4.6 自由空間中のダイアディック・グリーン関数の導出
自由空間のスカラー・グリーン関数
自由空間中のダイアディック・グリーン関数（free-space dyadic Green functions）を導出しよう．まず，$\nabla \times \DYA{G}_e = \DYA{G}_m$の両辺の回転をとると．
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e = \nabla \times \DYA{G}_m
\end{gather}
上式の右辺は，
\begin{gather}
\nabla \times \DYA{G}_m = \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') + k^2 \DYA{G}_e
\end{gather}
よって，
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_e - k^2 \DYA{G}_e = \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}')
\end{gather}
同様にして，
$\nabla \times \DYA{G}_m = \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') + k^2 \DYA{G}_e$
の両辺の回転をとると．
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_m = \nabla \times \big( \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \big) + k^2 \nabla \times \DYA{G}_e
\end{gather}
これに，$\nabla \times \DYA{G}_e = \DYA{G}_m$を代入して，
\begin{gather}
\nabla \times \nabla \times \DYA{G}_m - k^2 \DYA{G}_m = \nabla \times \big( \DYA{I} \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \big)
\end{gather}
さて，
$-j\omega \mu \VEC{J}(\VEC{r}) = \delta (\VEC{r}-\VEC{r}') \VEC{i}_j$による電界$\VEC{E}_{0,j}(\VEC{r})$は，
\begin{gather}
\VEC{E}_{0,j} (\VEC{r}) = -j\omega \left( \VEC{A} + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \VEC{A} \right)
\end{gather}
ここで，
\begin{eqnarray}
\VEC{A}
&=& \mu \int _V G_0 (\VEC{r},\VEC{r}_0) \VEC{J}(\VEC{r_0}) dV_0
\nonumber \\
&=& \mu \int _V G_0 (\VEC{r},\VEC{r}_0) \frac{\delta (\VEC{r}_0-\VEC{r}')}{-j\omega \mu} \VEC{i}_j dV_0 \
\nonumber \\
&=& \frac{1}{-j\omega} G_0 (\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{i}_j
\end{eqnarray}
よって，
\begin{gather}
\VEC{E}_{0,j} (\VEC{r}) = \left( 1 + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \right) G_0 (\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{i}_j
\end{gather}
自由空間の電界に対するダイアディック・グリーン関数
自由空間の電界に対するダイアディック・グリーン関数$\DYA{G}_{e0}$は，
\begin{eqnarray}
\DYA{G}_{e0}
&=& \sum _{j=1}^3 \VEC{E}_{0,j} \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \left( 1 + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot \right) G_0 (\VEC{r},\VEC{r}') \VEC{i}_j \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& \sum _{j=1}^3 \VEC{G}_{e0,j} \VEC{i}_j
\end{eqnarray}
ただし，$ \VEC{G}_{e0,j}$は$x_j$方向 ($j=1,2,3$)に沿う波源による電界に対する自由空間のベクトル・グリーン関数（the free-space vector Green function of the electric type due to a source pointed in the $x_j$-direction ($j=1,2,3$)）を示す．
また，$G_0$は自由空間のスカラー・グリーン関数（the free-space scalar Green function）を示し，次のようになる．
\begin{gather}
G_0 (\VEC{r},\VEC{r}') = \frac{e^{-jk|\VEC{r}-\VEC{r}'|}}{4\pi |\VEC{r}-\VEC{r}'|}
\end{gather}
ダイアディック公式 $\nabla \cdot (f \DYA{I}) = \nabla f$ などによりさらに変形すると，
\begin{eqnarray}
\DYA{G}_{e0}
&=& G_0 \sum _{j=1}^3 \VEC{i}_j \VEC{i}_j + \frac{1}{k^2} \nabla \sum _{j=1}^3 \nabla \cdot G_0 \VEC{i}_j \VEC{i}_j
\nonumber \\
&=& G_0 \DYA{I} + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \cdot (G_0 \DYA{I})
\nonumber \\
&=& \left( \DYA{I} + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \right) G_0 (\VEC{r},\VEC{r}')
\end{eqnarray}
自由空間の磁界に対するダイアディック・グリーン関数
自由空間の磁界に対するダイアディック・グリーン関数（the free-space magnetic dyadic Green function）$\DYA{G}_{m0}$は，
\begin{eqnarray}
\DYA{G}_{m0}
&=& \nabla \times \DYA{G}_{e0}
\nonumber \\
&=& \nabla \times \left[ \left( \DYA{I} + \frac{1}{k^2} \nabla \nabla \right) G_0 \right]
\end{eqnarray}
ベクトル公式$\nabla \times (\nabla f_j) = 0$より，ダイアディックの場合も同様に成り立ち，
$\nabla \times \nabla (\nabla G_0) = 0$となる．
よって，
\begin{gather}
\DYA{G}_{m0} = \nabla \times \Big( \DYA{I} G_0 \Big)
\end{gather}
さらに，ダイアディック公式
\begin{gather}
\nabla \times (a \DYA{b}) = a \nabla \times \DYA{b} + (\nabla a) \times \DYA{b}
\end{gather}
より，
\begin{eqnarray}
\DYA{G}_{m0}
&=& G_0 \nabla \times \DYA{I} + (\nabla G_0 ) \times \DYA{I}
\nonumber \\
&=& \Big( \nabla G_0 \Big) \times \DYA{I}
\end{eqnarray}