bar{c}_0 \bar{c}_1}{\bar{s}_1 \bar{s}_2} \\ && \cdots \cdots \cdots \nonumber \\ A_i &=& A_{i-1} \frac{\bar{c}_i}{\bar{s}_{i-1}} = \frac{\bar{c}_0 \bar{c}_1 \cdots \ \bar{c}_{i-1}}{\bar{s}_1 \bar{s}_2 \cdots \ \bar{s}_i} , \ \ \ \cdots \end{eqnarray} ここで， \begin{gather} \bar{s}_0 = 0, \ \ \ \bar{s}_i = -\bar{s}_{-i} = \bar{s}_{2N-i}, \ \ \ \bar{s}_N = 2 \\ \bar{c}_0 = 2, \ \ \ \bar{c}_i = \bar{c}_{-i} = \bar{s}_{N-i}, \ \ \ \bar{c}_N = 0 \end{gather} さらに，加法定理等で得られる関係式を整理しておく． \begin{gather} 2\bar{s}_{i \pm j} = \bar{s}_i \bar{c}_j \pm \bar{c}_i \bar{s}_j, \ \ \ \bar{s}_{2i} = \bar{s}_i \bar{c}_i \\ 2\bar{c}_{i \pm j} = \bar{c}_i \bar{c}_j \mp \bar{s}_i \bar{s}_j, \ \ \ \bar{c}_{2i} = \bar{c}_i^2 - \bar{s}_i^2 \end{gather} また， \begin{eqnarray} \bar{s}_i \bar{c}_j &=& \bar{s}_{i+j} + \bar{s}_{i-j} \\ \bar{c}_i \bar{s}_j &=& \bar{s}_{i+j} - \bar{s}_{i-j} \\ \bar{c}_i \bar{c}_j &=& \bar{c}_{i+j} - \bar{c}_{i-j} \\ \bar{s}_i \bar{s}_j &=& -\bar{c}_{i+j} + \bar{c}_{i-j} \end{eqnarray} これらより， \begin{eqnarray} \bar{s}_i \bar{s}_{i+1} - \bar{s}_1 \bar{s}_{2i} &=& -\bar{c}_{2i+1} + \bar{c}_{-1} - \left( -\bar{c}_{1+2i} + \bar{c}_{1-2i} \right) \nonumber \\ &=& \bar{c}_{-1} - \bar{c}_{2i-1} \nonumber \\ &=& -\bar{c}_{(i-1)+i} +\bar{c}_{(i-1)-i} \nonumber \\ &=& \bar{s}_{i-1} \bar{s}_i \\ \bar{s}_i \bar{s}_{i+1} - \bar{s}_3 \bar{s}_{2i-2} &=& -\bar{c}_{2i+1} + \bar{c}_{-1} - \left( -\bar{c}_{1+2i} + \bar{c}_{5-2i} \right) \nonumber \\ &=& \bar{c}_{-1} - \bar{c}_{2i-5} \nonumber \\ &=& -\bar{c}_{(i-3)+(i-2)} +\bar{c}_{(i-3)-(i-2)} \nonumber \\ &=& \bar{s}_{i-3} \bar{s}_{i-2} \end{eqnarray} さらに， \begin{eqnarray} \bar{s}_i \bar{s}_{i+1} - \bar{s}_j \bar{s}_{2i-(j-1)} &=& -\bar{c}_{2i+1} + \bar{c}_{-1} - \left( -\bar{c}_{1+2i} + \bar{c}_{5-2i} \right) \nonumber \\ &=& \bar{c}_{-1} - \bar{c}_{2i-5} \nonumber \\ &=& -\bar{c}_{(i-3)+(i-2)} +\bar{c}_{(i-3)-(i-2)} \nonumber \\ &=& \bar{s}_{i-3} \bar{s}_{i-2} \end{eqnarray} \(A_i\)について再記して， \begin{gather} A_1 = \frac{2}{\bar{s}_1} \\ A_2 = \frac{2 \bar{s}_2}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2} \\ A_3 = \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3} \\ \cdots \cdots \cdots \nonumber \\ A_i = \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-2}}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-1}^2 \bar{s}_i} \\ \cdots \cdots \cdots \nonumber \end{gather} 規格化入力インピーダンス\(z_{in}\)を次のように連分数展開して，梯子型回路を求めていく． \begin{gather} z_{in}(s) = g_1 s + \dfrac{1}{g_2 s + \dfrac{1}{g_3 s + \dfrac{1}{g_4 s + \cdots \cdots}}} \end{gather} ただし，\(g_k\)（\(k=1,2, \cdots , N\)）は梯子型回路の規格化素子値， \(N\)は素子数（段数），\(r\)は終端負荷を示し，次のような関係式が得られる． \begin{gather} z_{in} \equiv \frac{P_0(s)}{P_1(s)} = g_1 s + \frac{1}{\frac{P_1(s)}{P_2(s)}} \\ \frac{P_1(s)}{P_2(s)} = g_2 s + \frac{1}{\frac{P_2(s)}{P_3(s)}} \\ \cdots \cdots \\ \frac{P_{k-1}(s)}{P_k(s)} = g_k s + \frac{1}{\frac{P_k(s)}{P_{k+1}(s)}} \\ \cdots \cdots \\ \frac{P_{N-1}(s)}{P_N(s)} = g_{_N} s + r \end{gather} あるいは， \begin{eqnarray} P_0 &=& g_1 s P_1 + P_2 \\ P_1 &=& g_2 s P_2 + P_3 \\ && \cdots \cdots \cdots \nonumber \\ P_{k-1} &=& g_k s P_k + P_{k+1}, \ \ \ \cdots \end{eqnarray} ここで， \begin{gather} P_0 (s) \equiv S(s) \pm K(s) \\ P_1 (s) \equiv S(s) \mp K(s) \end{gather} これらの式より，\(P_2\)，\(P_3\)，\(\cdots\)と順次，次数の低い多項式になるように \(g_1\)，\(g_2\)，\(\cdots\)，\(g_k\)，\(\cdots\)を決めていけばよい． まず，\(P_0(s)\)は， \begin{eqnarray} P_0(s) &=& S(s) + s^N \nonumber \\ &=& (A_0 +1) s^N + \sum_{i=1}^N A_i s^{N-i} \nonumber \\ &=& 2s^N + \frac{2}{\bar{s}_1} s^{N-1} + \frac{2 \bar{s}_2}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2} s^{N-2} + \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3} s^{N-3} + \cdots \nonumber \\ && \cdots + \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-2}}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-1}^2 \bar{s}_i} s^{N-i} + \cdots \end{eqnarray} 次に，\(P_1(s)\)は， \begin{eqnarray} P_1(s) &=& S(s) - s^N \nonumber \\ &=& \sum_{i=1}^N A_i s^{N-i} \nonumber \\ &=& \frac{2}{\bar{s}_1} s^{N-1} + \frac{2 \bar{s}_2}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2} s^{N-2} + \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3} s^{N-3} + \cdots \nonumber \\ && \cdots + \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-2}}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-1}^2 \bar{s}_i} s^{N-i} + \cdots \end{eqnarray} ここで， \begin{gather} P_0(s) = g_1 s P_1(s) + P_2 (s) \end{gather} より，\(g_1\)を， \begin{eqnarray} g_1 &=& \frac{P_0(s)\mbox{の最高次}N\mbox{の係数}}{P_1(s)\mbox{の最高次}N-1\mbox{の係数}} \nonumber \\ &=& \frac{A_0+1}{A_1} = \frac{1+1}{\frac{2}{\bar{s}_1}} = \bar{s}_1 \end{eqnarray} とすれば，\(P_2(s)\)の\(s^N\)の係数はゼロとなる．これより， \begin{eqnarray} P_2(s) &=& P_0(s) - \bar{s}_1 s P_1 (s) \nonumber \\ &=& (A_1 - \bar{s}_1 A_2 ) s^{N-1} + (A_2 -\bar{s}_1 A_3 ) s^{N-2} + \cdots \nonumber \\ && \cdots + (A_i -\bar{s}_1 A_{i+1} ) s^{N-i} + \cdots \end{eqnarray} ここで， \begin{eqnarray} A_1 - \bar{s}_1 A_2 &=& \frac{2}{\bar{s}_1} -\bar{s}_1 \frac{2\bar{s}_2}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2} = 0 \\ A_2 - \bar{s}_1 A_3 &=& \frac{2\bar{s}_2}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2} - \bar{s}_1 \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3} \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_2}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3} \left( \bar{s}_2 \bar{s}_3 - \bar{s}_1 \bar{s}_4 \right) \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_2}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3} \bar{s}_1 \bar{s}_2 \nonumber \\ &=& \frac{2\bar{s}_2}{\bar{s}_1 \bar{s}_2 \bar{s}_3} \end{eqnarray} さらに， \begin{eqnarray} A_3 - \bar{s}_1 A_4 &=& \frac{2\bar{s}_2 \bar{s}_4}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3} - \bar{s}_1 \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \bar{s}_6}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3^2 \bar{s}_4} \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3^2 \bar{s}_4} \left( \bar{s}_3 \bar{s}_4 - \bar{s}_1 \bar{s}_6 \right) \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3^2 \bar{s}_4} \bar{s}_2 \bar{s}_3 \nonumber \\ &=& \frac{2\bar{s}_2 \bar{s}_4}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2 \bar{s}_3 \bar{s}_4} \end{eqnarray} また， \begin{eqnarray} A_i - \bar{s}_1 A_{i+1} &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-2}}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-1}^2 \bar{s}_i} - \bar{s}_1 \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-2} \bar{s}_{2i}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-1}^2 \bar{s}_i^2 \bar{s}_{i+1}} \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-2}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-1}^2 \bar{s}_i^2 \bar{s}_{i+1}} \left( \bar{s}_i \bar{s}_{i+1} - \bar{s}_1 \bar{s}_{2i} \right) \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-2}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-1}^2 \bar{s}_i^2 \bar{s}_{i+1}} \bar{s}_{i-1} \bar{s}_i \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-2}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-2}^2 \bar{s}_{i-1} \bar{s}_i \bar{s}_{i+1}} \end{eqnarray} よって，\(P_2(s)\)は， \begin{eqnarray} P_2(s) &=& \frac{2\bar{s}_2}{\bar{s}_1 \bar{s}_2 \bar{s}_3 } s^{N-2} + \frac{2\bar{s}_2 \bar{s}_4}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2 \bar{s}_3 \bar{s}_4} s^{N-3} + \cdots \nonumber \\ && \cdots + \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-2}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-2}^2 \bar{s}_{i-1} \bar{s}_i \bar{s}_{i+1}} s^{N-i} + \cdots \end{eqnarray} 次に， \begin{gather} P_1(s) = g_2 s P_2(s) + P_3 (s) \end{gather} これより，\(g_2\)を， \begin{eqnarray} g_2 &=& \frac{P_1(s)\mbox{の最高次}N-1\mbox{の係数}}{P_2(s)\mbox{の最高次}N-2\mbox{の係数}} \nonumber \\ &=& \frac{\frac{2}{\bar{s}_1}}{\frac{2\bar{s}_2}{\bar{s}_1 \bar{s}_2 \bar{s}_3}} = \bar{s}_3 \end{eqnarray} とすれば，\(P_3(s)\)の\(s^{N-1}\)の係数はゼロとなる．これより， \begin{eqnarray} P_3(s) &=& P_1(s) - \bar{s}_3 s P_2 (s) \nonumber \\ &=& A_2 s^{N-2} + \cdots + A_{i-1} s^{N-(i-1)} + \cdots \nonumber \\ && - \bar{s}_3 \left( \frac{2\bar{s}_2 \bar{s}_4}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2 \bar{s}_3 \bar{s}_4} s^{N-2} + \cdots \right. \nonumber \\ &&\left. + \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-2}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-2}^2 \bar{s}_{i-1} \bar{s}_i \bar{s}_{i+1}} s^{N-i+1} + \cdots \right) \end{eqnarray} ここで， \begin{gather} A_2 - \bar{s}_3 \frac{2\bar{s}_2 \bar{s}_4}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2 \bar{s}_3 \bar{s}_4} = \frac{2\bar{s}_2}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2} -\bar{s}_3 \frac{2\bar{s}_2 \bar{s}_4}{\bar{s}_1^2 \bar{s}_2 \bar{s}_3 \bar{s}_4} = 0 \end{gather} \begin{eqnarray} A_3 - \bar{s}_3 \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \bar{s}_6}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3 \bar{s}_4 \bar{s}_5} &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3} - \bar{s}_3 \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \bar{s}_6}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3 \bar{s}_4 \bar{s}_5} \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3 \bar{s}_4 \bar{s}_5} \left( \bar{s}_4 \bar{s}_5 - \bar{s}_3 \bar{s}_6 \right) \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \bar{s}_3 \bar{s}_4 \bar{s}_5} \bar{s}_1 \bar{s}_2 = \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4}{ \bar{s}_1 \bar{s}_2 \bar{s}_3 \bar{s}_4 \bar{s}_5} \end{eqnarray} さらに， \begin{eqnarray} &&A_{i-1} - \bar{s}_3 \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-2}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-2}^2 \bar{s}_{i-1} \bar{s}_i \bar{s}_{i+1}} \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-4}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-2}^2 \bar{s}_{i-1}} - \bar{s}_3 \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-2}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-2}^2 \bar{s}_{i-1} \bar{s}_i \bar{s}_{i+1}} \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-4}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-2}^2 \bar{s}_{i-1} \bar{s}_i \bar{s}_{i+1}} \left( \bar{s}_i \bar{s}_{i+1} - \bar{s}_3 \bar{s}_{2i-2} \right) \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-4}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-2}^2 \bar{s}_{i-1} \bar{s}_i \bar{s}_{i+1}} \bar{s}_{i-3} \bar{s}_{i-2} \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-4}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-4}^2 \bar{s}_{i-3} \bar{s}_{i-2} \bar{s}_{i-1} \bar{s}_i \bar{s}_{i+1}} \end{eqnarray} したがって， \begin{eqnarray} P_3 (s) &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4}{ \bar{s}_1 \bar{s}_2 \bar{s}_3 \bar{s}_4 \bar{s}_5} s^{N-3} + \cdots \nonumber \\ && + \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2i-4}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_{i-4}^2 \bar{s}_{i-3} \bar{s}_{i-2} \bar{s}_{i-1} \bar{s}_i \bar{s}_{i+1}} s^{N-(i-1)} + \cdots \end{eqnarray} 同様にして，一般項については， \begin{eqnarray} P_k (s) &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \bar{s}_{2k-2}}{ \bar{s}_1 \bar{s}_2 \cdots \bar{s}_{2k-1}} s^{N-k} + \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \bar{s}_{2k-2} \bar{s}_{2k}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2 \cdots \bar{s}_{2k-1} \bar{s}_{2k}} s^{N-k-1} + \cdots \nonumber \\ && + \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \ \bar{s}_{2k-2+2i}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2^2 \cdots \ \bar{s}_i^2 \bar{s}_{i+1} \cdots \bar{s}_{2k-1+i}} s^{N-(k-i)} + \cdots \end{eqnarray} 連分数展開は， \begin{gather} P_{k-1}(s) = g_k s P_k(s) + P_{k+1}(s) \end{gather} ゆえ，\(g_k\)を次のように決めれば，\(P_{k-1}(s)\)の\(s^{N-k+1}\)の係数はゼロとなる．これより，\(g_k\)の一般式は， \begin{eqnarray} g_k &=& \frac{P_{k-1}(s)\mbox{の最高次}N-k+1\mbox{の係数}}{P_k(s)\mbox{の最高次}N-k\mbox{の係数}} \nonumber \\ &=& \frac{\frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \bar{s}_{2(k-1)-2}}{ \bar{s}_1 \bar{s}_2 \cdots \bar{s}_{2(k-1)-1}}}{\frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \bar{s}_{2k-2}}{ \bar{s}_1 \bar{s}_2 \cdots \bar{s}_{2k-1}}} = \frac{\bar{s}_{2k-2} \bar{s}_{2k-1}}{\bar{s}_{2k-2}} = \bar{s}_{2k-1} \end{eqnarray} ここで， \begin{gather} \bar{s}_i \equiv 2\sin \left( \frac{i\pi}{2N} \right) \end{gather} よって，規格化素子値\(g_k\)は次のように導出できた． \begin{gather} g_k = 2 \sin \left( \frac{(2k-1) \pi }{2N} \right) \ \ \ (k=1,2, \cdots ,N) \end{gather} 最後の項については，\(k=N-1, N\)のとき， \begin{eqnarray} P_{N-1} (s) &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \bar{s}_{2(N-1)-2}}{ \bar{s}_1 \bar{s}_2 \cdots \bar{s}_{2(N-1)-1}} s + \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \bar{s}_{2(N-1)}}{ \bar{s}_1^2 \bar{s}_2 \cdots \bar{s}_{2(N-1)}} \nonumber \\ &=& \frac{2 \bar{s}_{2N-1} \bar{s}_{2N-2}}{\bar{s}_{2N-2}} s + \frac{2 \bar{s}_{2N-1}}{\bar{s}_1} = 2 \bar{s}_1 s + 2 \\ P_N (s) &=& \frac{2 \bar{s}_2 \bar{s}_4 \cdots \bar{s}_{2N-2}}{ \bar{s}_1 \bar{s}_2 \cdots \bar{s}_{2N-1}} = 2 \end{eqnarray} また， \begin{gather} g_N = \bar{s}_{2N-1} = \bar{s}_1 \end{gather} よって，終端抵抗\(r\)は， \begin{eqnarray} r &=& \frac{P_{N-1}(s)}{P_N(s)} -g_N s \nonumber \\ &=& \frac{2\bar{s}_1 s + 2}{2} - \bar{s}_1 s = 1 \end{eqnarray}