理想変成器
基本行列
まず，理想変圧器（ideal transformer）（理想変成器ともいう）の基本行列（F-matrix）を求める．理想変成器は，\(n:1\)のとき，電圧を\(1/n\)倍，電流を\(n\)倍するような特性を持つ回路で，
2端子対回路の基本行列と同様に電圧\(V_1\)，\(V_2\)，電流\(I_1\)，\(I_2\)を定義すると（\(I_1\)，\(I_2\)は回路に向かう電流），
\begin{eqnarray}
V_2 &=& \frac{V_1}{n}
\\
I_2 &=& -n I_1
\end{eqnarray}
これより，基本行列は次のようになる．
\begin{gather}
\begin{pmatrix}
V_1 \\ I_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
n & 0 \\
0 & \frac{1}{n} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V_2 \\ -I_2
\end{pmatrix}
\end{gather}
例えば，巻線比
\(n=N_1/N_2\)
で密に巻かれたリアクタンス成分の大きい二つのコイル（結合係数1）などは
それとほぼ等しい動作をする．磁束を\(\Phi\)として共通とすると電磁誘導の法則より起電力
\(e_1\)，\(e_2\)
は，
\begin{gather}
e_1 = -N_1 \frac{d \Phi}{dt}
\\
e_2 = -N_2 \frac{d \Phi}{dt}
\end{gather}
上式より，微分の項を消去して，
\begin{gather}
\frac{e_1}{N_1} = \frac{e_2}{N_2}
\end{gather}
よって，
\begin{eqnarray}
e_2 &=& \frac{N_2}{N_1} e_1
\nonumber \\
&=& \frac{e_1}{n}
\end{eqnarray}
ここで，
\begin{gather}
n = \frac{N_1}{N_2}
\end{gather}
インピーダンス整合
次の左の図のように線路と異なるインピーダンスの負荷で終端すると不整合が生じる．理想変成器を用いれば，計算上，インピーダンス整合できる．
右の図の入力インピーダンス\(Z_{in}\)は，
\begin{eqnarray}
Z_{in} &=& \frac{V_1}{I_1}
\nonumber \\
&=& \frac{nV_2}{\frac{-1}{n}I_2}
\nonumber \\
&=& n^2 \frac{V_2}{-I_2}
\nonumber \\
&=& n^2 Z_L
\end{eqnarray}
(a) 不整合の場合，(b) 整合させた場合
整合条件より，
\begin{eqnarray}
Z_{in} &=& Z_0
\nonumber \\
&=& n^2 Z_L
\end{eqnarray}
よって，インピーダンス整合のための巻線比\(n\)は，
\begin{gather}
n=\sqrt{\frac{Z_0}{Z_L}}
\end{gather}